Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы

Подождите немного. Документ загружается.

Таблица 78'

Редуцированные нормальные уравнения на пунктах сети

Номер

пункта

и Т14

Лб

Не

Контроль

0,00

0,00 0,00

0,00

0,00 0,00

0,00

0,00 0,00

0,00

0,00 0,00

4,30 —0,51 — 1,04

2,13

1,06

5,94 5,94

0,06

0,12

—0,25

—0,12

—0,70

-0,70

0,06

1,01

—2,06

—0,39

-2,35

-2,36

1,01

4,20

0,79 4,80

4,81

0,00

0,00 0,00 0,00

0,00

0,00 0,00

0,00

0,00 0,00 0,00

1,41

0,70 —0,97

—0,04 0,73

1,83

1,41

0,35

—0,48 —0,02 0,36 0,91

0,91

0,35

5,96 0,25

0,45 5,22

5,21

5,96

0,01

0,02

0,22

3,08

1,25

0,00

—0,34

— 1,96

—0,10

1,93

0,50

0,00

-0,13 —0,79

—0,04 0,78

0,79

0,00

0,00 0,00

0,00

0,00 0,00

0,00

0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

0,00

0,15

0,86

0,12

0,65

0,66

0,15

5,01 0,69 3,80

3,81

1,98

2,01

0,54

—2,33 — 1,37 0,78 0,34

1,95

4,52

0,57

-2,48

1,03

-0,58

0,70

5,77

0,15

—0,64

-0,35

0,20

0,10 0,57 0,57

0,15

2,75

1,51

—0,86

—0,42 —2,46

-2,47

2,75

3,32

— 1,89

0,10

2,35

3,32

1,08

-0,17

-1,34

0,17

-0,72

—0,84

0,42 0,21

0,25

0,24

—0,26 —0,27

3,09

3,61

— 1,82

-0,91

— 1,08

— 1,04 1,14

1,13

4,92 -2,91

—0,86

— 1,03

-0,65

2,25

2,24

4,06

— 1,78

—2,12

1,03

-3,11

-3,12

4,06

2,40

2,86

—0,60 1,32

1,32

3,40

—0,71 1,58

1,57

3,98

-2,27

—0,80

—0,95

-5,20

3,06

0,84

— 1,33

— 1,34

1,29

0,45

0,54

2,96

-1,74

—0,48 0,76

0,75

2,56

3,05

—3,38

—3,63

0,98

—0,76

-0,77

3,63

—4,03

—4,32

1,17 —0,91

—0,91

3,63

17,81

—0,43

—2,17

-5,57

5,56

17,81

19,92

3,46

16,32

ниваемой стороны 4—5. При записи этих коэффициентов в табл.77

следует соблюдать следующие правила.

В графе f

записывают коэффициенты: —Саъ И —d

5 —в урав-

нениях с квадратичными коэффициентами при поправках |

и г|

;

САЬ

с?45

— в уравнениях с квадратичными коэффициентами при

IS И Г]5.

В графе fa записывают коэффициенты: -—а

$ и —Ъ

5 — в урав-

нениях с квадратичными коэффициентами при £4 и rj

; и Ь

— в

уравнениях с квадратичными коэффициентами при £5 и т]5.

Общую для сети систему нормальных уравнений (табл. 77)

можно составить и другим путем, по частям, как это и принято де-

-169

Решение нормальных уравнений

по

сокращенной схеме Гаусса

Таблица

79'

