Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань
Подождите немного. Документ загружается.
Елементи теорії похибок вимірювань
251
Оскільки ми розглядаємо випадкові похибки результатів спостережеш.,
виконано ретельно і досить точними інструментами, то величини Дх\(/и|,і
^Уі(І
=
1>
т
)
є
малими. Тому розглянемо точку М
0
(Х
0
, Г
0
), координати якії
достатньо близькі до істинних значень шуканих величин X та Y. Знамен
часткових похідних першого порядку функції F = F(x, у) в точці М
{]
будз
близькими до їх значень в точках М (х., >\) (i-\,n,j = \,m). У зв'язку з цш
виразі (4.14) значення х,(і = 1 ,п) поміняємо на Х
0
, а значення yj(J = 1 ,т) - на
У результаті отримаємо
nm і=і j=і п ,-=і пт ї=і j=\
+ ^-F'
y
2
{XM.lA
2
y^
т ^ у=і
або
ті -ЮІ
• т
г
х
+ (F'
y
)l
• т
2
у
+ 2(F'
x
\(F'
y
\ М.Ш
f (4
., і
п т
де т
х
, т - середні квадратичні похибки аргументів х та у; т
р
-середня квадрати
1
похибка функції F.
За властивістю випадкових похибок останній доданок співвідношення (4.
є достатньо малим по відношенню до перших двох для великої кілько
вимірювань і ним можна знехтувати.
Тоді остаточно формула для знаходження середньої квадратичної noxiif
функції F = F(x, у) запишеться так:
т
1 =(К)о -ml +(F
y
)
0
-m
2
y
.
Аналогічно можна отримати формулу для знаходження середньої квадрати ч
похибки функції F - F(x, у, ..., и) довільної кількості аргументів. Вона маті
загальний вигляд
т
2
Р
= {F'
x
)l
•
ml
+
(F;)
2
0
-m
2
y
+... + {F'X
• m
2
u
, (4.U
тобто квадрат середньої квадратичної похибки функції незалежних в сукуіпк
величин дорівнює сумі добутків квадратів значень часткових похідних фут
по кожному з аргументів на середні квадратичні похибки відповідних аргумсн
Значення часткових похідних беруться для довільної комбінації вимірні
величин, або для значень, що є близькими до їх істинних значень.
> Розділ IV
Застосовуючи формулу (4.16), слід пам'ятати, що аргументи функції повинні
и незалежними між собою та результати вимірювань не повинні містити
тематичних похибок. '
§ 4.9. Приклади обчислення середніх квадратичних похибок
функцій виміряних величин
Приклад 1. У трикутнику виміряно три сторони а - 10 м, b - 12мтас = 14м
ередніми квадратичними похибками т
а
= ±0,05 м, т
ь
- ±0,06 м та т
с
- ±0,07 м.
трібно знайти середню квадратичну похибку кута С(див. Рис.4.6).
в
Рис. 4.6
Виразимо функціонально кут С через сторони трикутника ABC. Для цього
користаємо теорему косинусів
а
2
+Ь
2
-с
2
с
2
= a
2
+ b
2
- 2ab-cosC
або С = arccos
a
2
+b
2
-с
2
дки cosC , _
2ab 2ab
Знайдемо часткові похідні функції С = С(а, Ь, с) за аргументами a, b та с.
ас
да
1
V
і-
ґ 2 l2 2\
2
а +Ь -с
2ab
a
2
+b
2
-с
2 ab
2 Л
2 ab
Aa
2
b-2b{a
2
+b
2
-с
2
)
д/4a
2
b
2
-(а
2
+Ь
2
-с
2
)
2
2а
2
-а
2
-Ь
2
+с
2
2L2
4а b
b -а —с
7Д/4a
2
b
2
-(a
2
+b
2
-c
2
)
2
a^4a
2
b
2
-(a
2
+b
2
-с
2
)
2 -
Аналогічно
Елементи теорії похибок вимірювань
253
дС _ а
2
-Ь
2
-с
2
дС
=
2с
Ь
уІ4а
2
Ь
2
-(а
2
+Ь
2
-с
2
)
2
'
дс
^4а
2
Ь
2
- (а
2
+ Ь
2
- с
2
)
2
'
дС дС . дС
Обчислимо значення часткових похідних — , -г— і -г— для виміряних стої
да до ос
а, Ь\с, тобто
ЗС(10,12,14) 12
2
-10
2
-14
2
144-100-196 _ 152
да ~ 10-^4• Ю
2
•
12
2
-(10
2
+ 12
2
-14
2
)
2
~ 10^57600-2304 10л/5529'
ВС(10,12,14)_ 10
2
-12
2
-14
2
100-144-196 _ 240
дЬ ~
12л
/
4
• 10
2
•
12
2
-(10
2
+ 12
2
-14
2
)
2
~ 12л/57600-2304 ~ 12л/5529і
ЗС(10,12,14) _ 2-14 _ 28
де л/55296 л/55296 '
За формулою (4.16) квадрат середньої квадратичної похибки буде
(
152
10Л/55296
•
(0,05) +
240
12л/55296
•
(0,06)
2
+
28
\2
л/55296
•
(0,07)
де р' = 3438' - кількість мінут у радіані (р° = 57,3° - кількість градусів у радіа
р" = 3438" - кількість секунд у радіані).
