Волкова Е.С. Сборник домашних контрольных работ
Подождите немного. Документ загружается.
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
(ФИНАКАДЕМИЯ)
Кафедра «Математика»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
СБОРНИК
ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ЧАСТЬ 1
Для студентов, обучающихся по основной образовательной программе
подготовки бакалавров по направлению 080100.62 – «Экономика»
Профили подготовки: «Финансы и кредит»,
«Мировая экономика», «Налоги и налогообложение»
Москва 2010
1
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
(ФИНАКАДЕМИЯ)
Кафедра «Математика»
УТВЕРЖДАЮ
Ректор
_______________М . А. Эскиндаров
«____»___________________2010 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
СБОРНИК
ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ЧАСТЬ 1
Для студентов, обучающихся по основной образовательной программе
подготовки бакалавров по направлению 080100.62 – «Экономика»
Профили подготовки: «Финансы и кредит»,
«Мировая экономика», «Налоги и налогообложение»
Рекомендовано Ученым советом факультета
«Математические методы и анализ рисков»
(протокол № 6 от 25 мая 2010г.)
Одобрено кафедрой «Математика»
(протокол №6 от27 января 2010 г.)
Москва 2010
2
УДК 517(072)
ББК 22.16я 73
М34
Рецензент: Рылов А.А., к. ф.-м. н., доцент кафедры «Математика»
М34 Математический анализ: Сборник домашних контрольных работ.
Часть 1. Учебное издание для студентов, обучающихся по основной образова-
тельной программе подготовки бакалавров по направлению 080100.62 – «Эко-
номика»: профили «Финансы и кредит», «Мировая экономика», «Налоги и на-
логообложение». Авт. колл. под ред. Е.С. Волковой. — М.: Финакадемия, ка-
федра «Математика», 2010. — 135 с.
Авторский коллектив: © Е.С. Волкова, Д.В. Берзин, Л.П. Коннова,
О.Е. Орел
В эту часть сборника включены четыре контрольные работы по темам:
№ 1 «Предел и непрерывность функции одной переменной», № 2 «Дифферен-
циальное исчисление функции одной переменной», № 3 «Исследование функ-
ции одной переменной с помощью производной и построение графиков функ-
ции», № 4 «Интегральное исчисление функции одной переменной». Содержа-
ние и набор задач соответствует программе подготовки бакалавров по направ-
лению 080100.62 «Экономика». Каждая контрольная работа содержит 26 раз-
личных вариантов. Последний вариант представлен с решением. Учебное по-
собие необходимо для организации самостоятельной работы студентов и их
подготовки к экзамену по математическому анализу.
УДК 517(072)
ББК 22.16я 73
Учебное издание
Математический анализ
Сборник домашних контрольных работ
Часть 1.
Компьютерный набор, верстка Волкова Е.С.
Формат 60× 90/16. Гарнитура «Times New Roman»
Усл.___ п.л. Изд. № _____ – 2010. Тираж _____ экз.
Заказ № ______
Отпечатано в Финакадемии
© Финакадемия, 2010.
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...............................................................................................................4
Контрольная работа № 1….................................................................................5
Варианты 1 – 26………………………………...……........................................7
Решение варианта 26 контрольной работы № 1…….....................................33
Контрольная работа № 2…...............................................................................38
Варианты 1 – 26………………………………...……......................................40
Решение варианта 26 контрольной работы № 2…….....................................66
Контрольная работа № 3…...............................................................................69
Варианты 1 – 26………………………………...……......................................70
Решение варианта 26 контрольной работы № 3…….....................................96
Контрольная работа № 4….............................................................................104
Варианты 1 – 26………………………………...……....................................105
Решение варианта 26 контрольной работы № 4……...................................131
Рекомендуемая литература………………………………………………….135
4
Введение
Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу
являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной
работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,
составляет 5 часов. ДКР содержит комплект заданий (от 5 до 10), выполняя
которые студенты должны продемонстрировать умение решать типовые
задачи и проводить типовые расчеты. Сроки выполнения ДКР указываются
в календарно-тематическом плане изучения дисциплины. Конкретные сро-
ки сдачи ДКР устанавливаются преподавателем. Оценка за ДКР выставля-
ется по итогам проверки письменной работы и собеседования. Эта оценка
является существенной компонентой оценки самостоятельной работы сту-
дента в течение семестра.
Цель данного издания – помочь студентам закрепить и отработать
материал, изученный на лекциях и семинарских занятиях, а также
подготовить студентов к успешной сдаче экзамена. Для достижения этой
цели задания подобраны таким образом, чтобы они охватывали все
основные типы задач.
В настоящем пособии представлено четыре контрольных работ.
Каждая контрольная работа содержит по 26 вариантов. Последний вариант
приведен вместе с решением. Решение последнего варианта приведено для
того, чтобы сориентировать студента, напомнить основные методы и
факты, которые он мог бы использовать при решении своего варианта.
Однако важно понимать, что порой существует несколько возможных
решений одной и той же задачи. Авторы призывают студентов чаще
проявлять творческий подход к решению упражнений, а не слепо
следовать указаниям, приведенным в конце пособия.
