Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов

Подождите немного. Документ загружается.

с погрешностью 2 % при ; 4 % при

9,1≥

9,18,1

≤

; 10 % при

8,15,1

≤

15 % при

8,111,1

≤

описываются соотношением

[

]

)7,5(4,1

)(4,014,0 kkpkk

−+−=

−

где p – вес составляющей с энтропийным коэффициентом k.

8.3. Методика расчета результирующей погрешности

с произвольным значением доверительной вероятности

В соответствии с рассматриваемой методикой следует выполнить действия:

1. Для каждой из суммируемых составляющих найти оценки СКО

)(

)( y

и оценки эксцессов

)(

, .

)( yε

2. Вычислить

)()(

yx σ+σ=σ

3. Определить вес дисперсии одной из составляющих

(

)

)()()(

222

yxxp σ+σσ=

4. Найти оценку суммарной погрешности

)1)(()1(6)( pypppx −ε+−+ε=ε

. (8.2)

5. Если суммируемых составляющих больше двух, то суммирование СКО и

определение производится последовательно – первой со второй, затем

полученной с третьей, вновь полученной с четвертой и т. д. Таким образом могут

быть определены расчетные значения

при суммировании любого числа

составляющих.

6. Определить к какому классу относится распределение результирующей

погрешности.

7. Рассчитать значение квантильного множителя для заданной

доверительной вероятности , используя следующие аппроксимирующие

формулы:

– для экспоненциальных, трапецеидальных распределений и распределений

Стьюдента при n > 8

[

]

])1(1lg[lg

)6,1(8,362,1

−

−ε=

, (8.3)

погрешность вычислений не превосходит 4 % для и 8 % для

;

99,09,0

≤≤ P

999,099,0

≤≤ P

– для кругловершинных двухмодальных распределений, представляющих

собой композицию нормального и двузначного дискретного распределений,

[

]

{

}

])1(1lg[lg

)1(lg16,36,1

−

−ε+=

погрешность вычислений не превосходит 10 % для

999,09,0

≤

33,1

≤

;

101

– для островершинных двухмодальных распределений, образующихся как

композиция распределения Лапласа и дискретного двузначного распределения,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−ε

175,0

5,2

123,1

t ,

погрешность вычислений не превосходит 5 % для

999,09,0

≤

68,1

≤

;

– для распределений класса шапо, образующихся как композиция

экспоненциального распределения с α = 0,5 и равномерного распределения,

[

]

])1(1,0lg[

58,0

10)8,1(12,156,1

−

−ε+=

погрешность вычислений не превосходит 8 % при

68,1

≤

Замечание. Для выбора нужной формулы для вычисления квантильного

множителя t необходимо знать вид класса распределения погрешности. Однако

полученное расчетом значение эксцесса

не определяет однозначно вид закона

распределения.

8. Вычислить значение результирующей погрешности, соответствующее

заданному значению доверительной вероятности

ΣΣ

Возможные упрощения методики суммирования погрешности. Наиболее

трудными моментами методики суммирования погрешностей являются

нахождение СКО всех составляющих по известным их интервальным оценкам и

определение интервальной оценки результирующей погрешности по полученному

в результате расчета ее СКО, так как для этого необходимо знание формы закона

распределения. Поэтому упрощение методики сводится к использованию

упрощенных методов перехода от СКО результирующей погрешности к

интервальной оценке результирующей погрешности.

•

Один из возможных методов такого упрощения основывается на том,

что при суммировании большого числа составляющих закон распределения

результирующей погрешности все более и более приближается к

нормальному.

Методика такого суммирования до момента расчета оценок в начале и в

конце диапазона измерений не отличается от описанной выше, однако

переход от

к будет выполняться по формуле

нд

где – квантильный множитель, определяемый по приведенным в

учебниках по теории вероятностей таблицам квантилей нормального

распределения или по приближенной формуле (8.3), полагая ε = 3.

Такой прием существенно уменьшает трудоемкость расчетного

суммирования погрешностей, но может вносить существенные ошибки,

если фактическое распределение погрешности далеко от нормального.

