Загиров Н.Н. Теория обработки металлов давлением
Подождите немного. Документ загружается.
181
Из приведенных трех уравнений независимыми являются только два,
поэтому в дальнейшем рассмотрении используются две комбинации этих
уравнений, полученные следующим образом:
из первого уравнения вычитают второе, возводят оба оставшихся
уравнения в квадрат и складывают их:
(
)
Sxy
yyxx
τ=σ+
σ−σ
2
2
4
; (37.1в)
из первого уравнения вычитают второе и делят на третье:
xy
yx
y
x
y
x
xy
yyxx
∂
ϑ∂
+
∂
ϑ∂
∂
ϑ
∂
−
∂
ϑ∂
=
σ
σ−σ
2
. (37.1г)
3. Условие несжимаемости примет вид
0=
∂
ϑ
∂
+
∂
ϑ∂
yx
y
x
. (37.1д)
В итоге мы имеем замкнутую (пять уравнений с пятью неизвестными)
систему уравнений теории пластичности.
Сформулируем граничные условия, т.е. физические условия,
возникающие в процессе деформации на поверхности (границе) тела,
выраженные в математическом виде.
При x = b (см. рис. 6.1) 0=σ
=bxxx
; 0=σ
=bxxy
;
при y = h
ϑ−=ϑ
=hyy
,
при y = –h
ϑ=ϑ
−=hyy
.
Предположим, что рассматривается случай, когда на контакте
действуют максимальные касательные напряжения (τ = τ
S
), тогда
Shyxy
τ−=σ
=
;
Shyxy
τ=σ
−=
.
182
Продифференцируем уравнение (37.1а) по переменной y:
0
2
2
2
=
∂
σ∂
+
∂∂
σ∂
y
yx
xy
xx
,
а уравнение (37.1б) – по переменной x:
0
2
2
2
=
∂∂
σ∂
+
∂
σ∂
xy
x
yyxy
.
Вычитаем из первого уравнения второе:
(
)
0
2
2
2
22
=
∂
σ∂
−
∂
σ∂
+
∂∂
σ−σ∂
xy
yx
xyxyyyxx
. (37.2)
Из уравнения (37.1в) определяем разность:
22
2
xySyyxx
σ−τ=σ−σ
и подставляем в (37.2):
(
)
0
2
2
2
2
2
222
=
∂
σ∂
−
∂
σ∂
+
∂∂
σ−τ∂
xy
yx
xyxy
xyS
.
Предположим, что σ
xy
, действующая внутри тела, не является функцией от x,
т.е. σ
xy
≠ f(x), тогда
0
2
2
=
∂
σ∂
y
xy
.
Осуществим интегрирование выражения
183
()
xf
y
xy
1
=
∂
∂σ
,
в результате получим:
σ
xy
= f
1
(x) ⋅ y + f
2
(x), (37.3)
где f
1
, f
2
– произвольные функции интегрирования, которые находятся из
граничных условий:
–τ
S
= f
1
(x)⋅h + f
2
(x);
τ
S
= –f
1
(x)⋅h + f
2
(x).
Если их сложить, то f
2
(x) = 0, а если вычесть, то f
1
(x) = –τ
S
/ h.
После подстановки в (37.3) имеем
σ
xy
= –τ
S
⋅ y / h.
Подставляем в дифференциальное уравнение (37.1а), находим
0=
τ
−
∂
∂σ
h
x
Sxx
⇒
()
yx
h
S
xx 1
ϕ+
τ
=σ ,
а подставив в дифференциальное уравнение (37.1б), имеем
0=
∂
∂σ
y
yy
⇒ σ
yy
= ϕ
2
(x).
Подставив в выражение
22
2
xySyyxx
σ−τ=σ−σ
составляющие σ
хх
, σ
yy
и σ
хy
, получим
184
() ()
2
2
21
12
h
y
xyx
h
S
S
−τ=ϕ−ϕ+
τ
.
