Задачник-Решебник по физике Чертова А.Г. (Том 2)
Подождите немного. Документ загружается.
№47.9
Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить: 1) вероятность ω
1
того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой радиуса, равного
боровскому радиусу а; 2) вероятность ω
2
того, что электрон находится вне этой
области; 3) отношение вероятностей ω
2
/ω
1
. Волновую функцию считать известной:
ar
3
100
e
a
1
r
.
Дано:
ar
3
100
e
a
1
r
Найти:
ω
1
, ω
2
, ω
2
/ω
1
−?
Решение:
Вычислим вероятность ω
1
того, что электрон находится внутри области,
ограниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу а.
В 1s-состоянии волновая функция ψ сферически симметрична, т.е. зависит только
от r, и поэтому
dVrd
2
100
, (1)
где
r
100
− собственная нормированная волновая функция, отвечающая
основному состоянию:
ar
3
100
e
a
1
r
.
Благодаря сферической симметрии ψ-функции вероятность обнаружить электрон
на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV,
отвечающий одинаковой плотности вероятности, можно представить в виде объема
сферического слоя радиусом r и толщиной dr:
drr4dV
2
.
С учетом выражений
r
100
и dV формула (1) запишется в виде
drre
a
4
drr4e
a
1
d
2ar2
3
2
2
ar
3
.
При вычислении вероятности удобно перейти к атомным единицам, приняв в
качестве единицы длины радиус первой боровской орбиты a. Если ввести
безразмерную величину
ar
, то
222
ar
,
dadr
и
de4d
22
.
Вероятность найдем, интегрируя dω в пределах 0<r<a (или 0<ρ<1):
1
0
22
1
0
1
de4d
. (2)
Интеграл
de
22
решим отдельно при помощи метода интегрирования по
частям:
.5,0e
2
1
e
4
1
e
2
1
e
2
1
de
2
1
e
2
1
e
2
1
e
2
1
ded
dduu
dee
2
1
d2e
2
1
e
2
1
e
2
1
ded
d2duu
de
22
222222
22
22
222
222
22
2
22
Подставляя полученное решение интеграла
5,0e
2
1
de
2222
в выражение (2), получим
.324,05,000e
2
1
5,011e
2
1
4
5,0e
2
1
4de4
2022
1
0
22
1
0
22
1
Вероятность ω того, что электрон находится внутри и вне области, ограниченной
сферой радиуса, равного боровскому радиусу а равна единице, а также сумме
вероятностей
1
21
,
отсюда
12
1
;
676,0324,01
2
.
Определим отношение вероятностей ω
2
/ω
1
:
09,2
324,0
676,0
1
2
.
Ответ:
324,0
1
;
676,0
2
;
09,2
1
2
.
№47.36
Используя принцип Паули, указать, какое максимальное число N
max
электронов в
атоме могут иметь одинаковыми следующие квантовые числа: 1) n, l, т, т
s
; 2) п, l, т;
3) п, l; 4) п.
Дано:
1) n, l, т, т
s
2) п, l, т
3) п, l
4) п
Найти:
N
max
−?
Решение:
1) Согласно принципу Паули: в атоме не может находиться два (и более)
электрона, характеризуемых одинаковым набором четырех квантовых чисел: n, l, т,
т
s
. Поэтому
N
max
(n, l, т, т
s
)=1.
2) Найдем максимальное число N
max
(n, l, т) электронов, находящихся в
состояниях, определяемых набором трех квантовых чисел n, l, т, т.е. отличающихся
лишь ориентацией спинов электронов. Поскольку число т
s
может принимать лишь
два значения: ½ и −½, очевидно, имеем
N
max
(n, l, т)=2.
3) Вычислим далее максимальное число электронов N
max
(n, l) находящихся в
состояниях, определяемых двумя квантовыми числами: n и l. Так как при заданном
численном значении L
l
(орбитальный момент импульса электрона) может иметь (2l+1)
различных ориентаций в пространстве, то число электронов N
max
(n, l) выразится
следующим образом:
N
max
(n, l)=2∙(2l+1).
4) Наконец, найдем, пользуясь принципом Паули, максимальное число N
max
(n)
электронов, находящихся в состояниях, определяемых значением n главного
квантового числа. Так как число l при заданном n изменяется от 0 до (n−1), то,
суммируя N
max
(n, l) по l от 0 до (n−1), получим
2
1nl
0l
max
n2n21n21l22nN
.
Ответ: 1) N
max
(n, l, т, т
s
)=1; 2) N
max
(n, l, т)=2; 3) N
max
(n, l)=2∙(2l+1); 4) N
max
(n)=2n
2
.