102

•

В качестве другого пути упрощения перехода

следует указать

возможность использования для результирующей погрешности значения

доверительной вероятности

9,0

, при котором для большой группы

классов различных распределений сохраняется постоянным соотношение

6,1

9,0

Если суммируемые составляющие заданы своими значениями

i9,0

, то

6,1

9,0 ii

Δ=σ ;

∑

σ=σ

ΣΣ

6,1

9,0

или просто

∑

Δ=Δ

9,09,0

Итак, предпочтительным значением доверительной вероятности при

нормировании случайных погрешностей является , тем более, что

оценка определяется по экспериментальным данным с гораздо

большей точностью, чем, например,

9,0

97,0

или

99,0

Используя доверительные границы

погрешности, необходимо иметь в

виду следующее. Эти границы располагаются симметрично лишь при отсутствии

у прибора или измерительного канала систематической составляющей погреш-

ности θ. Если 0

≠

θ , то границы погрешности оказываются несимметричными.

Например, если

%4,0

±=

, а θ = +0,1 %, то одна граница оказывается равной

0,1 – 0,4 = –0,3 %, а другая 0,1 + 0,4 = +0,5 %. Знак погрешности θ чаще всего

неизвестен, поэтому ввести поправку невозможно. Пользоваться при расчетах

несимметричными границами погрешностей крайне неудобно. Поэтому на

практике вместо использования несимметричных границ переходят к указанию

симметричных границ, равных по модулю большей из несимметричных, т. е.

вместо указания «погрешность находится в пределах от –0,3 % до +0,5 %»

переходят к указанию «погрешность находится в пределах ». %5,0±

Дальнейшее упрощение методики суммирования: пренебрежение делением

погрешности на коррелированные и некоррелированные или подразделением на

аддитивные и мультипликативные, недопустимы, так как они могут привести к

существенно ошибочным результатам.

8.4. Пример расчета погрешности измерительного канала

Пусть требуется рассчитать результирующую погрешность измерительного

канала, состоящего из трех узлов: реостатного датчика Д, усилителя У и

регистратора (рис.8.2).

Постановка задачи. Погрешность реостатного датчика с сопротивлением

Ом нормирована в его паспорте максимальным значением приведенной

200

103

погрешности 0,15 %, пре-

дполагается, что погреш-

ность аддитивна. Датчик

питается напряжением

200 мВ через стабилизатор

напряжения с коэффи-

циентом стабилизации

K = 25 от общего с усили

телем

стандартного неста-

ель У, выпол-

ного канала

повторителя, предназначен

ности характеристики всего канала, поэтому имеет вход

Блок

питания

Перфоратор

Транскриптор

Стабилизатор

напряжения

Цех

Лаборатория

АР

ЦВ

билизированного блока

питания.

Усилит

неный в виде эмиттерного

Рис. 8.2. Схема измеритель

для обеспечения линей-

ное сопротивление, много

большее сопротивления датчика. Коэффициент влияния напряжения U его

питания на коэффициент усиления равен

)%10( UU%3,0

уU

ψ ,

влияние температуры приводит к смещению его нуля на

K10%2,0

В качестве регистратора использован электронный самопишущий автомати-

ческий потенциометр класса точности 0,5 с записью регистрируемого процесса на

бумажную ленту. Время прохода регистратором всей шкалы составляет 0,5 с.

Изменение температуры вызывает смещение нуля регистратора на

K10%1,0

рег

−

Параллельно с аналоговым регистратором (АР для последующей обработки

дан

) (

ных эксперимента на компьютере) включен цифровой вольтметр (ЦВ) класса

точности

1,02,0

с отсчетом трех десятичных знаков, к которому через

транскрип д лючен перф ратор, регистрирующий данные измере ий с

частотой 5 отсчетов в секунду.

Установка питается от сет

тор по к о н

и 220 В, 50 Гц с нестабильностью напряжения

обычн

установлены в лаборатории, где

тем

используется стационарно проложенная в

тра

%5 . Объект испытаний, на котором установлен датчик, находится в цехе, где

о поддерживается температурный режим ≈20

С, но летом может достигать

С, а зимой при открывании въездных ворот может падать до 5

С, т. е. может

изменяться в пределах (1520 ± )

С.

Усилитель и регистрирующая аппаратура

пература колеблется от 18 до 24

С.

В качестве линии связи с датчиком

ншеях цеха проводка, каждая жила которой имеет сопротивление около 2 Ом.

Напряжение наводки частотой 50 Гц, измеренное между заземленным проводом

104

линии и одной из изолированных жил с помощью электронного вольтметра с

входным сопротивлением 1 МОм составляет 1,6 В.

При расчете результирующей погрешности канала прежде всего каждой из

сос

четы как максимальных погрешностей, так и СКО вести в

отн

ть датчика. Эта погрешность нормирована по

пас

тавляющих погрешности следует приписать соответствующий закон

распределения, найти СКО разделить погрешности на аддитивные и

мультипликативные.

