Тимофеев В.А., Тимофеев А.А. Краткий курс лекций по высшей математике. Семестр II (сокращенная программа)

Подождите немного. Документ загружается.

КРАТКИЙКУРСЛЕКЦИЙ

ПОВЫСШЕЙМАТЕМАТИКЕ

Семестр II.

Электронное учебно-методическое пособие по

дисциплине “Математика” для студентов

специальностей “Промышленное и гражданское

строительство” и “Водоснабжение и водоотведение”

заочной формы обучения (сокращенная программа)

с применением дистанционных образовательных

технологий

В.А. Тимофеев, А.А. Тимофеев

Уфа 2009

Версия 0.9 от 05.02.2009

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ”

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Семестр II

Уфа 2009

АВТОРЫ:

Тимофеев

Вячеслав Алексеевич

доцент кафедры “ПМиМ”

Тимофеев

Андрей Алексеевич

доцент кафедры “ПМиМ”

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Булгакова

Гузель Талгатовна

профессор УГАТУ, доктор физ.-мат. наук

Хасанов

Станислав Вильевич

доцент УГАТУ, кандидат физ.-мат. наук

Электронная верстка:

Тимофеев

Андрей Алексеевич

доцент кафедры “ПМиМ”

ВВЕДЕНИЕ

Математика имеет исключительно важное значение для всего процесса

обучения, необходима для успешного изучения общетеоретических и специ-

альных дисциплин. Математические методы широко используются для ре-

шения самых разнообразных задач техники, строительства и экономики.

Электронный учебник содержит курс лекций по математике для II се-

местра в соответствии с утвержденной программой, перечень контрольных

вопросов для самостоятельной подготовки, варианты контрольных работ,

контрольно-измерительные материалы (КИМ), предназначенные как для са-

моконтроля полученных студентами знаний, так и для оценки знаний студен-

тов преподавателями.

Курс лекций содержит теоретический материал по разделам: “Неопре-

деленный интеграл”, “Определенный интеграл”, “Дифференциальные урав-

нения”, а также примеры решения задач по рассматриваемым темам. Мате-

риал рекомендуется изучать последовательно, однако, для повторения и за-

крепления изучаемого материала предусмотрена возможность перехода к

любому изучаемому параграфу в процессе работы с учебником. Для этого

необходимо нажать соответствующую ссылку на левой панели учебника.

В течение II семестра студенту необходимо выполнить контрольные

работы №3, №4. Номер варианта контрольных работ совпадает с последней

цифрой номера зачетной книжки студента, вариант 10 соответствует цифре 0.

Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятель-

но выполненная работа не дает возможность преподавателю-рецензенту ука-

зать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала,

в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может ока-

заться неподготовленным к сдаче зачета или экзамена. Выполненные кон-

трольные работы высылаются в деканат заочного отделения по графику: кон-

трольная работа №3 – через 4 недели после установочной сессии, контроль-

ная работа №4 – через 6 недель после установочной сессии. Прорецензиро-

ванные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнения-

ми, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъяв-

ления преподавателю прорецензированных контрольных работ студент не

допускается к сдаче зачета или экзамена.

Завершающим этапом изучения материалов II семестра является сдача

зачета.

Глава IV

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

Теорема существования

1.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

В дифференциальном исчислении мы решали следующую основную

задачу: по данной функции найти ее производную. Многочисленные вопросы

науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функ-

ции

)(

найти такую функцию

)(

, производная которой равнялась бы

заданной функции

)(

, т.е.

)(xfF )(x

′

. (1)

Функция

)(

F , связанная с функцией )(

соотношением (1), называ-

ется ее

первообразной.

Таким образом, мы пришли к следующему определению:

Определение. Первообразной функцией от данной функции )(

на-

зывается функция, производная которой равна данной функции.

Пример 1.

Пусть дана функция .

)( xxf =

Функция

)( xxF = является первообразной, т.к.

)( xxxF =⋅=

′

Отыскание по данной функции ее первообразной составляет одну из

основных задач интегрального исчисления.

