Высшая математика. Методическое пособие для студентов-заочников

Подождите немного. Документ загружается.

ВВЕДЕНИЕ

Методическое пособие, предназначенное для оказания помощи студен-

там-заочникам при выполнении контрольных работ по дисциплине "Высшая

математика", содержит шесть тем материала контрольных работ студентов

первого курса.

В пособии приведены основные теоретические сведения и типовые за-

дачи с решениями и рекомендациями. В процессе подготовки к выполнению

контрольной работы рекомендуется изучить теоретические сведения, разо

браться с решениями предложенных типовых задач, решить несколько ана-

логичных задач, ответы на которые известны, и только после этого перехо-

дить к выполнению контрольной работы.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Введем понятие определителя. Пусть дана таблица из чисел (матрица):

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2221

1211

. (1.1)

Определитель – это числовая характеристика квадратной матрицы.

Матрице (1.1) соответствует определитель второго порядка

12212211

2221

1211

aaaa

−= . (1.2)

Числа

22211211

,,, aaaa называются элементами определителя. Гово-

рят, что элементы

2211

, aa лежат на главной диагонали, а элементы

a и

a – на побочной.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

333231

232221

131211

aaa

. (1.3)

Матрице (1.3) соответствует определитель третьего порядка, который

определяется следующим равенством:

322311332112312213

322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaa

−−−

−++=

(1.4)

Числа )3,2,1;3,2,1(

= jia

называются элементами определителя,

причем

332211

,, aaa – это элементы главной диагонали,

312213

,, aaa – эле-

менты побочной диагонали.

Указанное правило вычисления определителя называется правилом

треугольников. Действительно, слагаемые, входящие в формулу (1.4) со зна-

ком "+", лежат на главной диагонали определителя, а также в углах треуголь-

ников со сторонами, параллельными главной диагонали, а слагаемые, входя-

щие в формулу (1.4) со знаком "–", лежат на побочной диагонали и в углах

треугольников

со сторонами, параллельными побочной диагонали:

Рассмотрим применение определителей для решения систем линейных

уравнений. Пусть дана система из трех линейных уравнений с тремя неиз-

вестными

321

,, xxx :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=++

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

(1.5)

где )3,2,1;3,2,1(, == jiba

iij

– заданные числа.

Пусть определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

системы (1.5), отличен от нуля:

333231

232221

131211

≠=Δ

aaa

. (1.6)

Тогда система (1.5) имеет единственное решение, которое может быть

найдено по формуле Крамера:

x (j=1, 2, 3), (1.7)

где

Δ – определитель, полученный из определителя системы путем замены

j–го столбца столбцом свободных членов.

–

Задача 1. Решить систему уравнений:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+−

−=+−

=+−

,135

,342

321

xxx

Решение. Вычислим определитель Δ данной системы по правилу тре-

угольников:

111

351

142

−

=Δ

=2⋅(-5)⋅1+(-4)⋅3⋅1+1⋅1⋅(-1)-1⋅(-5)⋅1-2⋅3⋅(-1)–1⋅1⋅(-4)=-8≠0.

Вычисляем вспомогательные определители:

111

351

143

−

−−

−

=Δ

=3⋅(-5)⋅1+(-4)⋅3⋅1+1⋅(-1)⋅(-1)-1⋅(-5)⋅1-3⋅3⋅(-1)-1⋅(-1)⋅(-4)=-16,

111

311

132

−=Δ =2⋅(-1)⋅1+1⋅3⋅3+1⋅1⋅1-1⋅(-1)⋅1-2⋅3⋅1-1⋅1⋅3=0,

111

151

342

−

−−

−

=Δ

=2⋅(-5)⋅1+1⋅(-4)⋅(-1)+3⋅1⋅(-1)-3⋅(-5)⋅1-2⋅(-1)⋅(-1)-(-4)⋅1⋅1=8.

Значит,

−

=x , 0

−

=x , 1

−=

−

=x .

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ

2.1. Основные сведения из векторной алгебры

Вектором называют направленный отрезок. Если точка А – начало век-

тора, а В – его конец, то такой вектор обозначают

B . Наряду с этим исполь-

зуется обозначение вектора малой латинской буквой со стрелкой, т.е.

Векторы называют равными, если они имеют равные длины и одинако-

во направлены. Число, равное длине вектора, называется его модулем и обо-

значается символом

. Если a

=1, то вектор a

называется единичным. Век-

торы называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллель-

ных прямых.

Пусть вектор a

наклонен к оси u под углом

. Тогда проекция вектора

на ось u обозначается символом aпр

и вычисляется по формуле

cos

⋅

aaпр

. (2.1)

Проекции вектора

на оси прямоугольной декартовой системы коор-

динат будем далее обозначать буквами x, y, z и писать

{}

zyxa ,,=

. Если при

этом

kji

,, - базисные векторы данной системы координат, то

kzjyixa

++= . (2.2)

Проекции вектора на координатные оси называют также его координа-

тами.

