Трошин Л.И. Балаш В.А. Балаш О.С. Статистический анализ нечисловой информации

Вычисляем наблюдаемое значение

χ

2

инф

(5.11). Значения

теоретических частот для модели:

n

nn

n

ijk

ik jk

k

*

**

=

⋅

.

Параметры модели находятся по формулам (5.8) и (5.9).

6. Модель независимости АВ и С (AB/C):

yuuuuu

ijk i

a

j

b

k

c

ij

ab

=+ +++

0

. (5.15)

Это модель условной независимости между факторами А и В от

фактора С.

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ik

ас

= 0, u

jk

bc

= 0}

против гипотезы Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ik

ас

≠

0, или u

jk

bc

≠

0}.

Или, в терминах теоретических частот, проверяется гипотеза:

Hn

nn

n

ijk

ij k

0

:{ , ,,}

*

***

=

⋅

∀

.

Наблюдаемое значение

χ

2

инф

вычисляется по формуле (5.11).

Значение теоретических частот для этой модели:

n

nn

n

ijk

ij k

*

***

=

⋅

.

Число степеней свободы

ν

= 8 – 5 = 3.

7. Модель независимости АС и В (AС/В):

yuuuuu

ijk i

a

j

b

k

c

ik

aс

=+ +++

0

. (5.16)

Это модель условной независимости между факторами А и С от

фактора В.

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

abc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

jk

bc

= 0}

против гипотезы Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

abc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0, или u

jk

bc

≠

0}.

Проверяется гипотеза:

Hn

nn

n

ijk

ik j

0

:{ , ,,}

*

***

=

⋅

∀

Число степеней свободы

ν

= 8 – 5 = 3.

Теоретические частоты рассчитываются по формуле:

n

nn

n

ijk

ij k

*

***

=

⋅

.

51

8. Модель независимости ВС и А (ВС/А):

yuuuuu

ijk i

a

j

b

k

c

jk

bс

=+ +++

0

. (5.17)

Это модель условной независимости между факторами В и С от

фактора А.

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0}

против гипотезы Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

аc

≠

0}.

Проверяется гипотеза:

Hn

nn

n

ijk

jk i

0

:{ , ,,}

*

***

=

⋅

∀

Число степеней свободы

ν

= 8 – 5 = 3.

Теоретические частоты рассчитываются по формуле:

n

nn

n

ijk

jk i

*

**

***

=

⋅

*

u

.

9. Модель главных эффектов трех факторов (A/B/C):

yuuu

ijk i

a

j

b

k

c

=+ ++

0

. (5.18)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

abc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0, u

jk

bc

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

abc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

ac

≠

0, или u

jk

bc

≠

0}.

Проверяем гипотезу:

}2,1;2,1;2,1);(

)()(

{:

******

**

***

**

***

**

*

0

===⋅=⋅⋅=

kjiCn

n

Bn

n

An

n

nH

k

j

i

ijk

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) рассчитываются:

n

ijk

i

j

k

*

**

***

**

***

**

=⋅⋅

.

Число степеней свободы

ν

= 8 – 4 = 4.

10. Модель с отсутствием влияния главного эффекта фактора А

(AB):

yuuuu

ijk i

a

j

b

ij

ab

=+ ++

0

. (5.19)

52

Проверяем нулевую гипотезу:

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0, u

ik

аc

= 0, u

jk

bc

= 0, u

k

c

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ik

аc

≠

0, или u

jk

bc

≠

0,

или u

k

c

≠

0}.

Следует проверить гипотезу:

Hn

n

ijk

ij

0

2

:{ , , }

*

=∀

.

Теоретические частоты определяются:

n

ijk

ij

*

=

2

.

Число степеней свободы равно 4.

11. Модель с отсутствием влияния главного эффекта фактора В

(AС):

yuuuu

ijk i

a

k

с

ik

ac

=+ ++

0

. (5.20)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

jk

bc

= 0, u

j

b

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0, или u

jk

bc

≠

0, или u

j

b

≠

0}.

Следует проверить гипотезу:

Hn

n

ijk

ik

0

2

:{ ,,}

*

=∀

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) определяются:

n

ijk

ik

*

=

2

.

Число степеней свободы равно 4.

12. Модель с отсутствием влияния главного эффекта фактора А

(ВС):

yuuuu

ijk j

b

k

с

jk

bc

=+++

0

. (5.21)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0, u

i

а

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

abc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

ac

≠

0, или u

i

a

≠

0}.

Проверяем гипотезу:

Hn

n

ijk

jk

0

2

:{ ,,}

*

=∀

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) определяются:

n

ijk

jk

*

=

2

.

Число степеней свободы равно 4.

