15
W
&
= rW – c, t ∈ [0, T].
Граничные условия имеют вид: W(0) = W
0
, W(T) = W
T
и ограничение на
объем мгновенного потребления с: 0 ≤ c ≤ 1. Здесь W - реальное богатство
потребителя, которое прирастает с темпом r, это фазовая координата. Часть
его потребитель тратит на потребление c - это управление, а другая часть
идет на приращение богатства. Для определенности будем считать, что
β
< r,
а также, что W
0
e
rt
> W
T
.
Функция Понтрягина H и сопряженная система имеют вид:
H =
ψ
0
ce
–
β
t
+
ψ
1
(rW – c),
1
&
= – r
ψ
1
,
где
ψ
0
= const ≥ 0 и одновременно
ψ
0
и
ψ
1
не обращаются тождественно в
ноль. Уравнение можно сразу проинтегрировать:
ψ
1
(t) =
ψ
1
(0) e
-rt
. Условие
максимума H по с дает соотношение:
(
ψ
0
e
-
β
t
–
ψ
1
(0) e
-rt
) с → max по c: 0 ≤ c ≤ 1.
Отсюда заключаем, что если
ψ
1
(0) ≤ 0, то получаем режим c ≡ 1, который
будет оптимальным при некотором достаточно высоком W(0)
max
. Если наше
W
0
меньше, то отрицательное
ψ
1
(0) не годится, значит
ψ
1
(0) > 0. В этом
случае, если
ψ
0
= 0, то реализуется режим c ≡ 0, который также будет
оптимальным при некотором достаточно низком W(0)
min
. Если наше W
0
выше, то нулевое
ψ
0
не годится, значит
ψ
0
> 0. В таком случае его можно
считать равным 1, воспользовавшись тем, что сопряженный вектор
ψ
= (
ψ
0
,
ψ
1
) определен с точностью до положительного множителя. Условие
максимума H по с запишем в более удобном виде:
(1 –
ψ
1
(0) e
-(r –
β
) t
) с → max по c: 0 ≤ c ≤ 1.
Отсюда видно, что режимы, для которых W(0)
min
< W(0) < W(0)
max
проходят с переключением:
ψ
1
(0) > 1, c(t) = 0 на начальном отрезке, затем в
некоторый момент t наступает равенство:
ψ
1
(0)e
-(r –
β
) t
= 1 и затем c(t) =1 до
конца интервала управления.
То, что описанные режимы действительно доставляют максимум
функционалу, следует из вогнутости функции Понтрягина по совокупности
фазовой координаты и управления, W и c, такая теорема будет доказана
впереди. Картина фазовых траекторий представлена на рисунке.
Аналогичный анализ можно провести для случая, когда
β
> r. Тогда
переключения будут с с = 1 на с = 0. Результаты приведены на рисунке 2.2.