Условимся все рас

осительных приведенных значениях.

Погрешности датчика.

Основная погрешнос

порту максимальным значением

mд

%15,0

Для того чтобы от этого значения перейти к СК необходимо знание вида закона О,

распределения погрешности. Одной из составляющих погрешности датчика

является погрешность дискретности, обусловленная конечным числом витков его

обмотки, по которым скользит подвижный контакт. Эта погрешность имеет

равномерное распределение. Тогда

%15,0

maxд

является половиной ширины

этого распределения и СКО определяется как

%087,0315,03

maxдд

=γ=σ =

Для равномерного распределения

73,1

, контрэксцесс , эксцесс

2. огрешность датчика от колебаний напряжения питания является

мул и и

б п

745,0=κ

8,1=ε

ьт пликативной распределена по тому же закону, что и отклонения

напряжения сети от своего номинального значения 220 В. Распределение

напряжения сети лизко к треугольному с ределами %15± Стабилизатор

снижает размах колебаний напряжения в 25

р е. на выходе

стабилизатора распределение также треугол но размахом

аз, т.

ь е, но с

%6,025%15

Поэтому максимальное значение этой погрешности

%6,0

maxд

Среднее квадратическое отклонение для треугольного распределения

6γ=σ

поэтому

%245,066,06

maxдд

==γ=σ

Параметры этого распределения:

02,2

65,0

4,2

3. Температурная погрешност даь датчика. В паспорте тчика температурная

пог

т е о

решность не указана, так как у датчика ее нет (коэффициент деления

напряжения не зависит от емп ратуры при динаковых температурных

105

коэффициентах обоих сопротивлений делителя). Но в рассматриваемом случае

датчик с

200

Ом включен последовательно с двумя жилами медной линии

сопротивлением 2 Ом каждая. При изменении температуры в цехе, где

проложена линия связи, в диапазоне (1520

)

С и температурном коэффициенте

меди

K10%4+=α

изменение сопротивления каждой из жил составит

Ом12,0101202

04,0

3−

=⋅=⋅⋅=αΔΘ=Δ

что по отношению к Ом составляет 0,06 %, т. е. величину, соизмеримую

тями.

нного максимального значения этой погрешности

200

с другими погрешнос

Для перехода от вычисле

%06,0

maxд

возникающего при предельных отклонениях температуры до 5 или 35

С, к СКО

необходимо знать закон распределения температуры в испытательном цехе.

Известно, что в большинстве случаев температура в цехе близка к 20

С и к айне

редко достигает значений 5 и 35

С. Примем совершенно эвристическое

предположение, что она распределена нормально и 4 дня в году бывает ниже 5

и 4 дня в году – выше 35

С, а остальные 365 – 8 = 357 дней, т. е.

98,0365357

случаев, не выходит за эти пределы. Для нормального распределени

98,0=

я вероятности

соответствуют границы в

3,2

. Отсюда искомое значение СКО

%026,03,206,0

maxдд

3,2

=σ

ΘΘ

066,2

а параметры закона распределения: ,

577,0

, 3=

Погрешности усилителя.

Погрешность от наводки на линию связи – погрешность на входе усилителя.

При присоединении к линии электронного вольтметра с входным сопротивлением

1 МОм на его входе возникало падение напряжения 1,6 В, т. е. через него

проходил ток

1016106,1

−

⋅==I

А.

При замыкании линии на датчик сопротивлением Ом падение

=⋅

200

напряжения на нем от этого тока составит

2,32001016

=⋅⋅=

−

U 32,010

−

мВ.

Таким образом, приведенная погрешность от наводки п ксимальном сигнале ри ма

с датчика, равном 200 мВ, будет

%16,020032,0

нав

Так как исходное значение наводки в 1,6 В отсчитано по шкале

вол

было

ьтметра, т. е. являлось действующим (средним квадратическим) значением, то

полученная оценка погрешности от наводки и есть ее СКО, т. е.