Если даны две точки

),,(

1111

zyxM и ),,(

2222

zyxM являющиеся со-

ответственно началом и концом вектора

MM , то

{

}

12121221

,, zzyyxxMM −−−= . (2.3)

Длина вектора

находится по формуле

222

zyxa ++=

. (2.4)

Если вектор

составляет с координатными осями углы

, то

cos

, cos

– это направляющие косинусы вектора a

, определяемые по

формулам

cos ,

cos , (2.5)

причем

1coscoscos

222

=++

γβα

. (2.6)

Над векторами

{}

111

,, zyxa =

{

}

222

,, zyxb =

{}

333

,, zyxc =

опреде-

лены операции сложения, умножения на число , а также скалярное, векторное

и смешанное произведения.

При этом имеют место следующие формулы для выполнения указан-

ных операций в координатной форме:

{}

212121

,, zzyyxxba +++=+

{

}

321

,, xxxa

(2.7)

– для суммы векторов и произведения вектора на число;

(

)

332211

, yxyxyxba ++=

(2.8)

– для скалярного произведения;

[]

zyx

kji

222

111

, +−== (2.9)

– для векторного произведения;

()

333

222

111

zyx

cba =

(2.10)

– для смешанного произведения.

Из определения скалярного произведения

(

)

cos, ⋅⋅= baba

и фор-

мулы (2.8) можно найти косинус угла

между векторами a

и b

(

)

cos

212121

zyxzyx

zzyyxx

++++

⋅

(2.11)

Поскольку вектор

[

]

, , определенный формулой (2.9), обладает свой-

ством

[]

sin, baba

⋅= , (2.12)

то площадь S треугольника, построенного на векторах

, b

, вычисляется по

формуле

[]

baS

= . (2.13)

Наконец, из определения смешанного произведения векторов

, b

и c

вытекает, что объем треугольной пирамиды, построенной на этих векторах,

определяется формулой

()

cbaV

= . (2.14)

2.2 Основные сведения из аналитической геометрии

Уравнение плоскости, проходящей через точку

),,(

0000

zyxM перпен-

дикулярно вектору

{}

cban ,,=

, имеет вид

()()

(

)

000

−

zzcyybxxa (2.15)

или

0=+++ dc

ax , (2.16)

где

000

czbyaxd −−−= .

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид

***

=++

. (2.17)

Здесь

∗∗

ba , и

∗

c – координаты точек, в которых плоскость пересекает

оси

.,, OzOyOx

Уравнение плоскости, проходящей через три точки ),,(

1111

zyxM ,

),,(

2222

zyxM и ),,(

3333

zyxM , имеет вид

131313

121212

111

−−−

−

−−

zzyyxx

. (2.18)

Если две плоскости заданы уравнениями

1111

+++ dzcybxa и

2222

++ dzcybxa , то угол между ними определяется как угол между

перпендикулярными к ним векторами

{

}

1111

,, cban

{}

2222

,, cban =

()

212121

cos

cbacba

ccbbaa

++⋅++

⋅

. (2.19)

Следовательно, условие перпендикулярности двух плоскостей имеет

вид

0cos =

, или

212121

+ ccbbaa , (2.20)

а условие параллельности имеет вид

. (2.21)

Угол между вектором

{

}

pnml ,,=

и плоскостью 0

++ dc

byax

можно найти по формуле

222222

sin

pnmcba

cpbnam

++⋅++

, (2.22)

а расстояние d от точки

),,(

0000

zyxM до той же плоскости – по формуле

222

000

cba

cxbxax

. (2.23)

Рассмотрим соответствующие формулы для прямой на плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку

),(

000

yxM перпендику-

лярно вектору

{}

ban ,=

, имеет вид

()

(

)

−

− yybxxa , (2.24)

или

++ cbyax (2.25)

где

byaxc

−

−= .

Уравнение прямой в отрезках имеет вид

. (2.26)

Здесь

∗

a и

∗

b – координаты точек, в которых прямая (2.26) пересекает

оси Ох и Оy.

Если две прямые заданы уравнениями

111

++ cybxa и

222

=++ cybxa , то угол между ними определяется как угол между пер-

пендикулярными к ним векторами

{

}

111

,ban

{

}

222

,ban

()

2121

cos

baba

bbaa

+⋅+

⋅

. (2.27)

Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых имеет вид

,0cos =

или

2121

bbaa , (2.28)

а условие параллельности имеет вид

. (2.29)

Расстояние от точки

),(

000

yxM до прямой (2.25) можно найти по

формуле

cbyax

Рассмотрим другие виды уравнений прямой на плоскости.