Возникает вопрос: для всякой ли функции существует первообразная?

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке

[

]

ba ; функция )(

име-

ет на этом отрезке первообразную.

Если функция, для которой мы ищем первообразную, имеет точки раз-

рыва, то мы будем ее рассматривать только в тех интервалах, где она непре-

рывна.

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается не-

однозначно. В самом деле, если, например, , то первообразной для

нее является не только

)( xxf =

, но и

, и вообще C

, где

– некоторая

произвольно выбранная постоянная. Поэтому, естественно, возникает вопрос

об отыскании всех первообразных от данной функции.

Теорема 2. Если функция )(

есть первообразная от функции )(

на отрезке , то всякая другая первообразная от функции )

[]

ba ; (

на отрез-

ке отличается от функции )

[]

ba ; (

на постоянное слагаемое, т.е. может

быть представлена в виде

)(, где

– постоянная.

Доказательство. Пусть )(

Ф – любая другая первообразная функция от

на отрезке

[

. Тогда

]

ba ; )() fx(F x

′

и )Ф ()( xfx

′

, следовательно,

(

)

[]

) = 0)()()()( =−=(

′

)( −

′

− xfxfxFxФ FxФx .

Отсюда

или

)()(. −)

)((

Определение. Совокупность всех первообразных функций

)(

от функции )

(

называется неопределенным интегралом функции )(

обозначается символом

⎮

⌡

⌠

xf )( dx

Здесь:

)(

– подынтегральная функция;

)( – подынтегральное выражение;

– переменная интегрирования.

Пример 2.

dx +=

⎮

⌡

⌠

Действие отыскания неопределенного интеграла или, что то же самое,

нахождение всех первообразных от данной функции, называется интегриро-

ванием этой функции.

Из определения первообразной имеем:

dxxF )(xdF )(

′

dxxf )( .

Тогда

. dxxfd )( =

⎮

⌡

⌠

dxxf )(

dxxf =)

Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен по-

дынтегральному выражению.

Аналогично имеем:

CxF +=

⎮

⌡

⌠

)((.x)(Fd

⎮

⌡

⌠

Свойство 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой

функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

1.2 Таблица основных интегралов

Отыскание первообразной от данной функции есть задача более труд-

ная, чем задача нахождения по данной функции ее производной. В диффе-

ренциальном исчислении мы нашли производные основных элементарных

функций, установили правила дифференцирования суммы, произведения, ча-

стного двух переменных, а также сложной функции.

Эти правила позволили определять производные любых элементарных

функций. Для отыскания первообразных таких правил не существует. Так,

например, нет никаких определенных правил для нахождения первообразных

от произведения, частного двух функций, даже если первообразную каждой

из элементарных функций мы умеем найти.

Методы интегрирования функций сводятся к указанию ряда приемов,

выполнение которых во многих случаях приводит к цели.

I. 1,

−≠+

⎮

⌡

⌠

dxx

. VI.

⎮

⌡

⌠

+−= Cx

ctg

sin

II.

⎮

⌡

⌠

+= Cx

ln .

VII.

⎮

⌡

⌠

arctg

III. . VIII. Cxdxx +−=

⎮

⌡

⌠

cossin

⎮

⌡

⌠

−

arcsin

IV. . XI. .

⎮

⌡

⌠

+= Cxdxx sincos Cedxe

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

+= Cx

cos

. X. C

dxa

⎮

⌡

⌠

Доказательство производится дифференцированием.

II.

xdxdxxxxx ==⇒=⇒=⇒> lnlnlnln0.

xdxdxxxxx =

−

=−=⇒−=⇒−=⇒> )ln(ln)ln(ln0.

1.3 Основные свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы (разности) конеч-

ного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных инте-

гралов от каждого слагаемого в отдельности, т.е.

[]

⎮

⌡

⌠

−

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

−+ dxxdxxgdxxfdxxxgxf )()()()()()(

ϕϕ

2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного инте-

грала, т.е.