53

13. Модель с отсутствием влияния главного эффекта фактора С

и независимость между факторами А и В (А/В):

yuu

ijk i

а

j

b

=+ +

0

u

. (5.22)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0, u

jk

bc

= 0, u

k

c

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

аc

≠

0, или u

jk

bc

≠

0,

или u

k

c

≠

0}.

Следует проверить гипотезу:

Hn

nn

ijk

ij

0

4

:{ , , }

*

** * *

=

⋅

∀

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) определяются:

n

nn

ijk

ij

*

** * *

=

⋅

4

.

Число степеней свободы равно 5.

14. Модель с отсутствием влияния главного эффекта фактора B

и независимость между факторами А и C (А/C):

yuu

ijk i

а

k

с

=+ +

0

u

. (5.23)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0, u

jk

bc

= 0, u

j

b

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

аc

≠

0, или u

jk

bc

≠

0,

или u

j

b

≠

0}.

Проверяем гипотезу:

Hn

nn

ijk

ik

0

4

:{ , , }

*

** **

=

⋅

∀

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) определяются:

n

nn

ijk

ik

*

** **

=

⋅

4

.

Число степеней свободы равно 5.

15. Модель с отсутствием влияния главного эффекта фактора А

и независимость между факторами В и C (В/C):

yuu

ijk j

b

k

с

=++

0

u

. (5.24)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0, u

jk

bc

= 0, u

i

а

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

аc

≠

0, или u

jk

bc

≠

0,

или u

i

а

≠

0}.

54

Проверяем гипотезу:

},,

4

{:

****

*

0

kji

nn

nH

kj

ijk

∀

⋅

=

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) определяются:

n

nn

ijk

jk

*

** **

=

⋅

4

.

Число степеней свободы равно 5.

16. Однофакторная модель с отсутствием действия фактов А и C

(В):

b

jijk

uuy

+=

0

. (5.25)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0, u

jk

bc

= 0, u

i

а

= 0, u

k

c

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

аc

≠

0, или u

jk

bc

≠

0,

или u

i

а

≠

0 или u

k

c

≠

0}.

Проверяем гипотезу:

Hn

n

ijk

j

0

4

:{ ,,}

*

**

=∀

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) определяются:

n

ijk

j

*

**

=

4

.

Число степеней свободы равно 6.

17. Однофакторная модель с отсутствием действия факторов А и В

(С):

yu

ijk k

с

=+

0

u

. (5.26)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0, u

jk

bc

= 0, u

i

а

= 0, u

j

b

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

аc

≠

0, или u

jk

bc

≠

0,

или u

i

а

≠

0 или u

j

b

≠

0}.

Проверяем гипотезу:

Hn

n

ijk

k

0

4

:{ ,,}

*

**

=∀

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) определяются:

n

ijk

k

*

**

=

4

.

Число степеней свободы равно 6.

55

18. Однофакторная модель с отсутствием действия факторов B и C

(A):

yu

ijk i

а

=+

0

u

. (5.27)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0, u

jk

bc

= 0, u

k

c

= 0, u

j

b

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

аc

≠

0, или u

jk

bc

≠

0,

или u

k

c

≠

0 или u

j

b

≠

0}.

Проверяем гипотезу:

Hn

n

ijk

i

0

4

:{ ,,}

*

**

=∀

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) определяются:

n

ijk

i

*

**

=

4

.

Число степеней свободы равно 6.

19. Равновероятная модель:

y

ijk

=

0

u

. (5.28)

Проверяем нулевую гипотезу

Н

0

:{

∀

i, j, k, u

ijk

аbc

= 0 , u

ij

аb

= 0, u

ik

аc

= 0, u

jk

bc

= 0,

u

k

c

= 0, u

j

b

= 0, u

i

а

= 0}

против гипотезы:

Н

1

: {

∃

i, j, k, u

ijk

аbc

≠

0 или u

ij

аb

≠

0,или u

ik

аc

≠

0, или u

jk

bc

≠

0,

или u

k

c

≠

0 или u

j

b

≠

0, или u

i

а

≠

0}.

Проверяем гипотезу:

Hn

n

ijk

0

8

:{ ,,}

*

***

=∀

.

Теоретические частоты для критерия (5.11) определяются:

n

ijk

*

***

=

8

.

Число степеней свободы равно 7.

5.3. Тренировочный пример

Была получена следующая таблица распределения студентов по

признакам:

А – Пол (1 – мужской, 2 – женский);

В – Форма обучения (1– дневная, 2 – вечерняя);

С – Удовлетворенность избранной специальностью (1 – да, 2 –

нет).

56

Таблица 5.1

Пол Форма обучения Удовлетворенность

1. Да 2. Нет

1. Мужской

1.Дневная

2.Вечерняя

100

70

60

30

2. Женский

1.Дневная

2.Вечерняя

80

50

40

70

Рассчитав ожидаемые частоты в ячейках таблицы с помощью

информационного критерия, можно проверить сформулированную

гипотезу о связях признаков.