Множення нар'
1
у отриманому виразі необхідне, оскільки середня квадратич
похибка т
с
кута С повинна бути в кутових одиницях.
Таким чином,
т
с =
23104-0,0025 57600-0,0036 0,00491 ,
2
__
5529600
+
663552
+
55296 \
Р
®
(0,000011 + 0,000312 + 0,000069)
•
р'
2
= 0,000392
•
р'
2
,
або т
с
= ±^0,000392
•
р' = ±68,069' = ±1,13°.
Отже, середня квадратична похибка кута Сбуде дорівнювати ±1,13°.
Л л
Приклад 2. У трикутнику виміряно кути А = 30° та fi = 45° зі середнії
квадратичними похибками т
А
= ±3', т
в
= ±4'. Потрібно знайти середі
квадратичну похибку сторони Ь, якщо сторона а = 15 м є виміряна зі середній
квадратичною похибкою т = ± 0,07 м.
> Розділ IV
Застосувавши теорему синусів
a b
sin^l sinB
іимаємо функціональну залежність сторони b від кутів А і В та сторони а
, а
•
sinB
b = .
sin А
Знайдемо часткові похідні функції b = b(a, А, В) за аргументами а, А та В.
db _ sinB д b _ а
•
sin Я-cos
А
_ а
•
sin В
•
ctgA db _ a-cos В
da sin^ ' дА sin
2
A sin А ' дВ sin^
числимо отримані вирази для виміряних значень аргументів
86(15,30°,45°) _ sin45° _
2 =
da ~ sin 30° ~ 2 '
К /г
36(15,30°,45°) _ 15
•
sin 45°
•
c(g-30° _ 2 _
15
д.
дА ~ sin 30° і
2
db
=
15-cos 45°
=
15 у/2
=
дВ ~ sin30° ~
2
.1 ~
'2
Використавши формулу (4.16), одержимо
т
2
=(УІ2)
2
•
(0,07)
2
+[(15-л/б)
2
-
З
2
+(15л/2)
2
-4
2
]~ =
Р
>•0,0049-(225-6-9 +225 -2-16)~ = 2-0,0049-2-225 -(27 + 16)~ = 189,63 —
Р
2
Р
2
р'
2
'
або т. = ±д/і
89,63 •
—
t
= ±0,004 (м).
Р
Ділення на р' здійснюється тому, що середня квадратична похибка
m
h
виміряної
>рони b трикутника ABC виражається в лінійних одиницях.
Елементи теорії похибок вимірювань
257
Приклад 3. Ділянка має форму прямокутника, сторони якого а = 15 м іа
b = 25 м виміряно зі середніми квадратичними похибками т
а
- 1 CM, m
h
= 1,5 см
відповідно. Обчислити відносну середню квадратичну похибку площі ділянки.
Площа прямокутника обчислюється за формулою S = а-b. Знайдемо часткові
похідні — = b , — = а. Використавши формулу (4.16), отримаємо
да db
т\ - Ь
2
• т
2
а
+ а
2
•
m
2
h
,
звідки відносна середня квадратична похибка площі ділянки буде
m
s \
т
а /0,0001 , 0,000225
±лІ^ + і,|— + » ±0,002.
5
V
a
2
b
2
V 225 625
Зауваження 1. Якщо між величиною/та виміряною величиною х зі середньою
квадратичною похибкою т
х
існує лінійна залежність /= k-х, дек = const, то середі і я
квадратична похибка ^величини f буде обчислюватись так:
m
f
=±k-m
x
. (4.17)
Даний вираз легко отримати, використавши формулу (4.16) та похідну
З/ ,
величини / за змінною х — = к.
дх
Зауваження 2. Величина/виражається через незалежно виміряні величини \
(і =
1,
л) зі середніми квадратичними похибками т. лінійною функцією
/ = І «Л ,
/=і
де а. (і = 1 ,п) - сталі коефіцієнти. Тоді середня квадратична похибка от^величнпп /
буде m
f
-т
2
=±7[й
2
-т
2
].
