Касаева Т.В. и др. Статистика
Подождите немного. Документ загружается.
103
Для моментных рядов с неравными интервалами средний уровень
определяется по формуле средней арифметической взвешенной, но в
качестве весов принимается t
i
– количество отрезков времени, на
протяжении которых сохраняется данный уровень:
∑
∑
=
i
ii
t
ty
y
. (8.19)
Например, необходимо определить среднегодовую стоимость
основных средств по данным таблицы 8.12.
Таблица 8.12 – Динамика стоимости основных средств
Дата
01.01.08
01.04.08
01.05.08
01.09.08
01.01.09
Стоимость
ОС,
млрд. руб.
870 830 890 880 880
.).(7,876
12
4*8804*8901*8303*870
рубмлрдy =
+++
=
t
i
– в данном случае количество месяцев; за год Σ t
i
=12.
Средний абсолютный прирост
рассчитывается как средняя
арифметическая простая из абсолютных приростов (цепных):
1−
∆
=∆
∑
n
y
y
ц
, (8.20)
где n – число уровней ряда динамики;
n − 1 – число абсолютных приростов, которые могут быть
получены по n уровням.
Либо учитывая накопление абсолютного прироста:
( ) ( ) ( )
011201
... yyyy
yyyyy
nnnц
−=−++−+−=∆
−
∑
, (8.21)
1
0
−
−
=∆
n
yy
y
n
. (8.22)
В нашем примере (таблица 8.9):
667,2
3
422
667,2
14
6977
=
++
=∆=
−
−
=∆ yлибоy
.
Важную роль в анализе рядов динамики играет
средний темп
роста. Наиболее часто он рассчитывается как средняя геометрическая из
цепных темпов роста:
104
1
121
*...**
−
−
=
n
n
TpTpTppT
. (8.23)
Используя выражения
1−
=
i
i
i
y
y
Tp
, можно получить другую формулу:
1
12
3
1
2
0
1
*...***
−
−
=
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
pT
, т.е.
1
0
−
=
n
n
y
y
pT
. (8.24)
В нашем примере (таблица 8.9):
037,1055,1*028,1*029,1
3
==pT
либо
%7,103037,1
69
77
3
илиpT ==
.
Средний темп прироста
Если данные о средних темпах роста выражены в виде
коэффициента:
определяется на основе взаимосвязи
между темпами роста и прироста.
1−= рТпрT
(8.25)
1,037 – 1 = 0,037,
а если данные приводятся в процентах, то:
100−= рТпрT
(8.26)
103,7 – 100 = 3,7 (%).
По средним показателям в нашем примере можно сделать
следующие выводы:
а) размер среднегодовой прибыли за исследуемый период
составляет 72,5 млрд. руб.;
б) из года в год прибыль увеличивается в 1,037 раза;
в) за каждый год прибыль возрастает в среднем на 2,667 млрд.
руб. или на 3,7 %.
8.4 Статистические методы выявления основной тенденции в
развитии явлений
Особый интерес в исследовании закономерностей динамических
процессов представляет выявление общей тенденции развития – тренда.
При изучении основной тенденции в рядах динамики решаются
две взаимосвязанные задачи:
1) выявление основной тенденции развития и описание ее
особенностей (т.е. тенденция роста или снижения);
2) получение количественной оценки основной тенденции
развития (т.е. получение уравнения тренда).
Для решения этих задач в анализе рядов динамики используются
следующие методы:
105
1) метод укрупнения интервалов;
2) метод скользящей средней;
3) метод приведения рядов динамики к единому основанию;
4) метод аналитического выравнивания.
8.4.1 Метод укрупнения интервалов
Часто в статистических исследованиях имеются ряды динамики,
состоящие из большого количества уровней, в которых трудно
просматривается закономерность в развитии явления во времени. В
этом случае прибегают к использованию метода укрупнения
интервалов, сущность которого сводится к следующему:
первоначальный ряд динамики преобразуется в ряд динамики с более
продолжительными периодами (от месяцев переходят к кварталам, от
кварталов к годам и т.п.). По укрупненным интервалам рассчитываются
средние уровни ряда динамики и анализируется тенденция.
Например, определить тенденцию выпуска продукции потока по
сборке обуви (таблица 8.13).
