Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

631

()()()()

cos sin cos 2 sin 2zr i r k i k kZ



=ϕ+ϕ= ϕ+π+ϕ+π ∈



; (15)

00zr=⇔=;

cos

ϕ= =

;

sin

ϕ= =

. (16)

Ïîêàçàòåëüíàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà (ôîðìóëà Ýéëåðà):

(

)

(

)

cos sin e e 2, 71828

zr i r

=ϕ+ϕ= =

.(17)

Îñíîâíûå ïðàâèëà äåéñòâèé íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè:

()

111 1 1 1 1

cos sin e

zabir i r

=+ = ϕ+ ϕ= ;(18)

()

222 2 2 2 2

cos sin e

zabir i r

=+ = ϕ+ ϕ= ; (19)

()()

12 12 12

zz aa bbi±= ± + ± ;(20)

()()

2zz abi abi a+= + + − = ; (21)

()()

12 12 12 12 21

zz aa bb ab ab i=−++ ;(22)

() ()

()

1212 12 12 12

cos sin e

zz rr i rr

ϕ+ϕ



= ϕ +ϕ + ϕ +ϕ =



;(23)

()()

zz a bi a bi a b=+ − =+;(24)

() ()

()

11 1

12 12

22 2

cos sin e

zr r

ϕ−ϕ



=ϕ−ϕ+ϕ−ϕ=



;(25)

()

11212122112

22 22

222

22 22

zzzaabbabab

zzz

ab ab

+−

== + ≠

.(26)

Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü è èçâëå÷åíèå êîðíÿ (ô î ð ì ó ë à Ì ó à â ð à):

() ( ) ( )

cos sin e

mm mim

zabir mimr mZ

=+ = ϕ+ ϕ= ∈;(27)

()

cos sin e

zabir i r

ϕ+ π

ϕ+ π ϕ+ π



=+= + =





(28)

()

0, 1, 2, , 1;knnN=−∈… . Ïîëó÷àåì n ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé êîðíÿ ïðè

0z ≠ .

2. Ïðåäåëû

Ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f(x) ïðè õ, ñòðåìÿùåìñÿ ê à (õ → à) èëè íåîãðà-

íè÷åííî âîçðàñòàþùåì (õ → ∞), ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî À, åñëè, ïî ìåðå

Êðàòêèå ñâåäåíèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå

632

òîãî êàê õ ïðèáëèæàåòñÿ ê à (èëè ê ∞) — áóäü òî ñïðàâà èëè ñëåâà,—

çíà÷åíèå f(x) íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàåòñÿ (ñòðåìèòñÿ) ê À. Ïðåäåë îáî-

çíà÷àåòñÿ

lim ( )

fx A

→

= èëè lim ( )

fx A

→∞

= . (29)

Åñëè ôóíêöèÿ y = f(x) íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè õ → à (èëè õ → ∞),

òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ íå èìååò ïðåäåëà èëè èìååò áåñêîíå÷íûé ïðåäåë.

Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ

Òåîðåìà 1. Ïðåäåëîì ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû À ÿâëÿåòñÿ ñàìà âåëè÷èíà À:

lim AA= *. (30)

Òåîðåìà 2. Ïðåäåë ñóììû (ðàçíîñòè) êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé ðàâåí

ñóììå (ðàçíîñòè) ïðåäåëîâ ýòèõ ôóíêöèé:

12 1 2

lim [ ( ) ( ) ... ( )] lim ( ) lim ( ) ... lim ( )

fx fx fx fx fx fx+++ = + ++ . (31)

Òåîðåìà 3. Ïðåäåë ïðîèçâåäåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé ðàâåí ïðî-

èçâåäåíèþ èõ ïðåäåëîâ:

12 1 2

lim[ () ()... ()] lim () lim ()... lim ()

fx fx f x fx fx f x⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ . (32)

Òåîðåìà 4. Ïðåäåë ÷àñòíîãî äâóõ ôóíêöèé ðàâåí ÷àñòíîìó ïðåäåëîâ

ýòèõ ôóíêöèé, åñëè ïðåäåë çíàìåíàòåëÿ íå ðàâåí íóëþ:

() lim ()

lim , lim ( ) 0

() lim ()

fx fx

=≠

. (33)

Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë:

sin

lim 1

→

= . (34)

Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë:

lim 1 e

→∞







, (35)

ãäå å — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå ñ òî÷íîñòüþ äî 6-é çíà÷àùåé öèô-

ðû 2,71828.