9,21

Л4

1б Л5

!в

Лб

+0,27

— 1,10

—2,86

-6,70

+2,13

—0,029

+0,119

+0,311

+0,727

—0,231

+9,40

+4,63

—3,76

+2,95

—4,19

+9,39

+4,66

—3,68

+3,15

-4,25

+9,39

—0,496

+0,392

—0,335

+0,453

+13,34

—0,31

—6,60

—2,37

+ 10,90

+ 1,17

—8,96

0,00

+ 10,90

—0,107

+0,822

0,000

+ 10,85

—4,66

-7,57

+8,39

—4,54

—8,57 +8,39

+0,541

+ 1,021

+30,65

—0,41

+ 14,90

—2,08

+ 14,90

+0,140

+33,62

+22,16

[pv*

+ 1,33

—0,144

—0,86

-0,90

+0,096

+2,23

+2,83

—0,260

+2,02

+ 1,78

—0,212

—2,47

+2,09

—0,140

+4,19

+5,59

—0,252

+7,39

+4,29

+0,97

—0,105

+0,22

+0,19

—0,020

—0,97

—0,95

+0,087

—0,22

+0,26

—0,031

0,00

0,000

+0,13

—0,006

+0,04

—0,197

—0,47

+0,051

+2,03

+2,04

—0,217

+0,47

—0,60

+0,055

—2,03

— 1,31

+0,156

-2,23

+0,150

—0,62

+0,028

+ 1,17

— 1,056

+2,78

—0,302

+ 10,69

+ 10,61

—1,130

+9,32

+4,39

—0,403

—8,54

—3,99

+0,476

+ 12,76

+ 12,68

—0,851

+25,40

+27,27

— 1,231

13,83

+5,49

Поправки координат

(в

дециметрах)

П 4

Л5

Tie

—0,429

—0,010

—0,344 —0,564 —0,175

—0,252

лать при уравнивании триангуляции. На каждом пункте, нсполь*

зуя уравнения поправок направлений с весами р=

и суммарные

уравнения с весами р = составляют соответствующие им час-

ти нормальных уравнений, которые записывают в табл.78. Чтобы

получить общую для сети систему нормальных уравнений, сумми-

руют по всем пунктам коэффициенты при соответствующих неиз-

вестных | и г] в каждом уравнении. В итоге получают те же коэф-

фициенты уравнений, что и в табл. 77.

Решение общей системы нормальных уравнений (см. табл. 77)

выполнено по сокращенной схеме Гаусса в табл. 79. Обратные ве-

са

IPs и 1/Р

вычисляются одновременно с решением нормаль-

ных уравнений. Коэффициенты весовых функций f

и f а подверга-

ются той же совокупности действий, что и свободные члены нор-

мальных уравнений. Величина обратного веса функции 1/PF полу-

чается как сумма произведений чисел, записанных в элиминацион-

ных строках столбца f, на соответствующие числа этого же столб-

ца преобразованных нормальных уравнений.

Полученные из решения нормальных уравнений поправки £ и

т\ переводят в метры:

6* = 0,15; бу = 0,1т].

Прибавив эти поправки к приближенным значениям координат

определяемых пунктов х°

у°, получают их окончательные значе-

ния (см. табл. 70) по формулам

х = х° + дх; у = у° +

&у-

§ 52. Вычисление поправок направлений.

Окончательные вычисления в триангуляции

При вычислении поправок направлений vik поступают следую-

щим образом. На каждом t-м пункте сначала вычисляют поправ-

ку bzi ориентирования направлений на станции, подставляя в фор-

мулу (10.24) поправки координат r]

- и полученные из ре-

шения нормальных уравнений. Затем все эти поправки 6z, tj

подставляют в формулу (10.4) и находят значения искомых по-

правок направлений г//*. Результаты вычисления поправок контро-

лируют на станции по формуле = 0.

Применительно к нашей сети поправки ориентирования 6Zi и

поправки направлений Vik вычислены указанным образом в табл.

75. Поправки в углы находят как разности поправок направлений.

Исправив измеренные углы поправками, получают их уравненные,

значения и затем выполняют окончательное решение треугольни-

ков (см. табл. 68). Результаты вычислений контролируют по сум-

ме углов в треугольниках и сходимости длин одних и тех же сто-

рон, полученных из решения разных треугольников.

Окончательные координаты определяемых пунктов (см.

табл. 70), вычисляемые путем исправления их приближенных зна-

чений поправками 6х и бу> полученными из решения нормальных

171

Таблица

78'

Вычисление окончательных координат пунктов

Формулы

2 |

1 '

Формулы

к 6

(ZHCX

40°43'50,08" 220°43'50,08"

170°15'42,10"

rfcpi

+51 39 15,14

—50 28 07,98 —58 13 23,01

Gift

92 23 05,22 170 15 42,10

112 02 19,09

5 916 684,23 5 916 684,23

5 920 662,14

5 916 987,98

5 924 000,16

A Xik

—303,75

—7315,93 —3338,02

cos a ik

—0,0416103

—0,9855906

—0,3752317

Sik

7299,83

7422,89

8895,90

sin a,А

0,9991339 0,1691483

0,9269310

A y

+7293,51

+ 1255,57 +8245,89

У*

8 494 956,27

8 500 994,21

Ук

8 502 249,78

8 509 240,10

Продолжение табл. 80

Формулы

4 5

С&исх

350°15'42,10"

60°2i'27,20*

240°2I'27,20"

