Троценко Г.А., Жукова О.Г. Практикум по уравнениям математической физики. Стационарное уравнение. Интегральные уравнения. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

2 2 2 2 2

1 u 1 u 1 u

sin 0

sin sin

   

    

      

   

   

     

   

. (1.16)

Частные решения уравнения (1.16) будем искать в виде

однородного многочлена степени

   

u , , Y ,     

. (1.17)

Подставляя (1.17) в (1.16), получим, что функция

 

Y , 

должна удовлетворять уравнению

 

2 2

1 Y 1 Y

sin n n 1 Y 0

sin

 

  

    

 

  

 

 

. (1.18)

Дважды непрерывно дифференцируемые ограниченные

решения уравнения (1.18) называются сферическими функциями

порядка

Для нахождения решений уравнения (1.18) применим метод

разделения переменных. Будем искать решение

 

Y , 

уравнения (1.18) в виде произведения двух функций

     

Y , P cos     

Учитывая, что

   

Y , 2 Y ,      

, получим

   

2 ,



   





     



(1.19)

откуда

m , m 0, 1, 2, ...  

 

m m m

A cos m B sin m     

– решения задачи (1.19).

Функция

 

P cos 

определяется из уравнения

 

   

d P cos

1 d

sin n n 1 P cos 0

sin d d

sin

 





 

     

 

  



 

, (1.20)

и, следовательно, задача нахождения сферических функций на

единичной сфере сводится к отысканию решений уравнения

(1.20) при

m , m 0, 1, 2, ...  

. Полагая в (1.20)

t cos 

, для

функции

 

P cos 

0  

, получаем уравнение

 

   

1 t P t P(t) n n 1 P(t)

1 t



 



    

 



. (1.21)

Ограниченными решениями уравнения (1.21) являются

присоединенные многочлены Лежандра

 

n, m

d P (t)

P (t) 1 t

d t

 

где

 

n n

1 d

P (t) t 1 n 0, 1, 2, ...

2 n! d t

 

  

 

 



– многочлены

Лежандра.

Возвращаясь к переменной



, находим частные решения

уравнения (1.20):

 

n, m n

P (cos ) sin P (cos )

dcos

   



причем

n,0 n n, m

P (cos ) P (cos ), P (cos ) 0    

при

m n

Таким образом, частные решения уравнения (1.18),

ограниченные на единичной сфере, имеют вид:

n, m

P (cos ) cos m 

n, m

P (cos ) sin m 

. Их линейные

комбинации с произвольными коэффициентами

 

n n,m n,m n,m

m 0

Y , cos m sin m P cos



      



a b

, (1.22)

также являются частными решениями уравнения (1.18), а

частные решения уравнения (1.16) даются формулами

   

n n

u , , Y ,     

Решение внутренней задачи Дирихле в шаре (и других

внутренних задач) находится в виде ряда по сферическим

функциям

 

X , 

   

n 0

u , , X ,







 

     

 

 



. (1.23)

Разлагая функцию

 

f , 

в ряд по сферическим функциям

 

Y , 

   

n 0

f , Y ,





    



и используя граничное условие, находим

   

n n

X , Y ,    

Задача Неймана для уравнения Лапласа в шаре

формулируется так: найти функцию

 

u u , ,   

гармоническую внутри шара

R 

, нормальная производная

которой на поверхности S шара принимает заданные значения,

т.е.

 

u 0, f ,





    



. (1.24)

Разложение

 

f , 

в ряд по сферическим функциям имеет

вид

   

n 1

f , Y ,





    



В [1], п. 1.7 показано, что решение задачи (1.24) определяется

с точностью до произвольной постоянной и дается формулой

   

n 1

u , , Y , C

n R







 

      

 

 



. (1.25)

Приведем формулы для многочленов Лежандра

P (t)

 

n, m

P cos 

при

n 0, 1, 2, 3

     

 

2 3

0 1 2 3

1 1

P t 1, P t t, P t 3t 1 , P t 5t 3t ;

2 2

     

       

0,0 0 1,0 1

P cos P cos 1, P cos P cos cos ,        

 

1,1

P cos sin  

, т.к.

 

   

1 1 1

2 2 2

1,1 1

P t 1 t P t 1 t t 1 t



 

     

 

Аналогично получим:

 

2,0 2,1

P cos 3cos 1 , P cos 3sin cos ,

       

 

2,2

P cos 3sin ,  

 

3,0 3,1

1 15cos 3

P cos 5cos 3cos , P cos sin ,

2 2

 

       

   

2 3

3,2 3,3

P cos 15sin cos , P cos 15sin ,      

 

n, n

2n !

P sin

2 n!