Якщо вимірювання х. (і = \,п) є рівноточними, тобто т, = т, = ... = т =
ш, то
m
f
=±myj[a
Отримана формула для середньої квадратичної похибки одержується зі
співвідношення (4.16) та виразів для часткових похідних величини/за аргументами \
І
9/ —
- = (/ = !,«).
Слід зауважити, що для величин м = х + ^тау = х- у середні квадратичні
похибки є однаковими
>
Розділ IV
т
и -
т
г - +
т
1
•
Дана рівність випливає з результату підстановки виразів часткових похідних
Ї
величин и і v
1^ = ^ = 1, l^l,!^-
1
у формулу (4.16).
дх ду дх оу
Зауваження 3. Середня квадратична похибка середнього арифметичного
1 1 «
, =
—
[х] =
—
£
X:
вимірювань х. зі середніми квадратичними похибками т. буде
и и /=і
1
'
Якщо вимірюваннях
(
. (і = 1,п) є рівноточними, тобто т
х
= т
2
= ... = т
п
= т, то
,, , т
5то середня квадратична похибка середнього арифметичного з п результатів
поточних вимірювань у лГп разів є меншою від середньої квадратичної похибки
ремого результату вимірювання.
Зауваження 3 є частковим випадком зауваження 2.
Зауваження 4. У деяких практичних геодезичних задачах часто буває так, коли
іомими є середні квадратичні похибки величин, що обчислюються за
міряними величинами, середні квадратичні похибки яких слід знайти. Тобто
дано середню квадратичну похибку функції і потрібно визначити середні
адратичні похибки аргументів.
Запишемо формулу для знаходження квадрату середньої квадратичної
хибки m
2
F
функції F виміряних величин
т].
= ІХ.)о-™,
2
. (4.18)
;=і
У даному випадку m
F
є відомою, а т. (і =
1,
п) - невідомі.
Припустимо, що кожний доданок рівності (4.18) здійснює однаковий вплив
середню квадратичну похибку т
г
Тоді можна стверджувати, що доданки в
рмулі (4.18) є однаковими, тобто
(.F' )l-m
2
x
={F' f-ml=... =
{F'
x
f.
m
\ (4.19)
12 » П
Елементи теорії похибок вимірювань
257
Зі співвідношення (4.18) легко отримується вираз для знаходження еередім.о
квадратичної похибки т аргумента х. функції F
т, =±
т,
(К.)о-Л'
(4.20)
Задача визначення середньої квадратичної похибки аргументів функції мож>
змінитися, якщо точність деяких аргументів не може бути забезпечена (відсуі
м
прилади відповідної точності, слід виконати велику кількість прийомів і т. ін.), і
точність інших аргументів є достатньо високою.
Приклад 4. Із якою точністю слід виміряти горизонтальну відстань 5 = 200
n
та кут нахилу v = 4°, щоб середня квадратична похибка m
h
перевищення і
дорівнювала ± 3 см.
Перевищення h обчислюється так:
h = S- tgu
Знайдемо часткові похідні функції h = h(S, v)
dS dv sm"l>
Використавши формулу (4.18) та вирази часткових похідних функції Л(Л\ і>
запишемо співвідношення
ml =(tgv)
2
0
-m
2
s
+
Згідно рівності (4.19) отримаємо
(tgv)
2
0
•
m
2
s
v
sin
2
V
J
•m
u
• n'
2
0 P
ЗВІДКИ
\ 2 2
mr
v
sin
2
X)
j
ml
о P
'2
m.
m
v
=
+ -
(tgv)
0
-л/2 tg 4°-V2
;
±30,3 (CM);
ґ
sin V
Л
m,
• = +
sin4°-3-3438'
* ±0,2'.
л/2 2000-V2
Приклад 5. Горизонтальна відстань S визначена зі середньою квадратичної!
похибкоюm
s
=±
1см.
Відомо, що відстаньd=12u виміряно в чотири рази точніше.
> Розділ IV
<ут нахилу v-T. Потрібно визначити середні квадратичні похибки m
d
відстані
m
v
кута нахилу v.
"оризонтальна відстань (прокладання) обчислюється за формулою
S = d- cost).
(найдемо часткові похідні функції S = S(d, v) і запишемо вираз для середньої
ратичної похибки m
s
горизонтального прокладання S, використавши формулу (4.18)
dS dS , .