±BI

+70 05 45,10 +79 42 21,83

—47 21 16,32

60 21 27,20

140 03 49,03

193 00 10,88

5 920 662,13

5 910 999,80 5 910 999,81

5 916 684,23

5 920 662,14

A X

+3977,90 —5684,43

—9662,33

cos A

0,4945858

—0,7667577

—0,9743582

8042,90 7413,59

9916,61

sin ai

0,8691288

0,6419366 —0,2250024

byik

+6990,32 +4759,05

—2231,26

Уг

8 502 249,78

8 502 249,78 8 509 240,10

Ук

8 509 240,10 8 507 008,83

8 507 008,84

уравнений, находятся бесконтрольно. Для контроля координаты

вычисляют вторично, через их приращения Ах и Ау, используя

уравненные углы и длины сторон треугольников (табл. 80). Схо-

димость значений одноименных координат, вычисленных разными

способами, является заключительным контролем уравнительных

вычислений в триангуляции.

§ 53. Оценка точности уравненных элементов сети

Средняя квадратическая ошибка любого элемента уравненной

сети вычисляется по стандартной формуле

F —

М-

VWF,

где \/PF — обратный вес уравненного элемента,

|ы

— средняя квад-

ратическая ошибка единицы веса, вычисляемая по формуле

ц = YW\fr.

Здесь v — поправки из уравнивания к измеренным с весом р

направлениям, г — число избыточных измерений, К числу необхо-

-172

димых измерений при уравнивании сети по направлениям относят-

ся: 1) поправки ориентирования bZi, число которых равно числу

пунктов, с которых велись наблюдения; 2) поправки координат 6х

it Ьу, число которых равно удвоенному числу к определяемых

пунктов. Так как всех направлений измерено Z), то r = D—(2k + t).

Если в сети кроме направлений были дополнительно измерены k

сторон и \k

азимутов, то общее число всех измеренных величин

будет D* = D + k

+ik

, а число избыточных измерений определится

по формуле r = D*— (2k + t).

Для нашей сети (см. рис. 45), в которой £) = 22,

= t

—

^ = = 0 и [pv

]= 4,30, получим

r =

(26

+ /) =

22 — (6

« 10

Средняя квадратическая ошибка уравненного угла

уг

|Ы

уТ= 0,66 /2*= 0,93".

Обратный вес

/РР оцениваемой функции F может быть вычис-

лен разными путями: либо в процессе решения системы нормаль-

пых уравнений по схеме Гаусса, либо по элементам матрицы, об-

ратной к матрице коэффициентов нормальных уравнений. Рас-

смотрим сначала первый путь вычисления обратного веса функ-

ции.

В случае параметрического способа уравнивания наиболее про-

сто вычисляется вес последнего и предпоследнего неизвестных в

системе нормальных уравнений. Поэтому чтобы определить вес P

и Р

координат какого-либо пункта ife, ставят неизвестные поправ-

ки координат этого пункта и г|* соответственно на предпослед-

нее н последнее место в системе нормальных уравнений. Вес

последнего неизвестного т^ в случае решения системы нор-

мальных уравнений по схеме Гаусса равен коэффициенту при r\k в

последнем преобразованном нормальном уравнении. Вес PX

пред-

последнего неизвестного находится по формуле

*и =

Ук—(Ю.28)

+ —

где С и А— квадратичные коэффициенты соответственно последне-

го и предпоследнего преобразованных нормальных уравнений; В—

коэффициент при r\

в предпоследнем преобразованном уравне-

нии.

В табл. 77 на последнем и предпоследнем месте системы нор-

мальных уравнений стоят неизвестные поправки координат шесто-

173

го пункта. Из решения системы нормальных уравнений (см. табл.

79) находим Р

У&

= 22,16. Вес Р*

вычислим по формуле (10.28)

14,90

Я*

= 22,16 !__

4,7i.

Средние квадратические ошибки определения абсцисс и орди-

нат пункта 6 найдем по формулам

= jx/J^P^ = 0,66/V"l4T71 =0,17 дм = 0,02 м,

Ув

вр.//^==0,66/|/"2271б = 0,14 дм = 0,01 м.

Общая ошибка положения пункта равна

= /т

+ т

= Ко,0005 = 0,02 м.

В табл. 79 вычислены обратные веса длины и дирекционного

угла наиболее удаленной стороны 4—5: 1/Р*

=0,197 и 1/Ра

'=1,056. С этими данными получим

*ль

Т~

°>

У°>

197

= °>

03 м

=0,66/1,056 = 0,68".