×èñëî å ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì íàòóðàëüíîãî ëîãàðèôìà:

log lnaa= . (36)

Íåîïðåäåëåííîñòÿìè íàçûâàþòñÿ âûðàæåíèÿ, ïðåäåëû êîòîðûõ íåëüçÿ

âû÷èñëèòü íåïîñðåäñòâåííûì ïðèìåíåíèåì òåîðåì î ïðåäåëàõ.

* Ïðè âñåõ çíàêàõ lim ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïîäïèñü õ → à èëè õ →∞.

Ïðèëîæåíèå 1

633

Îñíîâíûå òèïû íåîïðåäåëåííûõ âûðàæåíèé:

()

, åñëè lim ( ) lim ( ) 0fx gx==, ñèìâîëè÷åñêè îáîçíà÷àåòñÿ

()

, åñëè lim ( ) lim ( )fx gx==∞, ñèìâîëè÷åñêè îáîçíà÷àåòñÿ

∞

Íåîïðåäåëåííîñòè âèäà 0

, 0

∞

, ∞−∞, 1

∞

∞ ,

∞

∞ , 0 ×∞ ìîãóò áûòü

ñ ïîìîùüþ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñâåäåíû ê óêàçàííûì äâóì.

Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ*: ïðåäåë îòíîøåíèÿ

()

äâóõ ôóíêöèé, îáå èç

êîòîðûõ áåñêîíå÷íî ìàëû (íåîïðåäåëåííîñòü âèäà

) èëè áåñêîíå÷íî

âåëèêè (íåîïðåäåëåííîñòü âèäà

∞

), ðàâåí ïðåäåëó îòíîøåíèÿ ïðîèçâîä-

íûõ ýòèõ ôóíêöèé:

() ()

lim lim

() ()

fx f x

gx g x

′

.(37)

Åñëè îáå ôóíêöèè f'(x) è g'(x) òàê æå áåñêîíå÷íî ìàëû èëè áåñêîíå÷-

íî âåëèêè, òî âîçìîæíî ïîâòîðíîå ïðèìåíåíèå ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ.

3. Ïðîèçâîäíûå

Ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f(x) íàçûâàåòñÿ ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðà-

ùåíèÿ ôóíêöèè ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà, êîãäà ïî-

ñëåäíåå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ:

()()

lim lim

fx x fx y

→→

+∆ − ∆

′

∆∆

.(38)

Ïðîèçâîäíûå îñíîâíûõ ôóíêöèé ïðèâåäåíû â òàáë. 1.

Îñíîâíûå ïðàâèëà íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ

1. Ïðîèçâîäíàÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû ðàâíà íóëþ:

() 0a

′

, ãäå a = const. (39)

2. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê ïðîèçâîäíîé:

[()] ()af x af x

′′

= , ãäå a = const. (40)

3. Ïðîèçâîäíàÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû äâóõ èëè íåñêîëüêèõ ôóíêöèé

ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå èõ ïðîèçâîäíûõ:

123 12 3

[ () () ()] () () ()fx fx fx fx fx fx

′′ ′ ′

+− =+− .(41)

* Íàçâàíèå «ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ» èñòîðè÷åñêè íåòî÷íî, òàê êàê ñôîðìóëèðî-

âàë ïðàâèëî È. Áåðíóëëè è îçíàêîìèë ñ íèì ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà Ã. Ô. Ëî-

ïèòàëÿ, àâòîðà ïåðâîãî ïå÷àòíîãî ðóêîâîäñòâà ïî äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëå-

íèþ, ãäå îíî áûëî îïóáëèêîâàíî (1896).

Êðàòêèå ñâåäåíèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå

634

4. Ïðîèçâîäíàÿ ïðîèçâåäåíèÿ:

12 12 12

[ () ()] () () () ()fx fx fx fx fx fx

′′ ′

⋅=⋅+⋅.(42)

5. Ïðîèçâîäíàÿ ÷àñòíîãî:

11212

() () () () ()

()

fx fx fx fx fx

′

′′

⋅−⋅





.(43)

6. Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè:

{}

[()] [()] ()ft f t t

′

′′

ϕ=ϕ⋅ϕ.(44)

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé: ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y = f(x) â òî÷êå à

âûðàæàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå a, òî åñòü ñêîðîñòü ïðîòå-

êàíèÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî çàâèñèìîñòüþ y = f(x). Òàê, åñëè ïåðåìå-

ùåíèå òî÷êè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì S = f(t), òî S'(t) ÿâëÿåòñÿ ìãíîâåííîé

ñêîðîñòüþ òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t, òî åñòü v = f ' (t). Â õèìè÷åñêîé êèíå-

òèêå ñêîðîñòü ðåàêöèè, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì c = f (t), ãäå ñ — êîí-

öåíòðàöèÿ ðåàãåíòà, ðàâíà v = f '(t).

