Шпоры по гидравлике

Подождите немного. Документ загружается.

ГИДРАВЛИКА

шпаргалка

38. Средне квадратичное отклонение . . . . . . . . 38аб

39. Распределение скоростей

при равномерном установившемся

движении. Ламинарная пленка. . . . . . . . . . . . . . 39аб

40. Распределение скоростей

в «живом» сечении потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40аб

41. «Шероховатость»

и «гладкость» внутренних стенок трубы . . . . . . 41аб

42. Параметры потока,

от которых зависит потеря напора.

Метод размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42аб

43. Равномерное движение и коэффициент

сопротивления по длине. Формула Шези.

Средняя скорость и расход потока . . . . . . . . . . 43аб

44. Гидравлическое подобие. . . . . . . . . . . . . . . . 44аб

45. Критерии

гидродинамического подобия . . . . . . . . . . . . . . 45аб

46. Распределение касательных

напряжений при равномерном движении. . . . . 46аб

47. Турбулентный равномерный

режим движения потока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47аб

48. Неравномерное движение:

формула Вейсбаха и ее применение. . . . . . . . . 48аб

49. Местные сопротивления . . . . . . . . . . . . . . . . 49аб

50. Расчет трубопроводов . . . . . . . . . . . . . . . . . 50аб

51. Гидравлический удар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51аб

52. Скорость распространения волны

гидравлического удара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52аб

53. Дифференциальные уравнения

неустановившегося движения . . . . . . . . . . . . . . 53аб

54. Истечение жидкости

при постоянном напоре

через малое отверстие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54аб

55. Истечение через

большое отверстие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55аб

56. Коэффициент расхода системы . . . . . . . . . 56аб

Содержание

1. Методы применения законов

гидравлики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1аб

2. Основные свойства жидкости. . . . . . . . . . . . . . 2аб

3. Силы, действующие в жидкости. . . . . . . . . . . . 3аб

4. Гидростатическое давление

и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4аб

5. Равновесие однородной

несжимаемой жидкости

под воздействием силы тяжести . . . . . . . . . . . . . 5аб

6. Законы Паскаля.

Приборы измерения давления . . . . . . . . . . . . . . . 6аб

7. Анализ основного уравнения

гидростатики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7аб

8. Гидравлический пресс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8аб

9. Определение силы давления

покоящейся жидкости

на плоские поверхности. Центр давления . . . . . 9аб

10. Определение силы давления

в расчетах

гидротехнических сооружений . . . . . . . . . . . . . . 10аб

11. Общая методика определения сил

на криволинейные поверхности . . . . . . . . . . . . . 11аб

12. Закон Архимеда. Условия плавучести

погруженных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12аб

13. Метацентр

и метацентрический радиус . . . . . . . . . . . . . . . . 13аб

14. Методы определения

движения жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14аб

15. Основные понятия,

используемые в кинематике жидкости . . . . . . . 15аб

16. Вихревое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16аб

17. Ламинарное движение. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17аб

18. Потенциал скорости и ускорение

при ламинарном движении . . . . . . . . . . . . . . . . . 18аб

19. Уравнение неразрывности

жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19аб

20. Характеристики потока жидкости . . . . . . . . 20аб

21. Разновидность движения . . . . . . . . . . . . . . . 21аб

22. Дифференциальные уравнения

движения невязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . 22аб

23. Уравнение Эйлера

для разных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23аб

24. Форма Громеки уравнения движения

невязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24аб

25. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25аб

26. Анализ уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . 26аб

27. Примеры прикладного

применения уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . 27аб

28. Случаи, когда массовых

сил несколько . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28аб

29. Энергетический смысл

уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29аб

30. Геометрический смысл

уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30аб

31. Уравнения движения

вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31аб

32. Деформация в движущейся

вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32аб

33. Уравнение Бернулли

для движения вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . 33аб

34. Гидродинамический удар.

ГидроE и пьезоE уклоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34аб

35. Уравнение Бернулли

для неустановившегося движения

вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35аб

36. Ламинарный и турбулентный режимы

движения жидкости. Число Рейнольдса . . . . . . 36аб

37. Осредненные скорости.

Пульсационные составляющие. . . . . . . . . . . . . . 37аб

4. Гидростатическое давление

и его свойства

Общие дифференциальные уравнения равновесия

жидкости — уравнения Л. Эйлера для гидростатики.

Если взять цилиндр с жидкостью (покоящейся) и проE

вести через него линию раздела, то получим жидкость

в цилиндре из двух частей. Если теперь приложить неE

которое усилие к одной части, то оно будет передаE

ваться другой через разделяющую плоскость сечения

цилиндра: обозначим эту плоскость S = w.

