Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах
Подождите немного. Документ загружается.
171
5
8
2
3
16
4
3
82
2
ln ln()arctg;xx
x
c++ +- +
8)
1
3
1
1
1
3
21
3
2
ln arctg;
x
xx
x
c
-
++
+
+
+
9)
1
3
1
62
arctgarctg ;x
x
c-+
10)
1
2
1
1
4
1
1
21
2
ln ln()
()
;xx
x
c+- +-
+
+
11)
2
15
12 2
15
arctg
tg()
;
+
+
x
c
12)
-
-
+
2
21tg()
;
x
c
13) -cosx +
-+ -+coscos cos;xxxc
2
3
1
5
35
14)
1
3
1
5
35
sinsin
;
xx
c-+
15)
3
8
1
4
2
1
32
4xx xc-+ +sinsin ;
3
8
1
4
2
1
32
4xx xc-+ +sinsin ;
16)
5
16
1
4
2
3
64
4
1
48
2
3
xx xxc++ -+sinsin sin;
17)
1
2
(lnsin cos) ;xxxc+++
18)
1
6
1
4
1
2
1
2
1
6422
tg tg tg ln(tg) ;xxxxc-+-++
+ tg
2
x) + c; 19)
1
8
4
1
4
2sinsin ;xxc++
20)
6
32
1
3
66
xx
xxc-+-+
+ln();
6
32
1
3
66
xx
xxc-+-+
+ln();
21)
2
27
32
1
9
32
2
9
32
2
9
321
3
()() ln ;xxxxc+- +- ++ +++
2
27
32
1
9
32
2
9
32
2
9
321
3
()() ln ;xxxxc+- +- ++ +++
22)
3
4
2
2
2
3
+
-
+
x
x
c;
23)
ln ;xxxc-+ --+
1
2
1
2
24)
32
1
2
1
2
2
22
xx xxxc++++++++ln ;
25)
-+-+
-
+56 413
2
3
2
xx
x
carcsin ;
-+-+
-
+56 413
2
3
2
xx
x
carcsin ;
26)
x
ax
ax
a
c
222
22
2
-+ +arcsin ;
27)
x
xxxc
2
22
22
-+ +-+ln ;
x
xxxc
2
22
22
-+ +-+ln ;
28)
1
2
42
2
ln ;
+-
+
x
x
c
29)
-+-+
-
+5
1
2
21
21
2
xx
x
carcsin ;
-+-+
-
+5
1
2
21
21
2
xx
x
carcsin ;
30)
x
xxxc
2
2
2
4
11
2
45-+ +++ln ;
31)
1
2
2
1
ln
arcsin ;
x
c
-
+
32)
2
2
2
22
arctgtg;
x
c
+
33)
23
2
-+cos;xc
34)
x
x
x
c
2
1
22
+
-+arctg;
35) 5x + lnx
2
(x + 2)
4
| x - 2|
3
+ c;
36)
2
4
5
2
9
59
sin
sinsin
;x
xx
c-++
37)
xx
c
22
4
2
8
-+
sin
;
38)
4
2
1
44
x
xx c++ -
+ln ;
39)
-+-+ --+
1
8
1
1
8
21 1
222
ln()() ;xx xx xc
-+-+ --+
1
8
1
1
8
21 1
222
ln()() ;xx xx xc
40)
--++53 3
3
2
x
x
carcsin ;
41)
1
3
3
e
arctg
;
x
c+
172
42)
--++-+ +
1
2
23 2
1
2
12
1
4
2
2
()cos()sin cos;xx xx xxc
--++-+ +
1
2
23 2
1
2
12
1
4
2
2
()cos()sin cos;xx xx xxc
43)
-
-+
log
ln
;
2
1
2
x
xx
c
44)
3
2
2
1
8
4xx xc-+ +sinsin .
17. оПределенный интеГрал (о.и.)
опорный конспект № 17
17.1. Задачи о площади, работе. Понятие о.и.
О:
fx xfx
a
b
x
i
i
n
i
i
() lim(),
max
d
∫
∑
=
→
=
∆
∆
0
1
ζ
где ∆х
i
= x
i
- x
i-1
, ξ
i
∈ [x
i-1
, x
i
], i =
1,.n
Sfxx
D
a
b
=
∫
()d
Afxx
a
b
=
∫
()d
— работа силы
F
= f(x), направление которой
совпадает с ОХ, на [a, b]
17.2. Свойства о.и.
1
0
.
(()()) () ()fx xx fx xxx
a
b
a
b
a
b
±= ±
∫∫∫
ϕϕddd
.