5
Контрольная работа № 1
В настоящей работе представлены варианты контрольной работы по
математическому анализу по теме «Предел и непрерывность функции од-
ной переменной».
Для выполнения первого задания необходимо знать определение
предела последовательности.
Второе задание посвящено вычислению предела последовательно-
сти. Для выполнения этого задания потребуется знание и применение: пра-
вил вычисления пределов последовательностей, теоремы о произведении
бесконечно малой последовательности на ограниченную последователь-
ность. Следует повторить возможные виды неопределенностей и уметь
владеть следующей техникой: сокращение на старшую степень в пределе
отношения, умножение на сопряженное выражение, сведение ко второму
замечательному пределу.
В качестве третьего задания предлагаются примеры на вычисление
предела функции. При решении этих задач используется тот же аппарат,
что и при нахождении предела последовательности. Однако здесь появля-
ются и два новых метода: выделение первого замечательного предела и
переход к эквивалентным бесконечно малым функциям.
Четвертое задание работы посвящено нахождению точек разрыва
функции и определению типа разрыва. Для успешного выполнения этого
задания необходимо знать определения непрерывности функции в точке и
точек разрыва, а также классификацию точек разрыва функции.
Содержание пятого задания составляет нахождение асимптот графи-
ка функции. Для выполнения этого задания нужно знать определения вер-
тикальных и наклонных асимптот и уметь их находить. Чтобы найти урав-
нения асимптот, необходимо уметь вычислять односторонние пределы
функции.
6
Шестое задание посвящено использованию свойств непрерывных
функций для доказательства существования корня непрерывной функции
на отрезке. Для нахождения приближенного значения этого корня исполь-
зуется очень важный и широко используемый в приложениях (в частности,
в численных методах) метод деления отрезка пополам.
Необходимые понятия, определения и теоремы можно найти в реко-
мендованных пособиях [1], [2], [3], [4].
7
ВАРИАНТ 1
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
2
3
2
53
lim =
+
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
245
83
lim
2
+
−
∞→
n
n
n
; б)
(
)
236lim
25
−−
∞→
nn
n
;
в)
()
(
)()()
1ln2ln35lim
+
−−+
∞→
nnn
n
; г)
(
)
(
)
()
2
2
3
12
3sin5
lim
+
−+
∞→
n
nnn
n
.
3. Найти предел функции:
а)
2
3
3
273
lim
76
x
xx
xx
→
−+
−−
; б)
x
x
x
3cos1
5cos1
lim
0
−
−
→
;
в)
2
52
2
2
1
lim
x
x
x
x
x
+
+
→∞
+
; г)
(
)
1
ln 3 2
lim
1
x
x
x
→
−
−
.
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
2
2
2
x
y
x
x
−
=
−
.
5. Найти асимптоты графика функции, если:
3
1
2
+
−+
=
x
xx
y .
6
*
. Доказать, что уравнение
06161911
23
=
−
+
+
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
8
ВАРИАНТ 2
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
9
4
19
41
lim −=
+
−
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
2
325
lim
12
n
nn
n
→∞
++
−− − −K
;
б)
6
42
lim
22
nnnn
n
−−+
∞→
;
в)
n
n
nn
nn
4
2
2
22
13
lim
−−
−+
∞→
; г)
(
)
()
()
2
3
4
2
73
1sin25
lim
+
−+
∞→
n
nnn
n
.
3. Найти предел функции:
а)
3
2
2
32
lim
6
x
xx
xx
→
−−
+−
; б)
2
23
0
sin3
lim
5
x
x
x
x
→
+
;
в)
(
)
lim( 1) ln( 8) ln( 2)
x
xx x
→∞
++−−
; г)
11
2
1
54
lim
xx
x
x
x
+
+
→−
−
+
.
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
2
2 sin
2
x
x
y
x
x
−⋅
=
−
.
5. Найти асимптоты графика функции, если:
9
5
2
32
−
−
=
x
xx
y .
6
*
. Доказать, что уравнение
04222413
23
=
−
+
+
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
9
ВАРИАНТ 3
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
2
3
1
2lim =
−
∞→
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
4
2
25
lim
316
n
n
nn
→∞
+
++
; б)
(
)
nnn
n
3459lim
2
−−+
∞→
;
в)
23
32
63
lim
−
∞→
+
−
n
n
n
n
; г)
(
)
n
nn
n
34
1372cos
lim
−
+−
∞→
.
3. Найти предел функции:
а)
2
32
2
32
lim
34
x
xx
xx
→−
++
+−
; б)
sin3
lim
tg 2
x
x
x
π
→
;
в)
(
)
43
lim 8 7 3
x
xx
→∞
−+; г)
()
2
2
1
lim 2 arctg
x
x
x
→∞
+ .
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
2
23
1( 3)
xx
y
xx
−
−
=
+
−
.
5. Найти асимптоты графика функции, если:
7
12
2
−
+
=
x
xx
y
.
6
*
. Доказать, что уравнение
32
76 140
x
xx
−
+− =
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).