Если саму силу обозначить как то взаимодействие,

передаваемое от одной части к другой через сечение

Δw, и есть гидростатическое давление.

Если оценить среднее значение этой силы,

Рассмотрев точку А как предельный случай w, опреE

деляем:

Если перейти к пределу, то Δw переходит в точку А.

Поэтому В конечном результате p

= p

точно так же можно получить p

= p

, p

= p

Следовательно,

= p

, p

= p

Мы доказали, что во всех трех направлениях (их мы

выбрали произвольно) скалярное значение сил одно

и то же, то есть не зависит от ориентации сечения Δw.

ppΔ→Δ

p= =

3. Силы, действующие в жидкости

Жидкости делятся на покоящиеся и движущиеся.

Здесь же рассмотрим силы, которые действуют на

жидкость и вне ее в общем случае.

Сами эти силы можно разделить на две группы.

1. Силы массовые. ПоEдругому эти силы называE

ют силами, распределенными по массе: на каждую

частицу с массой ΔM = ρW действует сила ΔF, в завиE

симости от ее массы.

Пусть объем ΔW содержит в себе точку А. Тогда

в точке А:

где F

— плотность силы в элементарном объеме.

Плотность массовой силы — векторная величина, отнеE

сена к единичному объему ΔW; ее можно проецировать

по осям координат и получить: Fx, Fy, Fz. То есть плотE

ность массовой силы ведет себя, как массовая сила.

Примерами этих сил можно назвать силы тяжести,

инерции (кориолисова и переносная силы инерции),

электромагнитные силы.

Однако в гидравлике, кроме особых случаев, электE

ромагнитные силы не рассматривают.

2. Поверхностные силы. Таковыми называют сиE

лы, которые действуют на элементарную поверхность

Δw, которая может находиться как на поверхности, так

и внутри жидкости; на поверхности, произвольно проE

веденной внутри жидкости.

Таковыми считают силы: силы давления которые

составляют нормаль к поверхности; силы трения коE

торые являются касательными к поверхности.

Δ→

,(1)

lim

2. Основные свойства жидкости

Плотность жидкости. Если рассмотреть произвольE

ный объем жидкости W, то он имеет массу M.

Если жидкость однородна, то есть если во всех наE

правлениях ее свойства одинаковы, то плотность буE

дет равна

где M — масса жидкости.

Если требуется узнать r в каждой точке А объема W, то

где D — элементарность рассматриваемых характеE

ристик в точке А.

Сжимаемость. Характеризуется коэффициентом

объемного сжатия.

Из формулы видно, что речь идет о способности жидE

костей уменьшать объем при единичном изменении

давления: изEза уменьшения присутствует знак минус.

Температурное расширение.

Wdt

1–

=×

Δ→

lim

1. Методы применения законов

гидравлики

1. Аналитический. Цель применения этого метода —

устанавливать зависимость между кинематическими

и динамическими характеристиками жидкости.

С этой целью пользуются уравнениями механики;

в итоге получают уравнения движения и равновесия жидE

кости.

Для упрощенного применения уравнений механики

пользуются модельными жидкостями: например, сплошE

ная жидкость.

По определению, ни один параметр этого континуE

ума (сплошной жидкости) не может быть прерывным,

в том числе его производное, причем в каждой точке,

если нет особых условий.

Такая гипотеза позволяет установить картину мехаE

нического движения и равновесия жидкости в каждой

точке континуума пространства.

Еще одним приемом, применяемом для облегчеE

ния решения теоретических задач, является решеE

ние задачи для одномерного случая со следующим

обобщением для трехмерного. Дело в том, что для таE

ких случаев не так трудно установить среднее значеE

ние исследуемого параметра. После этого можно поE

лучить другие уравнения гидравлики, наиболее часто

применяемые.

Однако этот метод, как и теоретическая гидромехаE

ника, суть которой составляет строго математический

подход, не всегда приводит к необходимому теоретиE

ческому механизму решения проблемы, хотя и неплоE

хо раскрывает ее общую природу проблемы.

2. Экспериментальный. Основным приемом, по этоE

му методу, является использование моделей, согласE

2а

4а

3а

1а

Если по аналогии (1) определить плотность этих

сил, то:

нормальное напряжение в точке А:

касательное напряжение в точке А:

И массовые, и поверхностные силы могут быть внеш&

ними, которые действуют извне и приложены к какойE

то частице или каждому элементу жидкости; внутрен&

ними, которые являются парными и их сумма равна

нулю.