2
0
.
kf xx kfxx
a
b
a
b
() () ,dd
∫∫
=
k = const.
3
0
.
fx xfxx
a
b
b
a
() ()dd
∫∫
=-
.
4
0
.
fx x
b
a
()d
∫
= 0
.
5
0
.
fx xfxx fx x
a
b
a
c
c
b
() () () .ddd
∫∫∫
=+
Геометрический смысл
(f(x) > 0)
S = S
1
+ S
2
173
6
0
.
ϕψ ϕψ() () [, ]()().xxxabxxxx
a
b
a
b
≤∀∈⇒ ≤
∫∫
dd
Геометрический смысл
7
0
. Теорема о среднем
f(x) ∈ C
[a,b]
⇒ ∃ξ ∈ [a, b]:
fx xf ba
a
b
() ()()d
∫
=-ξ
Геометрический смысл
S
D
= S
17.3. Формула ньютона—Лейбница
fx xFbFaFxfx
a
b
() () ().()()d
∫
=-
′
=
17.4. интегрирование заменой переменной и по частям в о.и.
1) Замена переменной:
fx x
xt
xtt
ft tt
a
b
()
()
()
[()] ()d
dd
d
∫∫
=
=
=
′
=
′
ϕ
ϕ
ϕϕ
α
β
2) Интегрирование по частям:
uv uv vu
a
b
a
b
a
b
dd
∫∫
=-
174
17.5. несобственные интегралы (нс.и.)
1. Нс.и. с бесконечными пределами интегрирования
О:
fx xfxx
a
b
a
b
() lim()dd
∞
→∞
∫∫
=
— сходящиеся,
если lim∃, конечен;
расходящиеся, если lim∃/
fx xfxx
b
a
a
b
() lim()dd
-∞
→-∞
∫∫
=
fx xfxx fx x
c
c
() () ()ddd
-∞
∞
-∞
∞
∫∫∫
=+
2. Нс.и. от разрывных функций
О:
fx xfxx
a
b
cb
a
c
() lim(),dd
∫∫
=
→-0
если f(x) ∈ C
[a,b]
и имеет разрыв 2-го рода при х = b
fx xfxx
a
b
ca
c
b
() lim(),dd
∫∫
=
→+0
если f(x) ∈ C
[a,b]
и имеет разрыв 2-го рода при х = a
Задачи к разд. 17.1–17.3
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, вычислить опреде-
ленные интегралы:
1.
xx
x
2
1
2
3
1
2
33
3
2
3
1
3
3d
-
-
∫
==-
-
=
()
.
2.
112
1
4
2
4
2
1
4
2
3
2
1
4
1
4
+
=+
=- -
=
=- -
∫∫
-
-
x
x
xxxx
x
x
dd
---=().12
7
4
3.
cos
cos
(cos )
2
0
4
0
4
0
4
12
2
1
2
12xx
x
xxxdd d
ππ π
∫∫ ∫
=
+
=+ =
175
=+
=⋅+
-⋅+
1
2
1
4
2
1
24
1
42
1
2
0
1
4
0
0
4
xxsinsin sin
π
ππ
=
=+
π
8
1
4
.
4.
23
1
3
23 3
2
9
23
2
9
55 22
0
1
1
2
3
2
0
1
+=++=+ =
=-
∫∫
xx xx xdd(2 )
0
1
() ()
().
5. Найти среднее значение K(ξ) издержек K(x) = 3x
2
+ 3x + 1,
выраженных в денежных единицах, если объем продукции x меня-
ется от 0 до 4 единиц. Указать объем продукции ξ, при котором
издержки принимают среднее значение.
Решение: Среднее значение f(ξ) функции f(x) на [a, b] опреде-
ляется согласно теореме о среднем (см. ОК, разд. 17.2) формулой
f
ba
fx x
a
b
() () ,ξ=
-
∫
1
d
ξ ∈ (a, b). Тогда
Kxxx xxx() ()
()
ξ= ++ =++
=
=++=
∫
1
4
231
1
4
3
2
1
4
64 24 423
2
0
4
32
0
4
d
((.).ден. ед
Далее находим ξ, решая уравнение 3x
2
+ 3x + 1 = 23 ⇒ 3x
2
+
+ 3x - 22 = 0.
Имеем
ξ= =
-+
x
3273
6
(ед. продукции).