Òàáëèöà 1

Ïðîèçâîäíûå îñíîâíûõ ôóíêöèé

yó'y ó'

c = const 0 ln x

x 1

sin x cos x

ax + ba

cos x sin x−

n-1

tg x

cos x

−

ctg x

sin x

−

2 x

arcsin x

1 x−

, (a >0, a ≠ 1) a

ln a

arccos x

1 x

−

arctg x

1 x

log

x, (a >0, a ≠ 1)

lnxa

arcctg x

1 x

−

Ïðèëîæåíèå 1

635

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f(x) èìååò ïðîèçâîäíóþ y = f'(x) íà íåêîòîðîì ïðî-

ìåæóòêå. Åñëè íîâàÿ ôóíêöèÿ f'(x) èìååò ïðîèçâîäíóþ íà ýòîì æå ïðîìå-

æóòêå, òî îíà îáîçíà÷àåòñÿ y = f"(x) è íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé.

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòîðîé ïðîèçâîäíîé: âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè

y = f(x) â òî÷êå à âûðàæàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ôóíêöèè â òî÷êå

à, òî åñòü óñêîðåíèå ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî çàâèñèìîñòüþ y = f(x). Íà-

ïðèìåð, ìåõàíè÷åñêîå óñêîðåíèå ÿâëÿåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïåðåìå-

ùåíèÿ.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà ïðîèçâîäíîé ââåäåì ñëåäó-

þùèå ïîíÿòèÿ.

Êàñàòåëüíîé ê êðèâîé L â òî÷êå M íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ q, ñ êîòîðîé

ñòðåìèòñÿ ñîâïàñòü ñåêóùàÿ MM', êîãäà òî÷êà M', îñòàâàÿñü íà êðèâîé L,

ïðîèçâîëüíî (ñïðàâà èëè ñëåâà) ñòðåìèòñÿ ê M (ðèñ. 2).

Óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k ïðÿìîé íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ òàí-

ãåíñó óãëà α, îáðàçîâàííîãî äàííîé ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëå-

íèåì îñè àáñöèññ. Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî óãëîâîé êîýôôèöèåíò ê ñåêóùåé

MM' ðàâåí:

QM y

MQ x

′

∆

=α= =

∆

.(45)

Îäíàêî ïðè ñòðåìëåíèè M' ê M óãëîâîé êîýôôèöèåíò èìååò ïðåäåë:

lim

∆→

∆

.(46)

Ñîãëàñíî ôîðìóëå (38)

()kfx

′

= .(47)

Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëå-

äóþùåì: çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f(x) â òî÷êå x = a ðàâíî óãëî-

âîìó êîýôôèöèåíòó êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå:

()kfa

′

= .(48)

Ðèñ. 2. Ê îïðåäåëåíèþ êàñà-

òåëüíîé ê êðèâîé

Ðèñ. 3. Ê îïðåäåëåíèþ ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñ-

ëà ïðîèçâîäíîé

Êðàòêèå ñâåäåíèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå

636

Åñëè ôóíêöèÿ y = f(x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x = a, òî â ýòîé òî÷êå

ê ãðàôèêó ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè â òî÷êå

x = a ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f(x) ìîæíî ïðîâåñòè íåâåðòèêàëüíóþ êàñà-

òåëüíóþ, òî ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x.

Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f(x) â òî÷êå x = a èìå-

åò âèä:

() ()( )yfa faxa

′

=+ −.(49)

4. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé

Ôóíêöèÿ y = f(x) íàçûâàåòñÿ â î ç ð à ñ ò à þ ù å é íà ïðîìåæóòêå [a, b],

åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ çíà÷åíèé x

è x

, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîìó ïðîìåæóòêó

è ïîä÷èíÿþùèõñÿ óñëîâèþ x

< x

, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f(x

) < f(x

Ôóíêöèÿ y = f(x) íàçûâàåòñÿ ó á û â à þ ù å é íà ïðîìåæóòêå [a, b],

åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ çíà÷åíèé x

è x

, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîìó ïðîìåæóòêó

è ïîä÷èíÿþùèõñÿ óñëîâèþ x

< x

, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f(x

) > f(x

Äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê âîçðàñòàíèÿ (óáûâàíèÿ) ôóíêöèè: åñëè ïðîèç-

âîäíàÿ ôóíêöèÿ f'(x) â ïðîìåæóòêå [a, b] âñþäó ïîëîæèòåëüíà, òî ôóíê-

öèÿ f(x) â ýòîì ïðîìåæóòêå âîçðàñòàåò; åñëè f'(x) âñþäó îòðèöàòåëüíà, òî

f(x) óáûâàåò.

Ìàêñèìóìîì (ìèíèìóìîì) ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ òàêîå åå çíà÷å-

íèå, êîòîðîå ìåíüøå (áîëüøå) îñòàëüíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè â îêðåñòíî-

ñòè äàííîé òî÷êè. Ìàêñèìóì è ìèíèìóì ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ýêñòðåìó-

ìàìè.

Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà: åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ýêñòðå-

ìóì â òî÷êå x = a, òî â ýòîé òî÷êå ïðîèçâîäíàÿ ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî

áåñêîíå÷íà, ëèáî íå ñóùåñòâóåò. Òî÷êè, â êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ ëèáî ðàâ-

íà íóëþ, ëèáî áåñêîíå÷íà, ëèáî íå ñóùåñòâóåò, íàçûâàþòñÿ ê ð è ò è-

÷åñêèìè.

Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà: åñëè ïðè ïåðåõîäå àðãóìåíòà ÷åðåç

òî÷êó x = a ïðîèçâîäíàÿ f'(x) ìåíÿåò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî òî÷êà

x = a ÿâëÿåòñÿ ýêñòðåìóìîì, ïðè÷åì, åñëè çíàê ìåíÿåòñÿ ñ ïëþñà íà ìè-

íóñ, òî a ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìóìîì; åñëè ñ ìèíóñà íà ïëþñ — òî ìèíèìóìîì.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ ôóíêöèè y = f (x) íåîáõîäèìî:

1) íàéòè ïðîèçâîäíóþ f'(x);

2) ðåøèòü óðàâíåíèå f'(x) = 0;

3) íàéòè òî÷êè, â êîòîðûõ f'(x) íå ñóùåñòâóåò;

4) äëÿ êàæäîé êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ x = a èññëåäîâàòü, ìåíÿåòñÿ ëè

çíàê ïðîèçâîäíîé f'(x) ïðè ïåðåõîäå àðãóìåíòà ÷åðåç ýòî çíà÷åíèå. Åñëè

ïðîèçâîäíàÿ f'(x) ïåðåõîäèò îò ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé ê îòðèöàòåëü-

íûì (îò x < a ê

x > a), òî èìååì ìàêñèìóì; åñëè íàîáîðîò, òî — ìèíèìóì;

åñëè f'(x) íå èçìåíÿåò çíàê, òî â ýòîé òî÷êå íåò íè ìàêñèìóìà, íè ìèíè-

ìóìà;

5) âû÷èñëèòü f(à).

×òîáû îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ýêñòðåìóì ôóíêöèè ìàêñèìóìîì èëè

ìèíèìóìîì, ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé: ïóñòü

Ïðèëîæåíèå 1

637

â òî÷êå x = a ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ f'(x) îáðàùàåòñÿ â íóëü; åñëè ïðè ýòîì

âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ f"(a) îòðèöàòåëüíà, òî ôóíêöèÿ y = f(x) èìååò â òî÷êå

x = a ìàêñèìóì, åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîëîæèòåëüíà, òî — ìèíèìóì.

Ãðàôèê ôóíêöèè y = f(x) íàçûâàåòñÿ âîãíóòûì ââåðõ (âûïóêëûì âíèç)

íà äàííîì ïðîìåæóòêå [a, b]; åñëè ãðàôèê öåëèêîì ðàñïîëîæåí âûøå

êàñàòåëüíîé â åãî ïðîèçâîëüíîé òî÷êå M (ðèñ. 4, à).