Δ→

.(3)

lim

Δ→

.(2)

lim

Вот это скалярное значение приложенных сил

и есть гидростатическое давление, о котором гоE

ворили выше: именно это значение, сумма всех составE

ляющих, передается через Δw.

Другое дело, что в сумме (p

+ p

) какаяEто соE

ставляющая окажется равной нулю.

Как мы в дальнейшем убедимся, в определенных

условиях гидростатическое давление все же может быть

неодинаково в различных точках одной и той же поE

коящейся жидкости, т. е.

p = f(x, y, z).

Свойства гидростатического давления.

1. Гидростатическое давление всегда направлено

по нормали к поверхности и его величина не зависит

от ориентации поверхности.

2. Внутри покоящейся жидкости в любой точке гидE

ростатическое давление направлено по внутренней

нормали к площадке, проходящей через эту точку. ПриE

чем p

= p

3. Для любых двух точек одного и того же объема одE

нородной несжимаемой жидкости (ρ = const)

где ρ — плотность жидкости;

, П

— значение поле массовых сил в этих точках.

Поверхность, для любых двух точек которой давлеE

ние одно и то же, называется поверхностью равного

давления.

pПрП

ρρ

112 2

+=+,

но теории подобий: при этом полученные данE

ные применяются в практических условиях и стаE

новится возможным уточнение аналитических резульE

татов.

Наилучшим вариантом является сочетание двух выE

шеназванных методов.

Современную гидравлику трудно себе представить

без применения современных средств проектироваE

ния: это высокоскоростные локальные сети, автомаE

тизированное рабочее место конструктора и прочее.

Поэтому современную гидравлику нередко называют

вычислительной гидравликой.

Свойства жидкости

Поскольку газ — следующее агрегатное состояние

вещества, то у этих форм вещества существует свойE

ство, общее для обоих агрегатных состояний. Это свойE

ство текучести.

Исходя из свойств текучести, рассмотрев жидкое и гаE

зообразное агрегатное состояние вещества, увидим,

что жидкость — то состояние вещества, в котором его

уже невозможно сжимать (или можно сжать бесконечE

но мало). Газ — такое состояние того же вещества,

в котором его можно сжать, то есть газ можно назвать

сжимаемой жидкостью, точно так же, как и жидкость —

несжимаемым газом.

Другими словами, особых принципиальных разлиE

чий, кроме сжимаемости, между газом и жидкостью

не наблюдается.

Несжимаемую жидкость, равновесие и движение коE

торой изучает гидравлика, называют также капель&

ной жидкостью.

Суть явления втом, что слой с меньшей скоростью

«тормозит» соседний. В итоге появляется особое

состояние жидкости, изEза межмолекулярных связей у соE

седних слоев. Такое состояние называют вязкостью.

Отношение динамической вязкости к плотности жидE

кости называется кинематической вязкостью.

Поверхностное натяжение: изEза этого свойства жидE

кость стремится занимать наименьший объем, наприE

мер, капли в шарообразных формах.

В заключение приведем краткий список свойств жидE

костей, которые рассмотрены выше.

1. Текучесть.

2. Сжимаемость.

3. Плотность.

4. Объемное сжатие.

5. Вязкость.

6. Температурное расширение.

7. Сопротивление растяжению.

8. Свойство растворять газы.

9. Поверхностное натяжение.

1б

2б

3б

4б

5. Равновесие однородной

несжимаемой жидкости

под воздействием силы тяжести

Это равновесие описывается уравнением, которое

называется основным уравнением гидростатики.

Для единицы массы покоящейся жидкости

Для любых двух точек одного и того же объема, то

Полученные уравнения описывают распределение

давления в жидкости, которая находится в равновесE

ном состоянии. Из них уравнение (2) является основE

ным уравнением гидростатики.

Для водоемов больших объемов или поверхности

требуется уточнения: сонаправлен ли радиусу ЗемE

ли в данной точке; насколько горизонтальна рассмаE

триваемая поверхность.

Из (2) следует

где z

= z; p

= p; z

= z

; p

= p

p = p

+ ρgh, (5)

где ρgh — весовое давление, которое соответствует

единичной высоте и единичной площади.

(), (4)p=p + g z z

−

.(3)

gz + = gz +

ρρ

,(2)

z+ =z +

ρρ

const. (1)gz + =

6. Законы Паскаля.

