Томусяк А.А., Трохименко В.С. Теорія ймовірностей
Подождите немного. Документ загружается.
f(x) =
1
√
7, 2π
e
−
(x−6)
2
7,2
.
Y
15
P (Y
15
= 4) = C
4
15
0, 4
4
0, 6
11
≈ 0, 1268,
Z
P (3, 5 6 Z 6 4, 5) =
4,5
Z
3,5
f(x) dx = Φ(−0, 79) − Φ(−1, 32) =
= Φ(1, 32) − Φ(0, 79) = 0, 4066 − 0, 2852 = 0, 1214.
P (Y
15
= 6) = C
6
15
0, 4
6
0, 6
9
≈ 0, 2066,
P (5, 5 6 Z 6 6, 5) =
6,5
Z
5,5
f(x) dx = Φ(0, 26) − Φ(−0, 26) =
= 2Φ(0, 26) = 0, 2052.
Y
15
P (7 6 Y
15
6 8) = P (Y
15
= 7) + P (Y
15
= 8) + P (Y
15
= 9) =
= C
7
15
0, 4
7
0, 6
8
+ C
8
15
0, 4
8
0, 6
7
+ C
9
15
0, 4
9
0, 6
6
≈ 0, 3564,
Z
P (6, 5 6 Z 6 9, 5) =
9,5
Z
6,5
f(x) dx = Φ(1, 84) − Φ(0, 26) = 0, 3645.
n p
1
2
n p np > 5
nq > 5
Z
a = 1 σ =
√
2 P (0 6 Z 6 3)
P (0 6 Z 6 3) = Φ
µ
3 − 1
√
2
¶
− Φ
µ
0 − 1
√
2
¶
=
= Φ(1, 41) + Φ(0, 71) = 0, 6947.
n = 20 p =
1
2
np = 10 npq = 5
Z Z
∗
= αZ + β
M(Z
∗
) = αM(Z) + β D(Z
∗
) = α
2
D(Z)
n
10 = α + β,
5 = α
2
· 2
α = 1, 58 β = 8, 42
Z
∗
= 1, 58Z + 8, 42.
P (0 6 Z 6 3) = P
µ
0 6
Z
∗
− 8, 42
1, 58
¶
= P (8, 42 6 Z
∗
6 13, 19) ≈
≈ P (Y
20
6 13) − P (Y
20
6 8) = 0, 9423 − 0, 2517 = 0, 6906. ¤
n p <
1
2
p =
1
2
p >
1
2
n p
p <
1
2
p =
1
2
p >
1
2
f(x) =
1
√
2πnpq
e
−
(x−np)
2
2npq
X
n = 80 M(X)
D(X) = 15 X > 20
X
M(X) = 20 D(X) = 16 P (15 6 X 6
30)
X
f(x) =
1
0, 5
√
2π
e
−
(x−5)
2
0,5
.
X
X
P (50 < X < 60) = 0, 3413.
1
√
π
X
±0, 5
a σ
b b
X Y
(0, σ
1
) (0, σ
2
) σ
1
> σ
2
t > 0
P (|X| 6 t) 6 P (|Y | 6 t).
X Y
X
2
+ Y
2
√
X
2
+ Y
2
X, Y, Z
(a, σ) (b, σ)
(c, σ)
(X, Y, Z) (a, b, c)
X, Y
M(X) = M (Y ) = 0 D(X) = D(Y ) = 4
(X, Y )
{(x, y) |2 6
p
x
2
+ y
2
6 3}
{(x, y) |2 6 min(|x|, |y|), max(|x|, |y|) 6 3}
{(x, y) |2 6 |x| + |y| 6 3}
x
1
, x
2
, . . . , x
n
1
n
n
X
k=1
x
k
•
•
•
•
X
1
, X
2
, . . . , X
n
M
Ã
n
X
k=1
X
k
!
=
n
X
k=1
M(X
k
),
D
Ã
n
X
k=1
X
k
!
=
n
X
k=1
D(X
k
).
X
a d
ε > 0
P (|X − a| > ε) 6
d
ε
2
.
X
X x
1
x
2
. . . x
n
. . .
P p
1
p
2
. . . p
n
. . .
d =
∞
X
n=1
(x
n
− a)
2
p
n
.
ε > 0 d
d =
X
n: x
n
6a−ε
(x
n
−a)
2
p
n
+
X
n: |x
n
−a|<ε
(x
n
−a)
2
p
n
+
X
n: x
n
>a+ε
(x
n
−a)
2
p
n
.
X
n:|x
n
−a|<ε
(x
n
− a)
2
p
n
n x
n
6 a − ε x
n
> a + ε
(x
n
− a)
2
> ε
2
d > ε
2
X
n: x
n
6a−ε
p
n
+ ε
2
X
n: x
n
>a−ε
p
n
=
= ε
2
X
n: |x
n
−a|>ε
P (X = x
n
) = ε
2
P (|X − a| > ε).
X
f(x)
d =
+∞
Z
−∞
(x − a)
2
f(x)dx =
a−ε
Z
−∞
(x − a)
2
f(x)dx +
+
a+ε
Z
a−ε
(x − a)
2
f(x)dx +
+∞
Z
a+ε
(x − a)
2
f(x)dx >
> ε
2
a−ε
Z
−∞
f(x)dx + ε
2
+∞
Z
a+ε
f(x)dx =
= ε
2
(P (X 6 a − ε ) + P (X > a − ε)) =
= ε
2
P (X − a 6 −ε X − a > ε) = ε
2
P (|X − a| > ε).
d > ε
2
P (|X − a| > ε)
¤
X
X
p =
1
6
n = 180
M(X) = np = 30 D(X) = npq = 25
P (24 6 X 6 36) = P (|X − 30| 6 6) = 1 − P (|X − 30| > 7) >
> 1 −
25
49
= 0, 49.
P (24 6 X 6 36) = Φ
µ
36 − 30
5
¶
− Φ
µ
24 − 30
5
¶
= 2Φ(1, 2) ≈
≈ 0, 77. ¤
ε = 3σ
P (|X − a| < 3σ) > 1 −
σ
2
9σ
2
= 0, 8889,
p = 0, 89
3σ
X
1
, X
2
, . . . , X
n
, . . .
A
ε > 0
lim
n→∞
P (|X
n
− A| < ε) = 1.
X
1
, X
2
, . . . , X
n
, . . .
a d
Y
1
, Y
2
, . . . , Y
n
, . . .
Y
1
= X
1
Y
2
=
1
2
(X
1
+ X
2
) Y
3
=
1
3
(X
1
+ X
2
+ X
3
)
Y
n
=
1
n
n
P
k=1
X
k
(Y
n
)
a
M(Y
n
) = M
Ã
1
n
n
X
k=1
X
k
!
=
1
n
n
X
k=1
M(X
k
) = a,