Каноническое уравнение прямой, т.е. уравнение прямой, проходящей

через заданную точку

),(

000

yxM параллельно вектору

{}

nmq ,=

, имеет

вид

−

. (2.30)

Уравнение прямой, проходящей через две точки

),(

111

yxM и

),(

222

yxM , имеет вид

−

. (2.31)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид

bkxy += (2.32)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через за-

данную точку

),(

000

yxM , имеет вид

).(

xxkyy

−

=− (2.33)

Параметрические уравнения прямой:

⎩

⎨

⎧

ntyy

mtxx

∞

−

. (2.34)

Если две прямые заданы уравнениями

bxky

= , то

условие перпендикулярности этих прямых имеет вид

−

⋅ kk (2.35)

а условие параллельности имеет вид

(2.36)

Рассмотрим далее различные виды прямой в пространстве.

Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид

000

−

, (2.37)

где

),,(

0000

zyxM – точка, лежащая на прямой, а

{}

pnmq ,,=

– направ-

ляющий вектор прямой.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

),,(

1111

zyxM и ),,(

2222

zyxM , имеет вид

−

. (2.38)

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ptzz

ntyy

mtxx

∞

−

. (2.39)

Наконец, рассмотрим уравнения кривых второго порядка.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

. (2.40)

Поскольку частным случаем эллипса при

222

Rba =

является ок-

ружность, то уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат

будет

222

Ryx =+ (2.41)

Если центр окружности радиуса R расположен в точке

),(

000

yxM , то

ее уравнение имеет вид

()

(

)

Ryyxx =−+− . (2.42)

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

=−

. (2.43)

Каноническое уравнение параболы имеет вид

pxy 2

= . (2.44)

2.3. Полярная система координат

Если на плоскости заданы фиксированная точка О, называемая полю-

сом, и исходящий из полюса луч с выбранной на нем единицей масштаба, на-

зываемый полярной осью, то говорят, что на плоскости задана полярная сис-

тема координат. В этом случае положение любой точки М на плоскости оп-

ределяется двумя

числами

, где

– расстояние от точки М до точки О,

– угол, образуемый вектором OM с положительным направлением по-

лярной оси. Угол

, отсчитываемый от полярной оси до вектора OM в на-

правлении против часовой стрелки, считается положительным, а отсчиты-

ваемый в противоположном направлении – отрицательным (см. рис. 1).

M(r,

)

Рис. 1

Обычно считают, что

≤

∞

≤

0 . Если 0=

, точка М сов-

падает с полюсом О и угол

для нее не определен.

Пусть наряду с полярной системой координат на плоскости выбрана

прямоугольная декартова система координат так, что начало координат сов-

падает с полюсом О, а ось Оx совпадает с полярной осью. Тогда прямоуголь-

ные координаты x и y точки М связаны с ее полярными координатами

соотношениями (см. рис.2)

,cos

⋅

(2.45)

Из (2.45), в частности, вытекает, что

yxr += ,

cos

sin

. (2.46)

Рис. 2

Рассмотрим далее применение вышеизложенных теоретических сведе-

ний к решению типовых задач.

Задача 1. Даны координаты вершин пирамиды

4321

AAAA : )9,3,3(

A ,

)1,9,6(

A , )3,7,1(

A , )8,5,8(

A . Найти: 1) длину ребра

AA ; 2) угол между

ребрами

AA ; 3) угол между ребром

и гранью

321

AAA ; 4)

площадь грани

321

AAA ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой

AA ; 7)

уравнение плоскости

321

AAA ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины

A на грань

321

AAA .

Решение. По формуле (2.3) найдем координаты векторов

AA ,

AA и

AA :

{}

{

}

8,6,391,39,36

−=−−−=AA ,

{}

{

}

6,4,293,37,31

−−=−−−=AA ,

{}

{

}

1,2,598,35,38

−=−−−=AA .

1) Длину ребра

AA найдем по формуле (2.4):

109)8(63

222

=−++=AA

2) Угол

между ребрами

AA и

AA найдем как угол между векто-

рами

AA ,

AA по формуле (2.11):

(

)

() ()

−++⋅−++

−⋅−+⋅+⋅

⋅

4121

125863

)1()8(2653,

cos

AAAA

6121.0

30109

≈

⋅

откуда

15526121.0arccos

≈=

3) Для нахождения угла

между ребром

AA и гранью

321

AAA най-

дем вектор

, перпендикулярный плоскости

321

AAA , в качестве которого

можно взять векторное произведение векторов

AA и

AA , вычисляемое

по формуле (2.9):