Приборы измерения давления

Что произойдет в других точках жидкости, если приE

ложим некоторое усилие Δp ? Если выбрать две точки,

и приложить к одной из них усилие Δp

, то по основноE

му уравнению гидростатики, во второй точке давлеE

ние изменится на Δp

откуда легко заключить, что при равности прочих слаE

гаемых должно быть

Δp

= Δp

. (2)

Мы получили выражение закона Паскаля, который глаE

сит: изменение давления в любой точке жидкости в равE

новесном состоянии передается во все остальные точки

без изменений.

До сих пор мы исходили из предположения, что

ρ = const. Если иметь сообщающийся сосуд, который

заполнен двумя жидкостями с ρ

≠ ρ

, причем внешE

нее давление p

= p

атм

, то согласно (1):

gh = ρ

gh, (3)

откуда

где h

, h

— высота от раздела поверхности до соотE

ветствующих свободных поверхностей.

,(4)

11 2 2

,(1)

p+ p p + p

z+ =z+

ρρ

ΔΔ

8. Гидравлический пресс

Гидравлический пресс служит для совершения на

коротком пути большей работы. Рассмотрим работу гиE

дравлического пресса.

Для этого, чтобы совершалась работа над телом, наE

до воздействовать на поршень с некоторым давлениE

ем Р. Это давление, как и Р

, создается следующим

образом.

Когда поднимается поршень насоса с площадью нижE

ней поверхности S

, то он закрывает первый клапан

и открывает второй. После заполнения цилиндра воE

дой второй клапан закрывается, открывается первый.

В результате вода через трубу заполняет цилиндр и даE

вит на поршень с помощью нижнего сечения S

с давлеE

нием Р

Это давление, как давление Р

, сжимает тело.

Совершенно очевидно, что Р

— это то же самое давE

ление, что и Р

, разница только в том, что они воздейE

ствуют на разные по величине площади S

и S

Другими словами, давления:

= pS

и P

= pS

. (1)

Выразив p = P

и подставив в первую формулу,

получим:

Из полученной формулы следует важный вывод: на

поршень с большей площадью S

со стороны порш&

ня с меньшей площадью S

передается давление

во столько раз большее, во сколько раз S

> S

.(2)

pP=

7. Анализ основного уравнения

гидростатики

Высоту напора принято называть пьезометриче&

ской высотой, или напором.

Согласно основному уравнению гидростатики,

+ ρgh

= p

+ ρgh

где ρ — плотность жидкости;

g — ускорение свободного падения.

, как правило, задается p

= p

атм

, поэтому, зная

и h

, нетрудно определить искомую величину.

2. p

= p

атм

. Совершенно очевидно, что из ρ =

= const, g = const следует, что h

= h

. Этот факт на&

зывают также законом сообщающихся сосудов.

3. p

< p

= p

атм

Между поверхностью жидкости в трубе и ее закрыE

тым концом образуется вакуум. Такие приборы назыE

вают вакуумметры; их используют для измерения давE

лений, которые меньше атмосферного.

Высота, которая и является характеристикой измеE

нения вакуума:

Вакуум измеряется в тех же единицах, что и давление.

Пьезометрический напор

Вернемся к основному гидростатическому уравнеE

нию. Здесь z — координата рассматриваемой точки,

которая отсчитывается от плоскости XOY. В гидравлике

плоскость XOY называется плоскостью сравнения.

атм В

рр

−

5а

6а

8а7а

Отсчитанную от этой плоскости координату z

называют поEразному: геометрической высотой;

высотой положения; геометрическим напором точки z.

В том же основном уравнении гидростатики величиE

на p/ρgh — также геометрическая высота, на которую

поднимается жидкость в результате воздействия давE

ления р.

p/ρgh так же, как и геометрическая высота, измеE

ряется в метрах. В случае, если через другой конец

трубы на жидкость действует атмосферное давление,

то жидкость в трубе поднимается на высоту p

изб

/ρgh,

которую называют вакуумметрической высотой.

Высоту, соответствующую давлению p

вак

, называют

вакуумметрической.

В основном уравнении гидростатики сумма z +

+ p/ρgh — гидростатический напор Н, различают такE

же пьезометрический напор H

, который соответствуE

ет атмосферному давлению p

атм

/ρgh:

< H.

Давление р называют абсолютным давлени&

ем p

абс

Если р > p

абс

, то p – p

атм

= p

+ ρgh – p

атм

— его назыE

вают избыточным давлением:

изч

= p < p

, (6)

если p < p

атм

, то говорят о разности в жидкости

вак

= p

атм

– p, (7)

называют вакуумметрическим давлением.

Давление — физическая величина, которая

характеризует силы, направленные по нормали

к поверхности одного предмета со стороны другого.