Таблица 8.13 – Динамика выпуска обуви по месяцам отчетного года
Месяц
t
Выпуск
обуви,
тыс. пар.
Y
Суммарный
выпуск за
укрупнённый
период (квартал)
Среднемесячные
уровни по
кварталам
Скользящая средняя
(по трём уровням)
1
2
3
4
5
01
23
64
21,3
-
02
19
3,21
3
221923
=
++
03
22
0,22
3
252219
=
++
04
25
76
25,3
6,23
3
242522
=
++
05
24
25 + 24 + 27 / 3 = 25,3
06
27
24 + 27 + 28 / 3 = 26,3
07
28
78
26,0
27 + 28 + 24 / 3 = 26,3
08
24
28 + 24 + 26 / 3 = 26,0
09
26
24 + 26 + 29 / 3 = 26,3
10
29
87
29,0
26 + 29 + 30 / 3 = 28,3
11
30
29 + 30 + 28 / 3 = 29,0
12
28
-
Анализ исходного ряда (гр. 1 и гр. 2) не позволяет однозначно
определить направление тренда, укрупнение же интервалов указывает
на положительную тенденцию в изменении выпуска обуви.
Вместе с тем, необходимо отметить, что назначение данного
метода – более наглядное представление тенденции развития явления,
но не «затушевывание» этого развития. Поэтому его нельзя
использовать:
106
а) при анализе ритмичности работы;
б) в тех сферах, где наблюдаются сезонные колебания (сельское
хозяйство, услуги и т.д.).
То есть метод имеет ограниченную сферу применения.
8.4.2 Метод скользящей средней
В данном случае от исходных данных переходят к теоретическим
уровням – уровням скользящей средней.
Скользящая средняя
– это подвижная динамическая средняя из
определённого числа уровней ряда (3-х, 4-х, … и т.д.) при
последовательном передвижении на один уровень. То есть первая
скользящая средняя из 3-х уровней в нашем примере (таблица 8,13,
графа 5):
3
321
yyy
y
++
=
, (8.27)
вторая
3
432
yyy
y
++
=
, (8.28)
третья
3
543
yyy
y
++
=
и т.д. (8.29)
Для большей наглядности уровни скользящей средней (и
исходные уровни) наносятся на график.
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Рисунок 8.1 – Динамика выпуска обуви потоком
Таким образом, изломы линии, отображающей исходную
информацию, сглаживаются с помощью уровней скользящей средней, и
тенденция в развитии явления рассматривается более чётко.
107
8.4.3 Метод приведения рядов динамики к единому основанию
Чаще всего этот метод на практике применяется при
сравнительном анализе тенденций развития взаимосвязанных явлений:
- заработная плата и производительность труда по предприятию,
отрасли и т.д.;
- фондовооружённость и производительность труда;
- выручка от реализации и прибыль от реализации и т.д.
Разные размерности и исходные уровни таких показателей не
позволяют определить, уровень какого из них изменяется быстрее.
Например, необходимо сравнить динамику заработной платы и
производительности труда в организации.
Таблица 8.14 – Динамика заработной платы и производительности
труда рабочих
Квартал
I
II
III
IV|
Среднемесячная заработная
плата 1 рабочего, тыс. руб.
738
750
780
820
Среднемесячная
производительность труда
1 рабочего, шт.
1540
1560
1560
1575
Проведение сравнительного анализа значительно облегчается,
если рассматриваемые ряды динамики приведены к единому
основанию, то есть их уровни выражены в процентах к начальному
уровню (возможно, к среднему или другому характерному уровню).
Приняв в качестве базы сравнения (то есть за 100 %) начальный
уровень ряда динамики, исходные ряды преобразуем в ряды базисных
темпов роста:
Таблица 8.15 – Базисные темпы роста заработной платы и
производительности труда рабочих
Квартал
I
II
III
IV|
Темп роста заработной платы,
%
100,0
101,6
105,7
111,1
Темп роста
производительности труда, %
100,0
101,3
101,3
102,3
То есть заработная плата растёт быстрее, чем производительность
труда. Для сравнения может быть рассчитан
коэффициент опережения
:
086,1
3,102
1,111
.
==
оп
К
.
Этот же приём, то есть приведение рядов к единому основанию,
может быть использован при сравнении динамики одного и того же
показателя, но в разных совокупностях.
