Наглядно ветвящийся процесс с дискретным временем представляется
генеалогическим деревом, корнем которого является исходная частица, а узлами
— остальные частицы. Слои дерева интерпретируются как поколения; частицы,
следующие за какой-нибудь частицей, называются ее потомками.
Состояние µ(t) ветвящегося процесса в момент t интерпретируется как число
частиц в t-м поколении. При переходе к следующему поколению каждая частица
исчезает, порождая случайное число потомков следующего поколения; числа
потомков разных частиц независимы.
Чтобы определить процесс формально, будем считать, что имеется бесконечная
совокупность {γ
tk
, t = 0, 1, . . . , k = 1, 2, . . .} независимых одинаково распределенных
случайных величин, принимающих значения 0, 1, . . . (γ
tk
— число потомков k-
й частицы t-го поколения). Значения процесса определяются рекуррентными
соотношениями
µ(t + 1) =
(
γ
t1
+ γ
t2
+ . . . + γ
tµ(t)
при µ(t) > 0,
0 при µ(t) = 0.
Так определенный процесс µ(t) является цепью Маркова, поскольку при
фиксации значения процесса в любой момент времени t его дальнейшее поведение
определяется случайными величинами {γ
vk
, v ≥ t, i = 1, 2, . . .}, не зависящими
от прошлого. Множеством состояний ветвящегося процесса является множество
{0, 1, . . .} неотрицательных целых чисел, так что ветвящийся процесс — это счетная
цепь Маркова. Состояние 0 является поглощающим; если процесс попадает в
состояние 0, то говорят, что он выродился.
С точки зрения как биологических, так и физических применений наибольший
интерес представляют два вопроса: а) при каких условиях вероятность вырождения
процесса равна 1, а при каких процесс с положительной вероятностью не
вырождается? б) как ведут себя траектории процесса µ(t) при t → ∞?
При исследовании свойств ветвящихся процессов оказывается очень удобным
аппарат производящих функций.
Лемма 4.1. Пусть ν, γ, γ
1
, γ
2
, . . . — независимые целочисленные
неотрицательные случайные величины, причем γ, γ
1
, γ
2
, . . . одинаково распределены,
пусть g(s) = Ms
ν
, f(s) = Ms
γ
. Если
µ =
(
0, если ν = 0,
γ
1
+ . . . + γ
k
, если ν = k,
то Ms
µ
= g(f(s)).
Доказательство. По формуле полного математического ожидания, учитывая, что
γ
1
, γ
2
, . . . независимы и одинаково распределены, находим:
Ms
µ
=
X
k>0
P{ν = k}Ms
γ
1
+...+γ
k
=
=
X
k>0
P{ν = k}(Ms
γ
)
k
= g(Ms
γ
) = g(f(s)).
Лемма доказана.
24