Если силы распределены нормально и равномерно,

то давление

где — суммарная приложенная сила;

S — поверхность, к которой приложена сила.

Если силы распределены неравномерно, то говорят

о среднем значении давления или считают его в отE

дельно взятой точке: например, в вязкой жидкости.

Приборы для измерения давления

Одним из приборов, которым измеряют давление,

является манометр.

Недостатком манометров является то, что у них неE

большой диапазон измерений: 1—10 кПа.

По этой причине в трубах используют жидкости, коE

торые «уменьшают» высоту, например, ртуть.

Следующим прибором для измерения давления явE

ляется пьезометр.

,(5)

Однако на практике изEза сил трения до 15%

этой передаваемой энергии теряется: тратится

на преодоление сопротивления сил трения.

И все же у гидравлических прессов коэффициент

полезного действия

ηη

= 85% — достаточно высокий

показатель.

В гидравлике формула (2) перепишется в следуюE

щем виде:

где P

обозначено как R;

— ω

;

— ω

Гидравлический аккумулятор

Гидравлический аккумулятор служит для поддержания

давления в подключенной к нему системе постоянным.

Достижение постоянства давления происходит слеE

дующим образом: сверху на поршень, на его площадь

ω, действует груз Р.

Труба служит для передачи этого давления по всей

системе.

Если в системе (механизме, установке) жидкости в изE

бытке, то избыток по трубе поступает в цилиндр, порE

шень поднимается.

При недостатке жидкости поршень опускается, и созE

даваемое при этом давление р, по закону Паскаля, пеE

редается на все части системы.

.(3)R= P

6б

5б

7б

8б

12. Закон Архимеда.

Условия плавучести

погруженных тел

Следует выяснить условия равновесия погруженноE

го в жидкость тела и следствия, вытекающие из этих

условий.

Сила, действующая на погруженное тело — равноE

действующая вертикальных составляющих P

, P

, т. е.:

= P

– P

= ρgW

. (1)

где P

, P

— силы направленные вниз и вверх.

Это выражение характеризует силу, которую приняE

то называть архимедовой силой.

Архимедовой силой является сила, равная весу

погруженного тела (или его части): эта сила приложеE

на в центр тяжести, направлена вверх и количественE

но равна весу жидкости, вытесненной погруженным

телом или его частью. Мы сформулировали закон Ар&

химеда.

Теперь разберемся с основными условиями пла&

вучести тела.

1. Объем жидкости, вытесненной телом, называется

объемным водоизмещением. Центр тяжести объемE

ного водоизмещения совпадает с центром давления:

именно в центре давления приложена равнодейE

ствующая сил.

2. Если тело погружено полностью, то объем тела W

совпадает с W

, если нет, то W < W

, то есть P

= ρgW.

11. Общая методика

определения сил

на криволинейные поверхности

1. В общем случае, это давление:

= ρgWg,

где Wg — обьем рассматриваемой призмы.

В частном случае, направления линий действия сиE

лы на криволинейную поверхность тела, давления заE

висят от направляющих косинусов следующего вида:

Сила давления на цилиндрическую поверхность

с горизонтальной образующей полностью опредеE

лена. В рассматриваемом случае ось O

направлена

параллельно горизонтальной образующей.

2. Теперь рассмотрим цилиндрическую поверхE

ность с вертикальной образующей и направим ось O

параллельно этой образующей, что значит ω

= 0.

Поэтому по аналогии, как и в предыдущем случае,

xц.т.x

yц.т.y

P= P +P

P= gh

ρω

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

cos( ) .

P,O =

cos( ) ;

P,O =

10. Определение силы давления

в расчетах гидротехнических

сооружений

При расчетах в гидротехнике интерес представляет

сила избыточного давления Р, при:

= р

атм

где р

— давление, приложенное к центру тяжести.

Говоря о силе, будем иметь в виду силу, приложенE

ную в центре давления, хотя будем подразумевать,

что это — сила избыточного давления.

Для определения воспользуемся теоремой мо&

ментов, из теоретической механики: момент равноE

действующей относительно произвольной оси равен

сумме моментов составляющих сил относительно той

же оси.

Теперь, согласно этой теореме о равнодействуюE

щем моменте:

Поскольку при р

= р

атм

, P = ρgh

ц.е.

ω, поэтому dP =

= ρghdω = ρgsinθldω, следовательно (здесь и далее для

удобства не будем различать р

изб

и р

абс

), с учетом P

и dP из (2), а также после преобразований следует:

цт

ц.т.

ц.д.

pl = ldp

∫

абс

9. Определение силы давления

покоящейся жидкости

на плоские поверхности.