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
1)
ed
2
0
3
x
x
∫
;
2)
dy
y9
2
0
3
+
∫
;
3)
();xx x
2
1
2
23-+
∫
d
4)
dx
xx
2
0
1
45++
∫
;
5)
();2
3
0
8
xxx+
∫
d
6)
sin;
2
0
3
3
x
xd
π
∫
7)
(cos );1
2
0
2
-
∫
xxd
π
8)
34
1
7
xx+
-
∫
d ;
9)
dz
zz+-
∫
9
0
16
;
10)
1
1
4
+
∫
t
t
td ;
11)
x
x
x
+
+
∫
3
4
2
0
2
d .
176
12) Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину
на 5 см, если сила в 1 Н растягивает ее на 1 см. Указание: По закону
Гука сила F возрастает пропорционально растяжению x пружины:
F = kx.
13) Определить объем продукции, произведенной рабочим за
второй час рабочего дня, если производительность труда
ft
t
()=
+
+
2
34
3
(t — время).
Указание: Если f(t) — производительность труда в зависимости
от времени t, то объем продукции V при t
1
≤ t ≤ t
2
вычисляется по
формуле
Vftt
t
t
=
∫
() .d
1
2
Задачи к разд. 17.4
1) Замена переменной в определенном интеграле
Вычислить интегралы:
1.
cos
sin
.
3
3
2
4
x
x
xd
-
-
∫
π
π
Решение: Подынтегральная функция относится к классу f(x) =
= sin
m
xcos
n
x (см. ОК, разд. 16.2). Делаем подстановку sinx = t и
применяем формулу замены переменных:
cos
sin
(sin )cos
sin
sin,
c
3
3
2
4
2
3
2
4
1x
x
x
xxx
x
x
xt
d
d
d
-
-
-
-
∫∫
=
-
=
=
π
π
π
π
oos ,
()
xx t
x
t
tt
t
dd
d
=
--
--
=
=
-
-
-
ππ
24
1
2
2
1
2
3
1
2
2
∫∫∫
=-
=-=
=-
-
-
-
-
-
-
-
ttt
tt
1
3
5
3
1
2
2
2
3
1
2
2
8
3
1
2
2
3
3
2
3
8
3
2
1
2
1
d
-
-
=-
3
8
1
2
10083
4
3
,.
177
2.
xx
x
d
54
5
1
+
∫
.
Решение: Подынтегральная функция относится к классу f(x) =
=+
()
Rx ax b
n
m
,( )
(см. ОК, разд. 16.3):
xx
x
xt xt
xtt
x
t
d
dd
54
54
1
4
5
1
2
51
53
5
1
22
+
=
+= =-
=
∫
,()
,
==
-⋅
=
=-=-
=-
∫
∫
1
4
5
1
2
1
8
5
1
83
5
1
8
91
2
5
3
2
5
3
3
5
3
()
()
ttt
t
tt
t
t
d
d
55
125
3
25
17
6
-+
=- .
3.
1
2
2
3
2
1
-
∫
x
x
xd .
Решение: Подынтегральная функция относится к классу f(x) =
=-Rx ax(, )
22
(см. ОК, разд. 16.3):
1
11
3
2
1
32
2
2
3
2
1
22
-
=
==
-=-=
∫
x
x
x
xt xtt
xtt
x
t
d
ddsin, cos
sincos ,
ππ
=
==
-
=
∫∫
cos
sin
sin
sin
2
2
3
2
2
2
3
2
1tt
t
t
t
t
d
d
d
π
π
π
π
tt
t
ttt
sin
ctg
ctgctg
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2323
3
π
π
π
π
π
π
π
π
ππππ
∫∫
-=--=
=- +-+=
d
336
-
π
.
2) Интегрирование по частям в определенном интеграле
4.
()sin
,
sin,sincos
xaxx
xu ux
ax xvvaxx
a
a
a
+=
+= =
== =-
∫
∫
3
3
1
0
2
d
dd
dd d
π
xx
=
178
=
-+
+=+=+=
+
∫
x
a
ax
a
ax x
a
ax
a
a
a
a
a
a
a
a
31 33113
0
2
0
2
2
0
2
2
coscos
sin
π
π
π
d
22
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
14)
ed
1
2
1
2
x
x
x
∫
;
15)
d
e
x
xx1
2
1
-
∫
(ln)
;
16)
dx
xx
e
1
1
3
+
∫
ln
;
17)
cossin ;
5
0
2
2xxx
π
∫
d
18)
dx
x2
0
2
+
∫
cos
;
π
19)
dx
x11
3
1
0
++
-
∫
;
20)
x
x
x
-
∫
1
4
9
d ;
21)
d
e
x
x
-
∫
1
2
4
ln
ln
;
22)
dx
xx32
2
0
1
+-
∫
;
23)
4
2
0
1
-
∫
xxd ;
24)
dx
x()
;
1
23
1
3
+
∫
25)
x
x
x
2
1
2
1-
∫
d ;
26)
xx
x
ed
-
∫
2
0
1
;
27)
ln();xx+
∫
3
0
3
d
28)
()cos;xxx-
-
∫
π
π
2
0
3d
29)
arcsin ;xxd
0
1
2
∫
30)
xxxarctg;d
0
3
∫
31)
xx
x
x
sin
cos
;
3
0
4
d
π
∫
32)
ln
.