Рассмотрим теперь методику вычисления обратного веса и

средних квадратических ошибок функций уравненных элементов

сети с использованием матрицы весовых коэффициентов.

Начальные уравнения поправок направлений запишем в мат-

ричной форме

AX + l = V

(10.29)

где А — прямоугольная матрица коэффициентов уравнений попра-

вок, X — вектор-столбец неизвестных поправок координат, I — век-

тор-столбец свободных членов уравнений поправок.

От уравнений поправок (10.29) перейдем с учетом их весов к

системе нормальных уравнений

NX + L = 0, (10.30)

где

А!

А*РА, (10.31)

L — A* Ply (10.32)

где N — симметричная матрица коэффициентов нормальных урав-

нений, Л*— транспонированная по отношению к А матрица, Р —

диагональная матрица весов уравнений поправок; L—вектор-

столбец свободных членов нормальных уравнений.

Вектор X искомых поправок координат получим, умножив каж-

дый член уравнения (10.30) слева на матрицу N~\ обратную к

матрице N коэффициентов нормальных уравнений,

X = —N^L = —QL, (10.33)

174

где через Q = N~

обозначена обратная к N матрица весовых ко-

эффициентов.

/Qli Qu---Qim\

W-

= Q= Q

i Q

...Q

J. (10.34)

\Qrni Q-m2'' 'Qmm/

Вычислив обратную матрицу Q = N~\ можно определить обрат-

ный вес и средние квадратические ошибки любого уравненного

элемента сети, в том числе координат и их функций — дирекцион-

ных углов и длин сторон между смежными и несмежными пункта-

ми сети.

Средняя квадратическая ошибка функции уравненных элемен-

тов сети вычисляется по указанной выше формуле

Обратный вес функции F уравненных элементов вычисляется

по формуле

-5~ = f*Qf, (Ю.35)

где Q — матрица весовых коэффициентов Q//, обратная к матрице

коэффициентов нормальных уравнений; f — матрица-столбец коэф-

фициентов весовой функции; /*—транспонированная по отноше-

нию к f матрица-строка.

При оценке точности дирекционных углов at* матрица f имеет

вид (10.36), а при оценке точности длин сторон Si

(10.37):

(10.36) /= , (10.37)

где элементы матрицы вычисляют по формулам

_ sin а а,

cos а

- —20,6265 —~г; b

= 20,6265

Sik, км

Sik,

КМ

Ук

—

У1

Cik = cosaik\ = где aik = arctg

Xk —Xi

используя приближенные координаты конечных пунктов i и k оце-

ниваемой стороны.

Формула (10.35) после перемножения матриц запишется в ви-

де

Т^Г-2 У^ПШф (Ю.38)

f-1 у-1

175

или что все равно, в виде

7= flflQn + 2/i/,Qn +••+ 2/l/mQim +

+ /2/2Q22

fmfmQmm >

(Ю.39)

где m — число неизвестных поправок координат в уравнении ве-

совой функции.

Обратный вес 1/Р*,- любого неизвестного Xi в системе нормаль-

ных уравнений (10.30), в данном случае неизвестных поправок

координат, равен соответствующему диагональному элементу Qu

обратной матрицы Q в (10.34), т. е.

= Qn. (Ю.40)

Средняя квадратическая ошибка определения уравненных ко-

ординат Xi равна

= и V^ = Р VQii- (

)

Обратная матрица весовых коэффициентов Q =

вычисляет-

ся, как правило, на ЭВМ. Поскольку матрица N коэффициентов

нормальных уравнений симметричная, в вычислительных схемах

записывается обычно ее верхняя треугольная часть с диагональны-

ми элементами, которую и необходимо обратить.

Применительно к нашей сети коэффициенты матрицы N реду-

цированных нормальных уравнений записаны в табл.77. Обратная

к ней матрица Q вычислена на ЭВМ и ее верхняя треугольная

часть дана в табл. 81.

Таблица 81

Элементы обратной матрицы А

Поправки координат пунктов

Л4 h

Л5

Ло

0,189 —0,021

0,060 0,079

0,068 0,008

0,189

0,201 —0,077 0,076 —0,029

0,038

0,201

0,133

0,015

0,051

0,000

0,193 0,043

0,050

0,068

0,006

0,045

Используя диагональные элементы обратной матрицы Q и при-

нимая для нашей сети ^

—

О^б", вычислим по формуле (10.41)

средние квадратические ошибки координат всех определяемых

пунктов (табл. 82).