Центр давления

Для того, чтобы определить силу давления, будем

рассматривать жидкость, которая находится в покое

относительно Земли. Если выбрать в жидкости произE

вольную горизонтальную площадь ω, то, при условии,

что на свободную поверхность действует р

атм

= р

, на

ω оказывается избыточное давление:

изб

= ρghω. (1)

Поскольку в (1) ρghω есть не что иное, как mg, так

как hω и ρV = m, избыточное давление равно весу жидE

кости, заключенной в объеме hω. Линия действия этой

силы проходит по центру площади ω и направлена по

нормали к горизонтальной поверхности.

Формула (1) не содержит ни одной величины, котоE

рая характеризовала бы форму сосуда. СледовательE

но, Р

изб

не зависит от формы сосуда. Поэтому из форE

мулы (1) следует чрезвычайно важный вывод, так

называемый гидравлический парадокс — при разE

ных формах сосудов, если на свободную поверхность

оказывается одно и тоже р

, то при равенстве плотE

ностей ρ, площадей ω и высот h давление, оказываеE

мое на горизонтальное дно, одно и то же.

При наклонности плоскости дна имеет место смаE

чивание поверхности с площадью ω. Поэтому, в отлиE

чие от предыдущего случая, когда дно лежало в гориE

зонтальной плоскости, нельзя сказать, что давление

постоянно.

9а

10а

11а

12а

3. Тело будет плавать только в том случае, если

вес тела

= P

= ρgW, (2)

т. е. равен архимедовой силе.

4. Плавание:

1) подводное, то есть тело погружено полностью,

если P = Gт, что означает (при однородности тела):

ρgW = ρ

, откуда

где ρ, ρ

— плотность жидкости и тела соответственно;

W — объемное водоизмещение;

— объем самого погруженного тела;

2) надводное, когда тело погружено частично; при этом

глубину погружения низшей точки смоченной поверхE

ности тела называют осадкой плавающего тела.

Ватерлинией называют линию пересечения погруE

женного тела по периметру со свободной поверхE

ностью жидкости.

Площадью ватерлинии называется площадь поE

груженной части тела, ограниченной ватерлинией.

Линию, которая проходит через центры тяжести теE

ла и давления, называют осью плавания, которая при

равновесии тела вертикальна.

,(3)

где h'

ц.т.

— глубина центра тяжести проекции

под пьезометрическую плоскость;

h''

ц.т.

— то же самое, только для ω

Аналогично, направление определяется направE

ляющими косинусами

Если рассмотреть цилиндрическую поверхность, точE

нее, объемный сектор, с радиусом γ и высотой h, с верE

тикальной образующей, то

= h

ц.т

. = 0,5h.

3. Осталось обобщить полученные формулы для приE

кладного применения произвольной криволинейной

поверхности:

222

xyz

P= P+P+P

cos( ) / ;

cos( ) / .

P,OX = P P

P,OY = P P

Если теперь перенесем ось момента инерции,

то есть линию уреза жидкости (ось O

) в центр

тяжести ω, то есть в точку С, то относительно этой оси

момент инерции центра давления точки D будет J

Поэтому выражение для центра давления (точка D)

без переноса оси момента инерции от той же линии

уреза, совпадающие с осью O

, будет иметь вид:

= I

+ ωl

ц.т.

Окончательная формула для определения места расE

положения центра давления от оси уреза жидкости:

ц.д.

= l

ц.г.

+ I

/S.

где S = ωl

ц.д.

— статистический момент.

Окончательная формула для l

ц.д.

позволяет опредеE

лить центр давления при расчетах гидротехнических

сооружений: для этого разбивают участок на составE

ные участки, находят для каждого участка l

ц.д.

относиE

тельно линии пересечения этого участка (можно польE

зоваться продолжением этой линии) со свободной

поверхностью.

Центры давления каждого из участков находятся ниже

центра тяжести смоченной площади по наклонной стенE

ке, точнее по оси симметрии, на расстоянии I

/ωl

ц.u.

Чтобы определить его, разобьем площадь ω на

элементарные площади dω, на любую из которых

действует давление

По определению силы давления,

причем направлено по нормали к площадке ω.

Теперь, если определить суммарную силу котоE

рая воздействует на площадь ω, то ее величина:

Определив второе слагаемое в (3) найдем Р

абс

= ω(p

+ h

ц.е

). (4)

Получили искомые выражения для определения давE

лений, действующих на горизонтальную и наклонную

плоскости: Р

изб

и Р

абс

Рассмотрим еще одну точку С, которая принадлеE

жит площади ω, точнее, точку центра тяжести смоченE

ной площади ω. В этой точке действует сила = ρ

ω.