xx
x
e
d
2
1
2
∫
Задачи к разд. 17.5
Задача 1. Вычислить несобственные интегралы 1-го рода (с бес-
конечными пределами интегрирования):
а)
dx
xxln
;
5
∞
∫
б)
dx
xx
2
22++
-∞
+∞
∫
.
Решение: а) имеем несобственный интеграл с бесконечным верх-
ним пределом:
ddx
xx
x
x
xb
b
b
b
b
b
ln
lim
(ln)
ln
limlnlnlim(lnln
55
5
∞
→∞ →∞ →∞
∫∫
==
(
)
=-lln ln )5 =∞⇒
⇒ нс.и. расходится.
Если обозначить
lim()(),
b
Fb F
→+∞
=+∞
то можно записать решение,
пользуясь обобщенной формулой Ньютона—Лейбница
fx xF Fa
a
() () (),d
∞
∫
=+∞-
′
=Fx fx() ():
179
ddx
xx
x
x
x
ln
(ln)
ln
ln ln lnln() ln ln ;
55
5
5
∞∞
∞
∫∫
===∞-=∞
б)
ddd
d
x
xx
x
x
x
x
x
x
a
22
0
2
0
22 11 11
1
++
=
++
+
++
=
=
+
-∞
+∞
-∞
+∞
→∞
∫∫∫
() ()
lim
(
))
lim
()
limarctg()
limar
2
0
2
0
0
111
1
+
+
++
=++
+
∫∫
→∞ →-∞
→∞
a
b
b
a
a
b
x
x
x
d
cctg( ).x
b
+=+=1
22
0
ππ
π
Задача 2. Вычислить несобственные интегралы 2-го рода (от
разрывных функций):
а)
dx
x
0
1
∫
;
б)
dx
x1
2
0
1
-
∫
.
Решение: а) подынтегральная функция
fx
x
()=
1
терпит разрыв
в точке x = 0:
ddx
x
x
x
x
0
1
0
1
0
1
0
2222
∫∫
== =-=
→→ →
limlim lim( );
e
e
e
e
e
e
б)
ddx
x
x
x
x
c
c
c
c
c
11
2
0
1
10
2
0
10
0
10
-
=
-
=
(
)
=
=
∫∫
→- →-
→-
limlim arcsin
lim(
aarcsin arcsin ).c -=0
2
π
Задачи для самостоятельного решения
33)
dx
xxln
;
3
2
∞
∫
34)
xx
x
d
2
2
1-
∞
∫
;
35)
dx
x35
1
+
∞
∫
;
36)
dx
xx
2
49++
-∞
∞
∫
;
37)
dx
x
0
1
∫
;
38)
dx
xx
e
ln
;
2
1
1
∫
39)
dx
x()
;
+
-
-
∫
2
2
3
3
1
40)
xx
x
d
1
1
0
+
-
∫
.
41) Выбрать верный ответ из четырех вариантов:
1)
2
16
2
0
1
xx
x
d
+
∫
;
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 2,5;
180
2)
ln ;
2
1
xx
e
d
∫
1) e; 2) e
-1
3) e - 2 4) 1 + e;
3)
arctg
;
xx
x
d
1
2
0
+
∞
∫
1) π
2
/8; 2) 1; 3) ∞; 4) π;
4)
sin
(cos )
;
xx
x
d
1
2
2
-
∫
π
π
1) 1; 2) 1,5; 3) 0,5; 4) -1;
5)
dx
xx
2
2
8
68++
∫
.
1) (ln3)/2; 2) (ln(3/4))/2; 3) (ln(5/4))/2;
4) ln(1/4).
18. Геометрические ПриложениЯ
оПределенноГо интеГрала
опорный конспект № 18
18.1. Вычисление площади плоской фигуры (S
D
)
1. S
D
в декартовых координатах
а)
∂
=
=
=
=
=
∫
D
yfx
xa
xb
y
Sfxx
D
a
b
:d
(),
,
,
() ;
0
б)
∂
=
=
=
=
=- ≤D
yfx
yfx
xa
yb
Sfxfxxfx
D
:d
1
2
21 1
(),
(),
,
(()()) ,() ffx
a
b
2
()
∫