Ðèñ. 4. Ê îïðåäåëåíèþ âîãíóòîñòè (âûïóêëîñòè) ãðàôèêîâ:

à — âîãíóòûé ââåðõ (âûïóêëûé âíèç); á — âûïóêëûé ââåðõ (âîãíóòûé âíèç)

Ãðàôèê ôóíêöèè y = f(x) íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì ââåðõ (âîãíóòûì âíèç)

íà äàííîì ïðîìåæóòêå [a, b]; åñëè îí öåëèêîì ðàñïîëîæåí íèæå êàñà-

òåëüíîé â åãî ïðîèçâîëüíîé òî÷êå M

(ðèñ. 4, á).

Óñëîâèå âûïóêëîñòè (âîãíóòîñòè):

åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè

y = f(x) íà äàííîì ïðîìåæóòêå ïîëî-

æèòåëüíà [f"(x) >0], òî ãðàôèê ôóíê-

öèè ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì âíèç íà ýòîì

ïðîìåæóòêå; åñëè îòðèöàòåëüíà

[f"(x) < 0], òî — âîãíóòûì.

Åñëè ãðàôèê ôóíêöèè y = f(x) ëå-

æèò ïî îáå ñòîðîíû îò êàñàòåëüíîé

ê òî÷êå M, òî ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ

ò î ÷ ê î é ï å ð å ã è á à (ðèñ. 5).

Â òî÷êå ïåðåãèáà âûïóêëîñòü ñìåíÿ-

åòñÿ íà âîãíóòîñòü è íàîáîðîò. Ïåðå-

ãèá âîçìîæåí òîëüêî â òåõ òî÷êàõ, ãäå

âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ f"(x) ëèáî ðàâíà

íóëþ, ëèáî áåñêîíå÷íà, ëèáî íå ñó-

ùåñòâóåò.

Óñëîâèå òî÷êè ïåðåãèáà: åñëè â òî÷êå x = a âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíê-

öèè y = f(x) îáðàùàåòñÿ â íóëü è ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç x = a, òî

òî÷êà M(a, f(a)) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà ãðàôèêà ýòîé ôóíêöèè.

Ðèñ. 5. Òî÷êà ïåðåãèáà

Êðàòêèå ñâåäåíèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå

638

Äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷åê ïåðåãèáà íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü âñå çíà÷åíèÿ

àðãóìåíòà, äëÿ êîòîðûõ âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ f"(x) ðàâíà íóëþ, áåñêîíå÷íà

èëè íå ñóùåñòâóåò. Åñëè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç îäíî èç ýòèõ çíà÷åíèé âòîðàÿ

ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê, òî â äàííîé òî÷êå èìååòñÿ ïåðåãèá; åñëè íå

ìåíÿåò, òî ïåðåãèáà íåò.

5. Äèôôåðåíöèàëû

Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè íà

ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà:

dyyx

′

=∆ èëè d ( ) ( )fx f x x

′

=∆ (50)

(÷èòàåòñÿ «äý èãðåê» èëè «äý ýô îò èêñ»).

Äèôôåðåíöèàë àðãóìåíòà ðàâåí ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà.

dxx=∆ .(51)

Ñ ó÷åòîì ôîðìóë (49) è (50) ìîæíî çàïèñàòü:

ddyyx

′

= ,(52)

èëè

′

= .(53)

Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà îòíîøåíèþ äèôôåðåíöèàëà ôóíê-

öèè ê äèôôåðåíöèàëó àðãóìåíòà.

Òåðìèí «äèôôåðåíöèðîâàíèå» îçíà÷àåò êàê âû÷èñëåíèå ïðîèçâîä-

íîé, òàê è íàõîæäåíèå äèôôåðåíöèàëà.

Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

1. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê äèôôåðåíöèàëà:

d[ ( )] d ( )afx a fx= , ãäå a = const. (54)

2. Äèôôåðåíöèàë àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû ôóíêöèé ðàâåí àëãåáðàè-

÷åñêîé ñóììå èõ äèôôåðåíöèàëîâ:

123 1 2 3

d[ () () ()] d() d () d()fx fx fx fx fx fx+− = + − .(55)

3. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïðîèçâîäíîé íà äèô-

ôåðåíöèàë àðãóìåíòà:

d() ()dfx f x x

′

(56)

4. Äèôôåðåíöèàë ïðîèçâåäåíèÿ

d( ) d duv u v v u=+.(57)

5. Äèôôåðåíöèàë ÷àñòíîãî

uvuuv

−







.(58)

Ïðèëîæåíèå 1

639

Ïðîèçâîäíàÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâíà îòíîøåíèþ äèôôåðåíöèàëà âòî-

ðîãî ïîðÿäêà ê êâàäðàòó äèôôåðåíöèàëà àðãóìåíòà:

′′

= ,(59)

àíàëîãè÷íî

′′′

= ;

(4)

= è ò. ä. (60)

Äëÿ íàõîæäåíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ îñíîâíûõ ôóíêöèé ïîëüçóþòñÿ òàá-

ëèöåé ïðîèçâîäíûõ.

Åñëè ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà ìàëî, òî äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ïðè-

áëèæåííî ðàâåí ïðèðàùåíèþ ôóíêöèè

dyy≈∆ .(61)

6. Äèôôåðåíöèàëû â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ

Ïðè èçìåíåíèè àðãóìåíòà íà íåáîëüøóþ âåëè÷èíó dx ìîæíî ïðè-

áëèæåííî âû÷èñëèòü ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ∆y ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå:

dyyx

′

∆≈ .(62)

Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ôóíêöèþ f(x) è åå ïðîèçâîäíóþ f'(x) ëåãêî âû-

÷èñëèòü ïðè x = a, à äëÿ çíà÷åíèé õ, áëèçêèõ ê à, íåïîñðåäñòâåííîå âû-

÷èñëåíèå ôóíêöèè çàòðóäíèòåëüíî. Òîãäà ïîëüçóþòñÿ ïðèáëèæåííîé ôîð-

ìóëîé

()()dfx x fx y x

′

+∆ ≈ + .(63)

Íà îñíîâàíèè âûøåèçëîæåííîãî ìîæíî âûâåñòè ñëåäóþùèå ïðèáëè-

æåííûå ôîðìóëû, â êîòîðûõ α — ìàëàÿ âåëè÷èíà ( 1α  ):

(1 ) 1

n+α ≈ + α;(64) (1)1

n−α ≈ − α;(65)

+α ≈ + α;(66)

−α ≈ − α;(67)

≈−α

+α

;(68)

≈+α

−α

;(69)

(1 )

≈−α

+α

;(70)

(1 )

≈+α

−α

; (71)

+α ≈ + α;(72)

−α ≈ − α;(73)

Êðàòêèå ñâåäåíèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå

640

+α ≈ + α;(74)

−α ≈ − α;(75)

≈−α

+α

;(76)

≈+α

−α

;(77)

ln (1 )+α ≈α;(78) ln(1)−α ≈−α;(79)

≈+α;(80)101ln10

≈+α⋅ ; (81)

sin α≈α;(82) tg

α≈α

;(83)

cos 1

α≈ − α .(84)

Ôîðìóëû (67) — (75) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ôîðìóëû (65).

7. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû.

Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë

Ïóñòü u ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ: u = f(x, y, z).

Åñëè îäèí èç àðãóìåíòîâ, íàïðèìåð õ, èçìåíÿåòñÿ íà ìàëóþ âåëè÷èíó ∆õ,

à îñòàëüíûå àðãóìåíòû îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, òî ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé u

ïî õ (îáîçíà÷àåòñÿ

∂

èëè

′

) ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ïðåäåë:

(,,)(,,)

lim

u fx xyz fxyz

∆→

∂+∆−

′

∂∆

;(85)

àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî y è z:

(, , ) (, , )

lim

u fxy yz fxyz

∆→

∂+∆−

′

∂∆

;(86)

(, , ) (, , )

lim

ufxyzzfxyz

∆→

∂+∆−

′

∂∆

.(87)

Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàõîæäåíèè ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèÿ äèô-

ôåðåíöèðóåòñÿ ïî îäíîé ïåðåìåííîé, â òî âðåìÿ êàê îñòàëüíûå ñ÷èòàþò-

ñÿ ïîñòîÿííûìè.

Âûðàæåíèå

∂

ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê íåðàçðûâíûé ñèìâîë ÷àñò-

íîé ïðîèçâîäíîé, à íå êàê îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëîâ.

×àñòíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþ-

ùåé ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé íà ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà

∂

;(88)

àíàëîãè÷íî

∂

;(89)

Ïðèëîæåíèå 1