 



Пользуясь формулой (1.22), выпишем сферические функции

 

Y , 

в явном виде для

n 0,1,2,3

 

0 0,0

Y , ,  a

 

1 1,0 1,1 1,1

Y , cos cos sin sin ,        a a b

 

2 2,0 2,1 2,1

Y , 3cos 1 cos sin sin cos           a a b

 

2,2 2,2

cos 2 sin 2 sin ,    a b

 

3 3,0 3,1 3,1

Y , 5cos 3cos cos sin          a a b

 

2 2

3,2 3,2

sin 15cos 3 cos 2 sin 2 sin cos          a b

 

3,3 3,3

cos 3 sin 3 sin .    a b

Пример 2. Найти функцию

 

u , ,  

, гармоническую

внутри единичного шара и удовлетворяющую на границе шара

условию

 

u sin sin sin



    

Решение. Представим функцию

   

f , sin sin sin      

в виде

 

sin sin sin sin sin sin         

 

2 2

1 2

sin sin 1 cos sin sin 3cos 1

3 3

            

Из формул для

1 2 0

Y , Y , Y

следует, что

при

 

1,0 1,1 1,1 1

0, 1 sin sin Y ,       a a b

;

при

2,0 2,1 2,1 2,2 2,2

, 0

   a a = b a b

 

3cos 1 Y ,

     

;

при

 

0,0 0

2 2

, Y ,

3 3

   a

Следовательно,

         

0 1 2

f , sin sin sin Y , Y , Y ,               

Тогда, согласно формуле (1.23), решение внутренней задачи

Дирихле имеет вид

       

0 1 2

u , , Y , Y , Y ,           

 

u , , sin sin 3cos 1

3 3



         

Пример 3. Пусть теперь на границе шара выполнено условие

u 6sin cos cos

 





  

Решение. Представим функцию

 

f , 6sin cos cos



    

в виде

1 cos

6sin cos cos 6sin cos

2 2

  

     

   

1 2

3cos sin 3cos sin cos Y , Y ,            

где

 

Y , 3cos sin    

 

Y , 3cos sin cos     

Функцию

 

u , ,  

будем искать, согласно формуле (1.23),

в виде

     

1 2

u , , Y , Y , C

 

         

где

 

Y , A cos sin    

 

Y , B cos sin cos     

–

те же функции, что и в разложении

 

f , 

, с неопределенными

коэффициентами. Найдем эти коэффициенты, используя

граничное условие

 

u f ,

 



  

. Имеем

 

A B

u , , cos sin cos sin cos C

 

          

 

A 2B

u , , cos sin cos sin cos





         

A 2B

u cos sin cos sin cos

R R

 



      

Следовательно,

A 2B

cos sin cos sin cos

R R

      

3cos sin 3cos sin cos      

Приравнивая коэффициенты левой части к коэффициентам

правой, получим





A 3R,

B R.



Таким образом, решение внутренней задачи Неймана имеет

вид

 

u , , 3 cos sin cos sin cos C

            

что подтверждает формула (1.25).

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного шара

и удовлетворяющую на границе шара условию:

а)

u cos 2 sin





 

   

 

 

б)

 

u sin sin 2 sin





 

     

 

 

в)

u cos sin sin





 

   

 

 

г)

u sin sin

 



 



   

 

 

д)

1 0

u sin sin 10 , u 1

  



   

2. Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса R с

центром в начале координат и удовлетворяющую на границе

шара условию:

а)

u sin 2 sin cos





 

   

 

 

б)

u sin 3 sin





 

   

 

 

в)

u sin cos 2 sin sin





 

      

 

 

г)

100

u sin 100 sin



  

д)





2 2

u u sin 2 cos 2 2cos





 

 



      

 

 

 

 

е)





 

u u sin sin cos cos sin







        

ж)





u u sin cos sin

2 6





 

 



    

 

 

Ответы

1.а.

 

2 2

u , , cos 2 sin



 

     

 

 

1.б.

 

u , , sin sin 2 sin



 

         

 

 

1.в.

 

u , , 15cos 3 sin

5 15 3

 

  

 

        

 

 

 

 

1.г.

 

u , , sin sin C



 

       

 

 

1.д.

 

u , , 1 sin sin 10



      

2.а.

 

u , , sin 2 sin cos

R 6

 

   

       

   

   

2.б.

 

u , , sin 3 sin

R 4

 

   

      

   

   

2.в.

 

u , , sin sin sin cos 2

R R 4

  

   

        

   

   

2.г.

 

100

u , , sin 100 sin



 

     

 

 

2.д.

 

2 R

u , , 3cos 1

3 R 3 2 R





 

        



 



 



 

2cos 2 sin 2 sin

2 R



   







Указание:





     

2,0 2,2

2 2 1

u u P cos 2cos 2 sin 2 P cos

3 3 3







       

Решение следует искать в виде

 

2 2

2,0

u A B P cos

R R

 

   

    

   

   

   

2,2

C cos 2 sin 2 P cos    D

2.е.

 

2 cos sin cos

u , , sin sin

3 R 1 R R 2

    

        

 

 

2 2

3cos 1

3 R R 2

  

 



Указание:





   

1,1 2,0

2 2

u u sin P cos P cos

3 3







       

 

2,1

cos P cos

  

Решение следует искать в виде

   

1,1 2,0

u A B sin P cos C P cos

R R

 

 

      

 

 

 

2,1

D cos P cos



 

  

 

 

2.ж.

 

   

u , , sin sin cos sin

2 R 1 2R R 2 6

 

  

 

        

 

 

 

 

 