Разделяем члены с одинаковыми переменными:
() ()
Cx
h
x
h
y
y
S
S
=
τ
−ϕ=−τ−ϕ
2
2
2
1
12 ,
где С – некоторая постоянная величина.
Приравняв отдельно правую и левую части постоянной С, найдем
()
C
h
y
y
S
+−τ=ϕ
2
2
1
12
;
()
Cx
h
x
S
+
τ
=ϕ
2
.
После подстановки функций ϕ
1
(y) и ϕ
2
(x) в выражения для σ
xx
и σ
yy
имеем
C
h
y
x
h
S
S
xx
+−τ+
τ
=σ
2
2
12 ; Cx
h
S
yy
+
τ
=σ .
Постоянную интегрирования С найдем, используя граничное условие
0
0
=σ
=
=
y
bxxx
.
Подставив его в формулу для нахождения σ
xx
, получим
Cb
h
S
S
+τ+
τ
= 20 ,
отсюда
b
h
C
S
S
τ
−τ−=2
.
185
В итоге
−
⋅τ−τ⋅−=σ
−τ+
−
τ−τ−=σ
h
xb
h
y
h
xb
SSyy
SSSxx
2
122
2
2
.
Эпюра нормальных напряжений, действующих на контактной
поверхности, представлена на рис. 37.2.
Рис. 37.2. Вид эпюры нормальных напряжений
Из рис. 37.2 видно, что эпюра имеет две характерные точки:
Syy
bx
τ−=
=
σ 2
;
h
b
x
SSyy
τ−τ−=
=
σ 2
0
.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается метод, основанный на решении упрощенной системы
уравнений теории пластичности.
2. Какие уравнения входят в систему дифференциальных уравнений теории
пластичности?
3. Какой вид примут дифференциальные уравнения равновесия?
4. Какой вид примут физические уравнения связи напряжений и
деформаций?
5. По каким формулам будут рассчитываться σ
xx
и σ
yy
?
186
6. Какой вид примет эпюра нормальных напряжений?
7. Какие характерные точки характеризуют эпюру нормальных напряжений?
ЛЕКЦИЯ 38
СУЩНОСТЬ ИНЖЕНРНОГО МЕТОДА И ПРИМЕР ЕГО
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
План лекции:
1. Сущность инженерного метода (метода тонких сечений) нахождения
компонентов напряженно-деформированного состояния осесимметричных
заготовок в установившихся процессах пластического деформирования.
2. Примеры решения задач в декартовой системе координат.
Непреодолимые трудности точного решения системы уравнений
теории пластичности привели к появлению метода, основанного на
совместном рассмотрении приближенного уравнения равновесия и условия
пластичности, выраженного в главных напряжениях. Этот метод,
получивший название инженерного метода (метода тонких сечений),
позволяет найти компоненты напряженно-деформированного состояния
осесимметричных заготовок в установившихся процессах пластического
деформирования.
Решение задачи этим методом производится по следующей схеме:
1. Оговариваются принятые допущения.
2. Определяется система и выбираются направления осей координат.
3. Двумя близкими поперечными сечениями выделяется элемент
деформированного тела, на гранях которого проставляются действующие
на элемент напряжения. Предполагается, что нормальные напряжения по
указанным сечениям распределены равномерно и зависят только от осевой
координаты.
4. Составляется условие равновесия выделенного элемента (сумма проекций
всех сил на соответствующую ось приравнивается к нулю), в результате
получается обыкновенное дифференциальное уравнение, связывающее
нормальные напряжения с касательными.
5. Формулируется приближенное условие пластичности.
6. Решается полученная система уравнений с учетом граничных условий.
187
Сущность метода разберем на примере определения усилия осадки
прямоугольного параллелепипеда. При решении воспользуемся следующими
допущениями:
- перемещение частиц тела в направлении оси z отсутствует (длина тела L не
изменяется), поэтому изменение напряжения σ
yy
происходит только вдоль
оси x;
- на свободной поверхности напряжения σ
xx
= 0;
- условия трения принимаются в форме закона Зибеля τ = ψ ⋅ τ
S
.