108
Особое внимание при использовании метода приведения рядов
динамики к единому основанию уделяется выбору базы сравнения (или
основанию), так как она оказывает весьма существенное влияние на
результаты исследования.
Для наглядности часто строится график.
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
I II III IV
квартал
Базисны е темпы роста, %
ЗП
ПТ
Рисунок 8.2 – Темпы роста заработной платы и
производительности труда рабочих
8.4.4 Метод аналитического выравнивания рядов динамики
Этот метод изучения закономерностей в рядах динамики нашёл
наиболее широкое применение на практике, так как он имеет
существенное преимущество: он позволяет приближенно выразить
определённым математическим законом развитие явления, то есть
получить математическое описание этого развития в виде функции:
)(tfy =
. (8.30)
По экономическому смыслу и возможности последующей
интерпретации математических расчётов рекомендуется выделять
1)
4
типа развития явления во времени:
равномерное развитие
, то есть в арифметической прогрессии (с
постоянным абсолютным приростом):
taay
t 10
+=
− прямая, (8.31)
где y
t
a
– теоретические уровни ряда динамики;
0
a
– начальный уровень явления;
1
При этом a
– абсолютное изменение явления за единицу времени (скорость
ряда динамики).
1
< 0 – тенденция уменьшения, а a
1
> 0 – тенденция роста.
109
2) равноускоренное (или равнозамедленное) развитие
, то есть
движение с постоянным во времени ускорением (замедлением):
2
210
tataay
t
++=
− парабола, (8.32)
где a
2
Если a
– величина постоянного изменения скорости в единицу времени
(то есть величина ускорения или замедления).
2
< 0 – замедление, а a
2
3)
> 0 – ускорение.
развитие с переменным ускорением (замедлением):
3
3
2
210
tatataay
t
+++=
− кубическая парабола, (8.33)
где a
3
– характеризует эффект возрастания ускорения (a
3
> 0) или его
замедление, (a
3
4)
< 0) во времени.
развитие по экспоненциальному закону
с постоянным темпом
роста, то есть в геометрической прогрессии:
t
pt
Tay *
0
=
, (8.34)
где T
p
Выбор типа развития осуществляется по минимальной величине
средней квадратической ошибки аппроксимации:
– темп роста (снижения) в единицу времени.
n
yy
t
y
∑
−
=
2
)(
σ
. (8.35)
Параметры уравнений определяются
методом наименьших
квадратов
∑
= 0t
. Имеются стандартные программы для расчётов на ЭВМ. При
ручном счёте для облегчения расчётов вводятся такие обозначения
периодов или моментов времени, чтобы , следовательно,
∑ ∑
== 0;0
53
tt
.
Рассмотрим получение уравнения тренда на примере прямой:
taay
t 10
+=
. (8.36)
Нахождение параметров a
0
и a
1
основано на использовании
известного в математике метода наименьших квадратов, согласно
которому расчёт a
0
и a
1
сводится к решению системы уравнений:
.
2
10
10
=+
=+
∑∑∑
∑∑
yttata
ytana
(8.37)
110
Для упрощения расчётов параметру t придаются такие значения,
чтобы
∑
= 0t
(способ «отсчёта от условного 0»).
Для ряда динамики, состоящего из нечетного количества уровней:
Год
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
t
-3
-2
-1
0
1
2
3
Для ряда динамики, состоящего из четного количества уровней:
Месяц
01
02
03
04
05
06
t
-5
-3
-1
1
3
5
При
0=
∑
t
система уравнений принимает вид:
=
=
∑∑
∑
ytta
yna
2
1
0
. (8.38)
Отсюда легко определить:
n
y
a
∑
=
0
и
∑
∑
=
2
1
t
yt
a
. (8.39, 8.40)
Однако, учитывая тот факт, что «условный 0» − это середина ряда
динамики, и анализируя формулу расчёта a
0,
приходим к выводу, что a
0
Например, по данным таблицы 8.16 определить уравнение тренда,
характеризующее тенденцию изменения прибыли за 5 лет.
– средний (серединный) уровень ряда динамики.