⎮

⌡

⌠

⋅=

⎮

⌡

⌠

⋅ dxxfkdxxfk )()(.

Доказательство.

;

dxxfkdxxfkd )()( ⋅=

⎮

⌡

⌠

⋅

. dxxfkdxxfdkdxxfkd )()()( ⋅=

⎮

⌡

⌠

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎮

⌡

⌠

⋅

Итак,

⎮

⌡

⌠

⋅=

⎮

⌡

⌠

⋅⇒

⎮

⌡

⌠

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎮

⌡

⌠

⋅ dxxfkdxxfkdxxfkddxxfkd )()()()(

1.4 Геометрический смысл неопределенного интеграла

Нахождение кривой )(

зная, что тангенс угла наклона ка-

сательной в каждой ее точке есть

заданная функция абсциссы этой

точки

)(

§ 2. Основные методы интегрирования

2.1 Интегрирование методом разложения.

Пример 1.

⎮

⌡

⌠

=−

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

−+

dxdxxdx

xdx

Cxx

+−+= ln

)( CxF

Рис. 4.1

Пример 2.

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

++−=+=

⎮

⌡

⌠

Cxx

tgctg

cossinsincos

sincos

2222

2.2 Интегрирование методом замены переменной.

Во многих случаях удается введением вместо переменной интегриро-

вания

новой переменной свести данный интеграл к новому

интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или

легко вычисляется другим способом. Этот метод интегрирования получил

название метода замены переменной или метода интегрирования подстанов-

кой.

⎮

⌡

⌠

dxxf )(

Введем вместо

новую переменную такую, что u )(u

= , где )(u

–

непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную.

Покажем, что имеет место равенство:

(1)

⎮

⌡

⌠

′

⎮

⌡

⌠

duuufdxxf )())(()(

ϕϕ

Действительно,

;

dxxfdxxfd )()( =

⎮

⌡

⌠

. dxxfduuufduuufd )()())(()())(( =

′

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎮

⌡

⌠

′

ϕϕϕϕ

Равенство (1) – формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 3.

zaa

adz

adzdx

azx

+=+=

⎮

⌡

⌠

−

⎮

⌡

⌠

−

⎮

⌡

⌠

−

arcsinarcsin

222222

Пример 4.

Cax

zdz

dzadx

zax

dxax +=+=

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

sin

cos

Пример 5.

CxCz

dzxdx

dxx +−=+

⎮

⌡

⌠

−=−=

=−

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

coslnln

sin

,cos

cos

sin

tg .

2.3 Интегрирование по частям.

Пусть )(

uu = и )(

= – две функции от

, имеющие непрерывные

производные. Из дифференциального исчисления мы знаем, что

⋅

)( . (*)

Интегрируя обе части равенства, имеем

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

⎮

⌡

⌠

⋅

duvdvuvud )(

или

⎮

⌡

⌠

−=

⎮

⌡

⌠

−

⎮

⌡

⌠

⋅=

⎮

⌡

⌠

duvuvduvvuddvu )(.

(Произвольная постоянная

включается в вычитаемый интеграл.)

Формула

⎮

⌡

⌠

−=

⎮

⌡

⌠

duvuvdvu

называется формулой интегрирования по частям.

Пример 6.

Ceexdxeex

edxevdxedv

dxduxu

dxex

xxxx

xxx

+−=

⎮

⌡

⌠

−=

===

⎮

⌡

⌠

∫

Пример 7.

+−++=

−==

+=++=

⎮

⌡

⌠

++ )cos)(12(

cos,sin

,22,12

sin)12(

xxx

xvdxxdv

xduxxu

dxxxx

+−++=

=+=

⎮

⌡

⌠

++ )cos)(12(

sin,cos

,,1

cos)1(2

xxx

xvdxxdv

dxduxu

dxxx

=++++−++=

⎮

⌡

⌠

−++ Cxxxxxxdxxxx cos2sin)1(2)cos)(12(sin2sin)1(2

Cxxxxx +++−+−= sin)1(2cos)12(