Введем следующие обозначения для частных (маргинальных)

таблиц:

nA n nB n nC n

ij

() ; () ; () ;

** * * **

==













==













==













250

240

280

220

300

200

k

;

nAB n nAC n

nBC n

ij i k

jk

() ;()

() .

**

*

==













==













==













160 100

120 120

170 90

130 110

180 100

120 100

В случае трех признаков сформулируем восемь вариантов гипотез

о взаимосвязях. В зависимости от формулируемой гипотезы ожидаемые

частоты будут рассчитываться на основе соответствующего набора

маргинальных таблиц. Иногда ожидаемые частоты могут быть

вычислены аналитически, но в общем случае необходимо использовать

итерационный алгоритм.

Гипотеза взаимной независимости признаков:

.}2,1;2,1;2,1);(

)()(

{:

******

**

***

**

***

**

*1

0

===⋅=⋅⋅=

kjiCn

n

Bn

n

An

n

nH

k

j

i

ijk

Выполняются равенства n(A) = n

*

(A), n(B) = n

*

(B), n(C) = n

*

(C).

Параметры логлинейной модели могут быть найдены по формулам (5.8)

и (5.9):

.

n

ln

;

n

ln

8

1

;

n

ln

8

1

;ln

8

1

*

222

*

212

*

122

*

112

*

221

*

211

*

121

*

111

21

*

222

*

221

*

122

*

121

*

212

*

211

*

112

*

111

21

*

222

*

221

*

212

*

211

*

122

*

121

*

112

*

111

21

,,

*

0

nnnn

nnn

uu

nnnn

nnn

uu

nnnn

nnn

uu

nu

cc

bb

aa

kji

ijk

=−=

=

∑

57

Ожидаемые частоты для перечисленных ниже гипотез приведены

в таблице 5.3.

Значение информационного критерия составило 30,1 при

ν

= 4

степенях свободы, превосходит

χ

2

крит

(0,05; 4) =9,49. Таким образом,

гипотеза о независимости отвергается.

Гипотезы об одной парной связи:

Hn

n

nijk

ijk

ij

k

0

2

:{ , , , }

*

***

**

=∀

– связь признаков АВ (независимость А и В от С );

Hn

n

nijk

ijk

ik

j0

3

:{ , , , }

*

***

**

=

∀

– связь признаков АC (независимость A и C от B);

Hn

n

nijk

ijk

jk

i0

4

:{ , , , }

*

***

**

=∀

– связь признаков BC (независимость B и C от A).

Для Н

0

2

выполняется равенство n(AB)= n* (AB), и т.д. Из

независимости признаков В и С следует равенство

n

111

112

211

212

*

=

, то есть

96

64

60

40

72

48

15

===

,

.

Аналогичные равенства верны и для признаков А и С.

Параметры логлинейной модели, соответствующие

взаимодействию для гипотез H

0

1

, H

0

2

, H

0

3

, H

0

4

вычисляются по

следующим формулам:

*

212

*

211

*

112

*

121

*

222

*

221

*

112

*

111

22211211

ln

8

1

nnnn

uuuu

abababab

==−=−=

;

*

212

*

211

*

122

*

112

*

222

*

212

*

121

*

111

22211211

ln

8

1

nnnn

uuuu

acacacac

==−=−=

;

*

211

*

121

*

212

*

112

*

222

*

122

*

211

*

111

22211211

ln

8

1

nnnn

uuuu

bcbcbcbc

==−=−=

.

Величины информационного критерия приведены в табл. 5.3.

Число степеней свободы равно

ν

= 8 – 5 = 3. Величина

χ

2

табл

(0.05 ; 3)

=7.81, то есть ни одна из перечисленных гипотез не принимается.

Гипотезы о двух парных связях:

Hn

nn

n

ijk

ij i k

i

0

5

:{ , ,,}

*

**

=

⋅

∀

– связь АВ, АС (взаимная независимость В и С);

Hn

nn

n

ijk

ij jk

j

0

6

:{ , , , }

*

**

=

⋅

∀

– связь АВ, ВС (взаимная независимость А и С);

Hn

nn

n

ijk

ik jk

k

0

7

:{ , ,,}

*

**

=

⋅

∀

– связь АС, ВС (взаимная независимость А и В).

58

Например, для H

5

0

выполняются равенства n(AB)=n

*

(AB), n(AC)=

n

*

(AC).

Параметры логлинейных моделей вычисляются аналогично.

Гипотезу о трех парных связях АВ, АС, ВС (условной

независимости признаков) можно записать в виде:

H

nnnn

0

8

111 122 212 221

112 121 211 222

1:{ }

*** *

****

=

.

Разработаны универсальные алгоритмы, позволяющие найти

теоретические частоты как для данной, так и любой другой модели и

произвольного числа признаков.