Сила действует в любой другой точке, которая не

совпадает с точкой С.

() . (3)

абс 0

P=p+ghd= + ghd

ωω

ρωρωρω

∫∫

JJJG

,(2)pd = dP

JJJG

10б

9б

11б

12б

16. Вихревое движение

Особенности видов движения, рассматриваемых

в гидродинамике.

Можно выделить следующие виды движения.

Неустановившееся, по поведению скорости, давлеE

ния, температуры и т. д.; установившееся, по тем же

параметрам; неравномерное, в зависимости от повеE

дения тех же параметров в живом сечении с площадью;

равномерное, по тем же признакам; напорное, когда

движение происходит под давлением p > p

атм

, (наприE

мер, в трубопроводах); безнапорное, когда движеE

ние жидкости происходит только под действием силы

тяжести.

Однако основными видами движения, несмотря на

большое количество их разновидностей, являются вих&

ревое и ламинарное движения.

Движение, при котором частицы жидкости вращаются

вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюE

сы, называют вихревым движением.

Это движение жидкой частицы характеризуется угло&

вой скоростью, компонентами (составляющими), коE

торой являются:

υυ

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

15. Основные понятия,

используемые

в кинематике жидкости

Сутью вышеупомянутого поля скоростей являются векE

торные линии, которые часто называют линиями тока.

Линия тока — такая кривая линия, для любой точE

ки которой в выбранный момент времени вектор местE

ной скорости направлен по касательной (о нормальE

ной составляющей скорости речь не идет, поскольку

она равна нулю).

Формула (1) является дифференциальным урав&

нением линии тока в момент времени t. СледоваE

тельно, задав различные t

по полученным

, где i = 1,

2, 3, …, можно построить линию тока: ею будет огиE

бающая ломаной линии, состоящей из

Линии тока, как правило, не пересекаются в силу

условия ≠ 0 или ≠ ∞. Но все же, если эти условия

нарушаются, то линии тока пересекаются: точку переE

сечения называют особой (или критической).

1. Неустановившееся движение, которое так наE

зывается изEза того, что местные скорости в рассматE

риваемых точках выбранной области по времени изE

меняются. Такое движение полностью описывается

системой уравнений.

.(1)

()()()

xyz

dx dy dz

u x,y,z,t u x,y,z,t u x,y,z,t

14. Методы определения

движения жидкости

Гидростатика изучает жидкость в ее равновесном

состоянии.

Кинематика жидкости изучает жидкость в движеE

нии, не рассматривая сил, порождавших или сопроE

вождавших это движение.

Гидродинамика также изучает движение жидкости,

но в зависимости от воздействия приложенных к жидE

кости сил.

В кинематике используется сплошная модель жид&

кости: некоторый ее континуум. Согласно гипотезе

сплошности, рассматриваемый континуум — это

жидкая частица, в которой беспрерывно движется

огромное количество молекул; в ней нет ни разрывов,

ни пустот.

Если в предыдущих вопросах, изучая гидростатику,

за модель для изучения жидкости в равновесии взяли

сплошную среду, то здесь на примере той же модели

будут изучать жидкость в движении, изучая движение

ее частиц.

Для описания движения частицы, а через нее и жидE

кости, существуют два способа.

1. Метод Лагранжа. Этот метод не используется

при описании волновых функций. Суть метода в слеE

дующем: требуется описать движение каждой частицы.

Начальному моменту времени t

соответствуют наE

чальные координаты x

, y

, z

Однако к моменту t они уже другие. Как видно, речь

идет о движении каждой частицы. Это движение можE

но считать определенным, если возможно указать для

каждой частицы координаты x, y, z в произвольной моE

мент времени t как непрерывные функции от x

, y

, z

13. Метацентр

и метацентрический радиус

Способность тела восстанавливать свое первоначальE

ное равновесное состояние после прекращения внеE

шнего воздействия называют остойчивостью.

По характеру действия различают статистическую

и динамическую остойчивость.

Поскольку мы находимся в рамках гидростатики, то

и разберемся со статистической остойчивостью.

Если образовавшийся после внешнего воздействия

крен необратим, то остойчивость неустойчива.

В случае сохранения после прекращения внешнего

воздействия, равновесие восстанавливается, то остой&

чивость устойчива.

Условием статистической остойчивости являетE

ся плавание.

Если плавание подводное, то центр тяжести долE

жен быть расположен ниже центра водоизмещения на

оси плавания. Тогда тело будет плавать. Если надвод&

ное, то остойчивость зависит от того, на какой угол θ

повернулось тело вокруг продольной оси.