— = cost), — = -а
•
sinu,
dd dv
m
2
s
= (COSU)Q -m] +(<i-sinu)^
-
ml
P
Згідно умов задачі
(cosv)l
-
ml =0,75 -m
2
s
, (d-sinu)o -m
2
• = 0,25
•
m\ ,
КИ
(COSU)
0
cos 7
(rf-sinu)
0
720-sin 7
§ 4.10. Формула Бесселя
Розглянемо істинне значення вимірюваної величини L та її результати
ірювань_/^(/ = 1,«). Обчисливши істинні похибки окремих вимірювань
1.-L (і = 1 ,п), можна знайти за формулою (4.3) середню квадратичну похибку
т=±,—. (4.21)
V п
Формула (4.21) носить назву формули Ґаусса.
Але, якщо є відомим істинне значення шуканої величини, то немає потреби її
іірювати та говорити про точність вимірювань. Формула (4.21) має
осування в тих випадках, коли з теоретичних міркувань є відомим істинне
дення деякої функції вимірюваних величин, зокрема суми виміряних кутів
Елементи теорії похибок вимірювань 259
трикутника, суми кутів замкнутого полігону або суми перевищень примок» іа
оберненого нівелірних ходів і т. д. Але у більшості випадків істинні значення
вимірюваних величин є невідомими (величини кутів, перевищень між двома
точками, довжини ліній та ін.), і потрібно визначити надійне значення іакпч
величин із багатьох повторних вимірювань та оцінити їх точність.
Розглянемо результати рівноточних вимірювань х. (і-\,п) однієї і тієї ж
величини, істинне значення А'якої є невідомим. Відомо, що надійним значенням
її буде середнє арифметичне Х
0
=
— [х]
результатів вимірювань.
п
Введемо різниці
<5,- =х, -Х
0
, і = й, (4.22)
які назвемо надійними, або залишковими похибками окремих результатів. Очевиді ю,
що чим менше середнє арифметичне Х
0
буде відрізнятись від істинного значення .V.
тим менше істинні похибки
А.
будуть відрізнятись від надійних похибок
<5..
Запишемо істинні похибки А вимірювань х. •
А=х
г
Х,і = йі (4.23)
та, віднявши від виразів (4.23) вирази (4.22), отримаємо
А-8 = Х
0
-Х. (4.24)
Стала різниця Х
0
- Х= А
0
є істинною похибкою середнього арифметичного А',,.
Перепишемо рівності (4.24) так:
А. =
S.
+ А .
і і о
Піднесемо їх до квадрату та, просумувавши, одержимо
[А
2
} = [8
г
] + пАІ+2А
й
{8]. (4.25)
и " '
1
"
Знайдемо
[<5]
= £•*,• -п-Х
0
= -[-^1 = 0.
/=і /=і п /=і
Отже, сума надійних похибок результатів рівноточних вимірювань завжди
дорівнює нулеві.
Рівність (4.25) перепишемо
[А
2
] = [8
2
] + п-А
2
0
, (4.26)
звідки випливає, що [А
2
] > [<5
2
], тобто сума квадратів істинних похибок є завжди
більшою за суму квадратів надійних похибок для довільної системи значені,
істинних похибок.
262
Розділ IV
Поділимо праву та ліву частини рівності (4.26) на кількість вимірювань п
+ <• (4.27)
И
2
] [<5
2
] ,
Л
2
Оскільки т
2
= - середня квадратична похибка одного вимірювання, а
п
Л
2
=
[А?
= +
2(Д4
2
+... + А,А„ +... + 4
и
_А )
2 ' 2 2
п п п
причому добутки А
{
А
2
, А
{
А
3
, ..., А
п [
А
п
задовільняють властивості випадкових
похибок і тому для достатньо великого значення п їх сума є достатньо малою і
нею можна знехтувати. Тоді рівність (4.27) набуде вигляду
звідки
або
2 [<5
Z
] т
т =-—- + —
t
5
"
т = ,
п-Г
т = ±
дГ-Т' (4-28)
V
п -1
тобто середня квадратична похибка одного вимірювання дорівнює квадратному
кореню зі суми квадратів надійних похибок, поділеної на число, яке дорівнює
кількості вимірювань мінус одиниця.
Формула (4.28) носить назву формули Бесселя і служить оцінкою точності
результатів рівноточних вимірювань,
ш
Оскільки М =
—j=
- середня квадратична похибка середнього арифметич-
л]П
ного Х
0
, то використавши формулу Бесселя (4.28), отримаємо середню
квадратичну похибку М середнього арифметичного Х
0
м=± І ' '
' п(п -1) '
яка виражається через надійні похибки.