Мы же воспользуемся для нахождения неизвестного

x= n

*

111

следующим приемом.

Заменим в равенстве:

nnnn nnnn

111 122 212 221 112 121 211 222

*** * ****

=

теоретические частоты на их выражения через

x

=

n

*

111

.

.x170xnnnnnnnnnn

x50xnnnnnnnn

x70xnnnnnnnn

x50nnnnnn

x160xnnnn

x180xnnnn

x170xnnnn

1*1*1222*

*

1111*1*1222*

*

12222*

*

222

1*121*

*

1111*121*

*

12121*

*

221

*1112*

*

111*1112*

*

11212*

*

212

*

1111*1*12

*

121*12

*

122

11*

*

11111*

*

211

1*1

*

1111*1

*

121

*11

*

111*11

*

112

−=−+−=−+−=−=

+−=+−=+−=−=

+−=+−=−=

−=−=−=

Получим уравнение четвертой степени относительно

x:

Fx x x x x

xxxx

()()()()

=⋅− ⋅− ⋅− −

−−⋅−⋅−⋅−=

50 70 50

160 170 180 170 0

Для нахождения

x

применим метод половинного деления

интервала.

Так как

x

и все выражения в скобках по смыслу задачи

положительны, то должны выполняться соотношения x

≥

max(0;50;70;50)

и x

≤

min(160;170;180;170).

Поэтому возьмем в качестве границ интервала x

1

=70, x

2

=160. На

концах интервала функция F(x) имеет следующие значения

F(70)= –99000000<0, F(160)= 158400000>0.

Найдем середину отрезка:

x

xx

3

21

2

115

=

+

=

.

Если при x

3

многочлен положителен F(x

3

)>0, то корень находится

на отрезке (x

1

;x

3

).

Если при x

3

многочлен отрицателен F(x

3

)<0, то корень находится

на отрезке (x

3

;x

2

).

59

Процесс деления продолжаем до тех пор пока длина интервала

станет меньше заранее выбранной величины (1 или 0.1) (см. Табл. 5.2).

Таблица 5.2

N x

1

x

2

x

3

F(x

1

) F(x

2

) F(x

3

)

1 70 160 115 –99000000 158400000 9652500

2 70 115 92,5 –99000000 9652500 –32599688

3 92,5 115 103,75 –32599688 9652500 –10590820

4 103,75 115 109,37 –10590820 9652500 –515434

5 109,375 115 112,18 –515435 9652500 4523593

6 109,375 112,18 110,78 –515435 4523593 1997016

7 109,375 110,78 110,07 –515435 1997016 739546

8 109,375 110,07 109,72 –515435 739546 111809

Таким образом, искомая величина n

*

111

=109,7. Остальные

теоретические частоты можно получить, используя приведенные выше

выражения.

Величина

χ

2

набл

= 13,1 >

χ

2

табл

(0,05; 1) = 3,84.

Следовательно, для данной таблицы существует трехфакторное

взаимодействие показателей. То есть изменения доли удовлетворенных

выбранной специальностью для мужчин и женщин различны на дневном

и вечернем отделениях.

Таблица 5.3.

Вели-

чина

Параметры

Гипо

теза

Теоретические частоты

логлинейной

A.1 A.2 модели

B.1 B.2 B.1 B.2 Х

2

1

H

1

0

C.1 87,4 68,6 80,6 63,4 30.1 u

0

=4.11 u

a

1

=0.04

C.2 58,2 45,8 53,7 42,2

ν

=4

u

b

1

=0.12 u

c

1

=0.20

H

2

0

C.1 96,0 60,0 72,0 72,0 23,4 u

0

=4.1 u

a

1

=0.02

C.2 64,0 40,0 48,0 48,0

ν

=3

u

b

1

=0.12

u

ab

11

=0.12

u

c

1

=0.20

H

3

0

C.1 95,2 74,8 72,8 57,2 23.6 u

0

=4.101 u

a

1

=0.01

7

C.2 50,4 39,6 61,6 48,4

ν

=3

u

b

1

=0.121

u

ac

11

=0.117

u

c

1

=0.20

1

H

4

0

C.1 93,6 62,4 86,4 57,6 25.2 u

0

=4.104 u

a

1

=0.04

0

C.2 52,0 52,0 48,0 48,0

ν

=3

u

b

1

=0.101

u

bc

11

=0.101

u

c

1

=0.19

3

H

5

0

C.1 102,

9

54,6 77,1 65,5 18.5 u

0

=4.09 u

a

1

=0.02

7

C.2 57,1 45,5 42,9 54,5

ν

=2

u

b

1

=0.098 u

c

1

=0.19

60

Трошин Л.И. Балаш В.А. Балаш О.С. Статистический анализ нечисловой информации

Подождите немного. Документ загружается.