%16,0

нав

106

Ее максимальное значение

%225,0216,02

maxнав

γ ==σ=

а закон распределения – арксинусоидальный. Следовательно, энтропийный

коэффициент этого распределения

11,1

, контрэксцесс

8160=κ

, эксцесс

5,1=ε

Погрешность, возникающая от наводки посторонних напряжений на вход

изм

циента усиления усилителя является

мул ипл вы

ерительного канала, как правило, является аддитивной, так как не зависит от

величины измеряемого сигнала. Но данный конкретный случай является

исключением. Здесь, как видно из схемы рис. 8.2, сопротивление, на которое

замкнут вход измерительного усилителя, есть сопротивление нижней части

реостатного датчика. При входной измеряемой величине, равной нулю, это

сопротивление также равно нулю. Поэтому напряжение наводки возрастает

линейно с ростом входного сигнала, т е. в данном случае погрешность от наводки

оказывается мультипликативной.

5. Погрешность коэффи

ьт икативной и распределена по треугольному закону, так как зывается

колебаниями напряжения питания. Ее максимальное значение при

)%10(%3,0

Δ+=ψ составляет

%15

%45,0%1503,0

⋅

maxу

⋅

а СКО

%184,0645,0

==σ

Параметры распределения:

02,2

65,0

4,2

6. Погрешность смещения и нуля усилителя пр колебании температуры

явл ,яется аддитивной закон ее распределения повторяет закон распределения

температуры в лаборатории, где установлен усилитель и регистраторы. Закон

распределения температуры в лаборатории в пределах от 18 до 24

С можно

считать равномерным со средним значением 21

С и размахом ±3

С (±3 K).

Максимальное значение этой погрешности при

K10%2,0

составляет

02,03

уmaxу

⋅

ΘΘ

K %06,03

K ,

а СКО

%034,0306,0

==σ

Параметры распределения:

73,1

745,0

8,1

Погрешности аналогово . го регистратора

регистратора определяется его

классо

Основная погрешность аналогового

м точности. Однако в отличие от датчиков, погрешность которых

нормируется без запаса на старение, погрешность всех электроизмерительных

приборов согласно стандарту нормируется с 25%-ным запасом на старение, т. е.

107

фактическая погрешность нового прибора составляет не больше чем 0,8γ

кл

. Если

прибор уже ремонтировался, то его погрешность 0,4γ

кл

. Благодаря этому

приборам обеспечивается большой межремонтный срок службы, пока их

погрешность возрастает от ,4γ

кл

до γ

. В среднем погрешность находящихся в

эксплуатации приборов составляет 0,7γ

кл

Предположим, что в рассматрива

емом случае используется новый

рег классе чистратор, и при то ности 0,5 его погрешность составляет не более

%4,05,08,0

maxрег

⋅

Погрешность потенциометра определяется прежде всего погрешностью реохорда,

поэтому она аддитивна, а закон ее распределения, как и у реостатного датчика,

равномерный с шириной ±0,4 %. Тогда СКО этой погрешности

%23,034,0

рег

==σ .

73,1

745,0

8,1

Параметры распределения: , .

8. Температурная пог т р а решнос ь регист атор является аддитивной и

про является в виде смещения нуля на

K10%10

рег

−

. Максимальное

значение погрешности при принятом выше е распределения

температуры шириной ±3

С (±3 K) составляет

равномерном закон

%03,0301,03 =⋅ψ=γ K

регmaxрег

=⋅

ΘΘ

ее СКО

%017,0303,0

рег

==σ

Параметры распределения:

73,1

745,0

8,1

Погрешности цифрового вольтметра.

ра (ЦВ) нормирована двучленной

фор

ь расчета погрешности состоит в том, что приведенное значение

пог

Погрешность цифрового вольтмет

мулой. Ее приведенное значение равно 0,1 % при x = 0 и линейно возрастает

до 0,2 % в конце шкалы. При использовании в канале измерения ЦВ часто

возникает следующая ситуация. Максимальный сигнал датчика в данном случае

равен 200 мВ. При номинальном коэффициенте усиления усилителя, равном

единице, выходное напряжение также равно 200 мВ. Пределы измерений

цифровых приборов, как правило, кратны 10 и имеют значения: 100, 10 и 1 В.

В рассматриваемом канале измерений используется прибор с пределом измерения

1 В. Он обеспечивает удобный отсчет измерений величины непосредственно в

милливольтах, но расчет его погрешности в этом случае имеет некоторые

особенности.

Особенност

решности должно рассчитываться для предела измерений именно 200 мВ, в то

время как приведенная погрешность ЦВ дана для предела измерений 1000 мВ.

Для этого должна быть вычислена абсолютная погрешность ЦВ в точках начала и

конца нового диапазона и отнесена к его концу.

