известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов y
1
, y
2
,…, y
m
являются внутренними, ибо они определяются непосредственно в результате
решения задачи, поэтому их чаще называют объективно обусловленными
оценками ресурсов (Л.В. Канторович).
Построим двойственную задачу для примера 2.1:
Z = 12 y
1
+ 18 y
2
+15y
3
Æ min. (2.5.4)
2y
1
+ 2y
2
+ y
3
≥ 5,
y
1
+ 3y
2
+ 3y
3
≥ 6, (2.5.5)
y
1
≥ 0, y
2
≥ 0, y
3
≥ 0.
Из алгебраических соображений легко показать, что F ≤ Z, откуда maxF=
minZ, если они существуют ( основная теорема двойственности).
В нашем примере 2.1 maxF = minZ = 40.5, и объективно обусловленные
оценки y
1
= 0.75, y
2
= 1.75, y
3
= 0, вычисленные простым счетом в 2.5,
являются решением двойственной задачи (2.5.4)–( 2.5.5).
Действительно, 12×0.75 + 18×1.75 + 15×0 = 40.5.
Из выражения (2.5.4) видно, что если увеличить в условии задачи какое-
либо ресурсное ограничение b
i
на единицу, то Z (и, следовательно, F) также
увеличится ровно на y
i
.
Однако прямая и двойственная ей задача линейного программирования
имеют и экономическое истолкование. Так, в задачах на распределение
ограниченных ресурсов в производстве оптимальный план можно получить,
либо минимизируя издержки для заданной программы, либо максимизируя
выпуск при заданной общей сумме издержек. Двойственными аспектами
одной и той же задачи являются распределение ресурсов и оценка их. Если
для ресурсов не существует рыночных цен, то необходимо их создать, ввести
систему условных или расчетных цен.
Рассмотрим теперь пример 2.2 и построим для него двойственную задачу.
Напомним, что в этом примере из сена и концентратов необходимо составить
суточный рацион питания, калорийность которого 20 кормовых единиц,
содержание белка 2000 гр., а кальция 100 гр. Цена сена 1.5, а концентратов 2.5
усл.ед. за 1 кг. Пусть y
1
, y
2
, y
3
– наша оценка (за единицу) полезности
каждого из этих показателей. Тогда общая (условная) оценка рациона питания:
Z = 20 y
1
+ 2000 y
2
+100y
3
.
Мы будем стремиться максимизировать Z. Если 1 кг сена содержит 0.5
кормовых единиц, 50г белка и 10 г кальция, то оценка его питательного
содержания, т.е. 0.5y
1
+ 50y
2
+ 10y
3
, не может превышать его рыночной цены
(1.5). Аналогично этому для концентратов оценка питательных веществ,
35