176

Средние

квадрати-

ческие

ошибки, дм

Номер пункта

Средние

квадрати-

ческие

ошибки, дм

0,29

0,30

0,24

0,29

0,17

0,14

Как и следовало ожидать, Таблица 82

средние квадратические ошибки

координат шестого пункта полу-

чились точно такими же, как и

ранее, т. е. при другой схеме их

вычисления.

Определим средние квадрати-

ческие ошибки дирекционного

угла и длины стороны 5—6, для

чего напишем выражения весовых функций в виде соответствую-

щих им уравнений поправок направлений и поправок сторон (без

поправок ориентирования на станции и свободных членов), т. е.

в виде

fa = Да

5б

= — аьб1ь —

&БбЛб

+ «56^6 + &ввПв;

fs = ~ —— ^66% +

6<i£e + d

b б

т]

Коэффициенты а, Ь, с, d вычисляют по приближенным коорди-

натам пунктов, см. формулы (10.26) и (10.27). В том случае, ког-

да какой-либо из пунктов на концах оцениваемой стороны явля-

ется исходным, то поправки к его координатам будут равны нулю

(£

= 0, т]=0) и соответствующие слагаемые в уравнении весовой

функции должны быть опущены, как равные нулю. Вычисления

коэффициентов весовых функций для дирекционного угла и длины

стороны 5—6 даны в табл. 83.

Таблица 83

Вычисление а°вв и s°

Формулы

Результат

Обозна-

чения

5 910 999,84

5 916 684,25

+5684,41

8 507 008,89

Ябб

Ььь

8 502 249,80

—4759,09

^56

—0,837218

320°03'48"

—0,64194

+0,76675

7414 м

Вычисление коэффициентов

Формулы

Резул ь

ат

ДГб

Ах

— х

—Хь

Уъ

</6

А и

tga5e==

lSr

СС56

sin ass

COSCX56

=Ay : sin a

у А x* + Ay*

Весовые функции f

и f

с учетом данных, приведенных в

табл. 83, запишутся в виде

/а ^ —1,786£б —2,133г)5 + 1,786£

+ 2,133г]

;

^ -0,767£

+ 0,642% + 0,767£

- 0,№у)

Коэффициенты весовых функций /

а и

(см. табл. 83), а также

элементы Qu матрицы Q, обратной к матрице коэффициентов нор-

—20,6265

+20,6265

cos аьй

sin a

6fl

, км

cos a

, км

Контроль

sin

«-{-cos

a =

+ 1,786

+2,133

+0,767

—0,642

1,000

12—2296

177

Таблица

78'

Исходные данные для вычисления 1//^ и \/P

стороны 5—6

<?в

-6

Пг.

Т)0

0,133

0,015

0,193

0,051

0,043

0,068

0,000

0,050

0,006

0,045

-1,786

—2,133

+ 1,786

+2,133

—0,767

+0,642

+0,767

—0,642

мальных уравнений (см. табл. 81), необходимые для вычисления

обратных весов этих функций, запишем в табл. 84.

Используя данные, приведенные в табл. 84, найдем по форму-

ле (10.39) значения обратных весов оцениваемых элементов сети

1/Ра

= 0,776, \/Р

= 0,100

и соответственно их средние квадратические ошибки

/«а

6в

= |Д \ Щх - 0,66 ^0/776 = 0,58",

—

|li

Y~\~JP

— 0,66 j/07T00 = 0,21 дм = 0,02 м.

В том случае, когда требуется вычислить средние квадратичес-

кие ошибки дирекционного угла и длины диагонали, соединяющей

пункты, разделенные рядом треугольников, поступают так же, как

в только что рассмотренном случае, не обращая при этом внима-

ния на отсутствие прямой связи между конечными пунктами дан-

ной диагонали.

Уравнительные вычисления в триангуляции заканчиваются со-

ставлением каталога координат, окончательные значения которых

даны в табл. 70.

Глава 11

УРАВНИВАНИЕ ТРИЛАТЕРАЦИИ

КОРРЕЛАТНЫМ СПОСОБОМ

§ 54. Состав предварительных вычислений в трилатерации

В результате измерения сторон трилатерации при помощи све-

то- и радиодальномеров получают наклонные расстояния между

приемопередатчиком (ведущей станцией) и отражателем (ведомой

станцией), исправленные поправками за метеорологические усло-

вия, влияющие на скорость распространения электромагнитных

волн в атмосфере, за кривизну траектории этих волн (при боль-

ших расстояниях) и за влияние инструментальных погрешностей,

включая постоянную поправку дальномера.

-178