108

Абсолютная погрешность при x = 0 ЦВ класса

мВ11000

100

1,0

100

ЦВк0

===Δ X

а ее приведенное значение к пределу измерений данного канала

канк

%5,0мВ200мВ1

ЦВн

Абсолютная погрешность ЦВ при x = 200 мВ

мВ2,1200

100

1,02,0

100

0200

−

+Δ=Δ x

dс

а ее приведенное значение к пределу измерений канала

%6,0

мВ200

мВ2,1

канк

200

ЦВк

=γ

Таким образом, неполное использование диапазона ЦВ приводит к существен-

ному возрастанию приведенной погрешности измерений с 0,2/0,1 до 0,6/0,5.

Распределение данной погрешности является композицией равномерного и

экспоненциального с показателем степени α = 0,5 (

exp

−

= 25,0)( ) законов

распределения.

У высокоточных ЦВ с большим числом разрядов экспоненциальное

распределение преобладает над равномерным, а у низкоточных – наоборот. Так,

например, у ЦВ типа Ф203 дисперсия экспоненциальной составляющей равна от 2

до 13 % общей дисперсии. Поэтому при грубой оценке погрешности этой

составляющей можно пренебречь и считать распределение близким к

равномерному. Для более точного расчета погрешности дисперсию этой

составляющей можно в среднем принять равной 8 % или 1/13 общей дисперсии.

Таким образом, если полагать распределение погрешности ЦВ равномерным,

то СКО будет

%289,035,0

ЦВн

==σ ; %346,036,0

ЦВк

==σ .

При учете экспоненциальной составляющей погрешности ЦВ следует считать

состоящей из двух частей: при x = 0

%278,0

289,0

ЦВн1

==σ

%080,0

289,0

ЦВн2

==σ

;

в конце диапазона измерений канала при x = 200 мВ

%332,0

346,0

ЦВк1

==σ

%096,0

346,0

ЦВк2

==σ

109

Равномерное распределение (

ЦВ1

) имеет параметры

73,1

, ,

745,0=κ 8,1

Параметры экспоненциального с α = 0,5 распределения (

ЦВ2

35,1=

2,0

2,25=ε

Итак, все составляющие погрешности разделены на аддитивные и

мультипликативные, им приписаны законы распределения и вычислены СКО.

Этот результат представлен на рис. 8.3, где буквами А и М в кружках отмечены

соответственно аддитивные и мультипликативные погрешности.

Суммирование погрешностей.

Расчет результирующей погрешности канала сводится к вычислению

приведенной погрешности при x = 0, которая складывается только из аддитивных

составляющих, и в конце диапазона при x = 200 мВ, которая складывается из всех

составляющих. Эти операции проделаем дважды: один раз – для канала с

аналоговым регистратором, а другой раз – для канала с цифровым регистратором.

Сначала выделим коррелированные погрешности и просуммируем их

алгебраически. Коррелированными являются те погрешности, которые вызывают-

ся одной и той же общей причиной, поэтому имеют одинаковую форму закона

распределения, которая остается справедливой и для их алгебраической суммы.

Коррелированными являются погрешности

2 – датчика и 5 – усилителя от

колебаний напряжения питания U, имеющие треугольный закон распределения.

Установим их знаки. Коэффициент влияния на погрешность коэффициента

усилителя от колебаний напряжения питания является положительным

(

)%10(%3,0

Δ+=ψ ), т. е. коэффициент усиления с увеличением

напряжения питания возрастает. Также положительным является коэффициент

влияния на погрешность от колебаний напряжения питания датчика. Поэтому

результирующее значение этих погрешностей равно их сумме

%43,0429,0184,0245,0

уду)(д

≈

σ=σ

+ UUU

а закон распределения этой суммарной погрешности сохраняется треугольным.

Погрешности от колебания температуры

3 – датчика и 6 – усилителя – это

некоррелированные погрешности, так как их вызывает не одна и та же

температура, а разные – температура в цехе и температура в лаборатории.

Погрешности от колебания температуры

6 – усилителя и 8 – аналогового

регистратора являются коррелированными погрешностями, так как их вызывает

одна и та же температура в лаборатории. Температурная погрешность

эмиттерного повторителя положительна (

K10%2,0

). Температурная

погрешность аналогового регистратора указана как отрицательная:

K10%1,0

рег

−=ψ

. Следовательно,

%017,0017,0034,0

регурег)(у

=−=σ−σ=σ

ΘΘ+Θ

Итак, после учета корреляционных связей все полученные погрешности

можно суммировать как независимые.

110