При θ < 15

, после прекращения внешнего воздейE

ствия равновесие тела восстанавливается; если θ ≥ 15

то крен необратим.

Точку пересечения архимедовой силы с осью плаE

вания называют метацентром: при этом проходит

также через центр давления.

Метацентрическим радиусом называют радиус

окружности, частью которой является дуга, по котоE

рой центр давления перемещается в метацентр.

Приняты обозначения: метацентр — M, метацентриE

ческий радиус — γ

13а

14а

16а

15а

При θ < 15

где I

— центральный момент плоскости относительно

продольной оси, заключенной в ватерлинии.

После введения понятия «метацентр» условия

остойчивости несколько изменяются: выше говорили,

что для устойчивой остойчивости центр тяжести долE

жен находиться выше центра давления на оси плаваE

ния. Теперь предоложим, что центр тяжести не долE

жен находиться выше метацентра. В противном случае

силы и будут увеличивать крен.

Как очевидно, при крене расстояние δ между центE

ром тяжести и центром давления меняется в пределах

δ < γ

При этом расстояние между центром тяжести и метаE

центром называют метацентрической высотой, коE

торая при условии (2) положительна. Чем больше метаE

центрическая высота, тем меньше вероятность крена

плавающего тела. Наличие остойчивости относительно

продольной оси плоскости, содержащей в себе ватерE

линию, является необходимым и достаточным услоE

вием остойчивости относительно поперечной оси той

же плоскости.

1. (2)

,(1)

13б

Переменные x

, y

, z

, t, называют переменными

Лагранжа.

2. Метод определения движения частиц по Эй&

леру. Движение жидкости в этом случае происходит

в некоторой неподвижной области потока жидкости,

в котором находятся частицы. В частицах произвольно

выбираются точки. Момент времени t как параметр явE

ляется заданным в каждом времени рассматриваемой

области, которая имеет координаты x, y, z.

Рассматриваемая область, как уже известно, нахоE

дится в пределах потока и неподвижна. Скорость частиE

цы жидкости в этой области в каждый момент вреE

мени t называется мгновенной местной скоростью.

Полем скорости называется совокупность всех мгноE

венных скоростей. Изменение этого поля описываетE

ся следующей системой:

Переменные в (2) x, y, z, t называют переменными

Эйлера.

(),

(), (2)

().

u=u x,y,z,t

000

(),

(), (1)

().

x=x x ,y ,z ,t

y=y x ,y ,z ,t

z=z x ,y ,z ,t

Вектор самой угловой скорости всегда перE

пендикулярен плоскости, в которой происходит

вращение.

Если определить модуль угловой скорости, то

Удвоив проекции на соответствующие координаE

ты оси ω

, ω

, получим компоненты вектора вихря

θ = 2ω.

Совокупность векторов вихря называется вектор&

ным полем.

По аналогии с полем скоростей и линией тока, суE

ществует и вихревая линия, которая характеризует

векторное поле.

Это такая линия, у которой для каждой точки вектор

угловой скорости сонаправлен с касательной к этой

линии.

Линия описывается следующим дифференциальE

ным уравнением:

в котором время t рассматривается как параметр.

Вихревые линии во многом ведут себя так же, как

и линии тока.

Вихревое движение называют также турбулентным.

()()()

xyz

x,y,z,t x, y, z,t x,y,z,t

υυυ

ωωω

222

xyz

=++

ω ωωω

2. Установившееся движение: поскольку

при таком движении местные скорости не завиE

сят от времени и постоянны:

Линии тока и траектории частиц совпадают, а дифE

ференциальное уравнение для линии тока имеет вид:

Совокупность всех линий тока, которые проходят чеE

рез каждую точку контура потока, образует поверхE

ность, которую называют трубкой тока. Внутри этой

трубки движется заключенная в ней жидкость, котоE

рую называют струйкой.

Струйка считается элементарной, если рассматE

риваемый контур бесконечно мал, и конечной, если

контур имеет конечную площадку.

Сечение струйки, которое нормально в каждой своей

точке к линиям тока, называется живым сечением

струйки. В зависимости от конечности или бесконечE

ной малости, площадь струйки принято обозначать,

соответственно, ω и dω.

Некоторый объем жидкости, который проходит чеE

рез живое сечение в единицу времени, называют рас&

ходом струйки Q.

.(3)

()()()

xyz

dx dy dz

u x,y,z u x,y,z u x,y,z

(),

(), (2)

().

u=u x,y,z

14б

16б

15б