Таблица 8.16 – Расчет параметров уравнения тренда
Годы
Прибыль,
млрд.руб
t
y*t
t
y
2
t =
(y
32+5,6t
t
-y)
2
2005
2006
2007
2008
2009
Эмпирические
уровни
20
28
30
40
42
-2
-1
0
1
2
-40
-28
0
40
84
4
1
0
1
4
Теоретические
уровни
20,8
26,4
32,0
37,6
43,2
0,64
2,56
4,00
5,76
1,44
Σy = 160
Σt = 0
Σyt = 56
Σt
2
Σy
= 10
t
Σ(y
= 160
t
-y) = 14,4
Уравнение прямой y
t
= a
0
+ a
1
При этом:
t
32
5
160
0
===
∑
n
y
a
,
6,5
10
56
2
1
===
∑
∑
t
yt
a
.
Тогда уравнение тренда принимает вид:
y
t
= 32 + 5,6t.
111
Определяем теоретические уровни и рассчитываем ошибку
аппроксимации
697,1
5
4,14
==
y
σ
.
Для наглядности можно использовать графический метод:
0
10
20
30
40
50
60
2005 2006 2007 2008 2009
Годы
Прибы ль, млрд.руб.
Рисунок 8.3 – Динамика прибыли организации
Экономическая интерпретация тренда: за анализируемый период
среднегодовой размер прибыли, получаемой организацией, составил 32
млрд. руб. Наблюдается положительная тенденция в изменении
прибыли со среднегодовым увеличением на 5,6 млрд. руб.
Несколько по иному дается интерпретация тренда, рассчитанного
для ряда динамики, состоящего из четного количества уровней.
Например, по данным таблицы 8.17 определить уравнение тренда
для характеристики динамики прибыли за 4 года.
Таблица 8.17 – Расчет параметров уравнения тренда
Годы
Прибыль,
млрд.руб
t
y*t
t
y
2
t=
15,5-0,9t
2005
2006
2007
2008
18
16
16
12
-3
-1
1
3
-54
-16
16
36
9
1
1
9
18,2
16,4
14,6
12,8
Σy = 62
Σyt = -18
Σt
2
Σy
= 20
t
= 62
5,15
4
62
0
===
∑
n
y
a
9,0
20
18
2
1
−=
−
==
∑
∑
t
yt
a
y
t
= 32 + 5,6t
112
y
t
=
Экономическая интерпретация тренда: среднегодовой размер
прибыли составляет 15,5 млрд. руб., однако наблюдается снижение
уровня прибыли о среднегодовым уменьшением 1,8 млрд. руб. (0,9 * 2).
15,5 - 0,9*t – уравнение тренда.
Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе
предполагает получение уравнения:
2
210
tataay
t
++=
(8.41)
при условии
∑
= 0t
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
−
−
=
224
224
0
**
**
tttn
tytty
a
; (8.42)
∑
∑
=
2
1
t
yt
a
; (8.43)
∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
−
−
=
224
22
2
*
tttn
tyytn
a
. (8.44)
Особый интерес в экономической интерпретации представляет а
2
,
который позволяет характеризовать ускорение абсолютных приростов
ряда динамики. Размеры этого ускорения равны по периодам, т.е. это
средний размер ускорения. При этом интерпретация а
2
0=
∑
t
при упрощенном
способе расчетов ( ) следующая:
а) размер ускорения равен 2*а
2
б) размер ускорения равен 8*а
, если ряд динамики состоит из
нечетного количества уровней;
2
Параметр а
, если – из четного.
1
Параметр а
показывает скорость развития ряда динамики. В
данном случае уровни скорости по периодам не равны.
0
– середина выровненного ряда динамики.
Таблица 8.18 – Расчет параметров уравнения тренда
Годы
Выпуск
продук-
ции,
млн. руб.
t
y*t
y*t
t
2
t
4
y
2
t=
5,6+4,7t+1.2t
Разница теор.
уровней
2
первая
(ско-
рость)
вторая
(уско-
рение)
1997
1998
1999
2000
2001
1,0
2,0
6,0
11,0
20,0
-2
-1
0
1
2
-2
-2
0
11
40
4
2
0
11
80
16
1
0
1
16
4
1
0
1
4
18,2
16,4
14,6
12,8
-
1,1
3,5
5,9
8,3
-
-
2,4
2,4
2,4
Σy=40
0
47
Σyt= 97
34
Σt
2
Σy
=10
t
=40