В деформируемом теле выделяем элемент толщиной dx, находящийся
на расстоянии x от оси y (рис. 38.1). Действие отброшенных частей заменяем
на напряжения σ
xx
и σ
xx
+ dσ
xx
.
Рис. 38.1. Схема процесса осадки прямоугольного параллелепипеда
Составляем условие равновесия элемента, приравняв проекции всех
сил на ось x нулю: ∑F
x
= 0.
После сокращения всех составляющих на длину L имеем:
σ
xx
⋅
h – (σ
xx
+ dσ
xx
) ⋅ h – 2 ⋅ τ ⋅ dx = 0,
а после раскрытия скобок, необходимых преобразований и умножения на (-1)
получим:
dσ
xx
⋅
h + 2 ⋅ τ ⋅ dx = 0.
188
Отсюда
h
x
xx
d2
d
⋅
τ
⋅
−=σ
.
Приближенное условие пластичности можно записать в виде
.,
SSxxyy
σ≈σ=σ−σ 151
3
2
Продифференцируем это выражение по переменной x:
0
d
d
d
d
=
σ
−
σ
x
x
xx
yy
Следовательно
x
x
xx
yy
d
d
d
d
σ
=
σ
,
а отсюда
x
h
xxyy
d
2
dd
τ
−=σ=σ .
После интегрирования
∫
+
τ
−=
τ
−=σ Cx
h
x
h
yy
2
d
2
, (38.1)
где С - постоянная интегрирования, которая находится из граничных
условий.
Так как при x=b/2 σ
xx
=0, то по условию пластичности σ
yy
= 1,15σ
S
.
Подставляя последнее соотношение в (6.4), получим
189
C
b
h
,
S
+⋅
τ
−=σ
2
2
151 ,
откуда
h
b
,C
S
⋅τ+σ= 151
,
и тогда выражение (38.1) окончательно будет иметь вид
( )
xb
h
,b
h
,x
h
SSyy
2151151
2
−
τ
+σ=
τ
+σ+
τ
−=σ .
Используя принятый закон трения, получим
( )
−⋅
⋅
ψ
+σ=σ xb
h
,
Syy
2
3
151
.
Полное усилие осадки прямоугольного параллелепипеда находится по
формуле
( )
⋅
ψ
+σ=
−
⋅
ψ
+σ
∫∫ ∫∫
=
−
⋅
ψ
+σ=σ=
h
b
,Lb
b
b
h
,
b
L
xzxb
h
,xzP
SS
L
b
L
b
Syy
32
151
2
3
151
2
2
dd2
3
1512dd2
0
2
0 0
2
0
.
По другим двум случаям решение задачи инженерным методом
приведем в более сжатом виде.
Для процесса прокатки полосы (рис. 38.2.) при условии, что ширина
полосы b в процессе деформации не меняется, уравнение выделенного
элемента, расположенного в зоне отставания (видно по направлению
действия вектора напряжение трения τ) запишется в следующем виде:
0
cos
d
cos2
cos
d
sin2))(d( =
ϕ
ϕτ−
ϕ
ϕσ+α+σ+σ−σ=Σ b
x
b
x
bhhhbF
nxxxxxxx
.
190
Рис. 38.2. Схема процесса прокатки полосы
После раскрытия скобок, ряда преобразований и удаления бесконечно
малых величин второго порядка малости уравнение примет вид:
0d2dtg2dd
=
τ
−
⋅
ϕ
σ
+
σ
−
σ
−
xxhh
nxxxx
.
Выразим из этого равенства с учетом того, что
ϕ
=
tg
2d
d
/h
x
, чему равняется
dσ
xx
:
h
h
xxnxx
d
tg
d
ϕ
τ
−σ−σ=σ (38.2)
Условие пластичности для рассматриваемого случая можно записать в
виде
σ
n
- σ
xx
= 2τ
S
,
а после дифференцирования по переменной х:
dσ
n
= dσ
xx
. (38.3)