159
которые хотя и не являются самоочевидными, но доступны достоверному познанию, если только
они выводятся из верных и понятных принципов путем последовательного и нигде не
прерывающегося движения мысли при зоркой интуиции, каждого отдельного положения. Подобно
этому мы узнаем, что последнее кольцо длинной цепи соединено с первым, хотя мы и не можем
охватить одним взглядом все находящиеся между ними кольца, которые обусловливают это
соединение, лишь бы последовательно проследили их и вспомнили, что каждое из них, от первого
до последнего, соединено с соседним.
Итак, мы различаем здесь интуицию ума от правильной дедукции в том отношении, что под
дедукцией подразумевается именно движение или последовательность, чего нет в интуиции;
кроме того, дедукция не нуждается в наличной очевидности, как интуиция, но скорее заимствует
свою достоверность у памяти. Отсюда следует, что положения, непосредственно вытекающие из
первого принципа, можно сказать, познаются как интуитивным, так и дедуктивным путем, в
зависимости от способа их рассмотрения, сами же принципы – только интуитивным путем, как и
наоборот, отдаленные их следствия – только дедуктивным путем» (Р. Декарт, 1).
Многие положения интуиционизма были предвосхищены И. Кантом.
«Он считал, что свои ощущения мы получаем из предполагаемого внешнего мира, однако эти
ощущения (или восприятия) не дают существенного знания. Все восприятия включают в качестве
необходимого звена воздействие между тем, кто воспринимает, и воспринимаемым объектом.
Разум организует восприятия, и эти организации являются интуитивными представлениями о
пространстве и времени. Пространство и время не существуют сами по себе, а являются
творениями нашего разума. Разум применяет свое понимание пространства и времени к данным
опыта, которые лишь пробуждают разум. Знание может начинаться с опыта, но в
действительности не опыт является источником знания. Знание берется из разума. Математика
дает нам блестящий пример того, как далеко мы можем продвинуться в априорном (истинном)
знании независимо от опыта» (М. Клайн, 1, с. 268).
Более-менее окончательная версия современного интуиционизма была разработана в
1907 году Э.Я. Брауэром. По его мнению, математика – это человеческая деятельность,
которая начинается и протекает в разуме человека. Вне человеческого разума математика
не существует. Следовательно, математика не зависит от реального мира. Разум
непосредственно постигает основные, ясные и понятные, интуитивные представления.
Они являются не чувственными или эмпирическими, а непосредственно данными,
достоверными представлениями о некоторых математических понятиях.
«Математическое мышление, по Бауэру, представляет собой процесс мысленного построения,
создающего свой собственный мир, не зависящий от опыта и ограниченный лишь тем, что в
основе его должна лежать фундаментальная математическая интуиция. Это фундаментальное
интуитивное понятие следует представлять себе не как нечто сходное по природе с
неопределяемыми понятиями, встречающимися в аксиоматических теориях. Наоборот, через него
должны постигаться разумом все неопределяемые идеи, используемые в различных
математических теориях, если они действительно призваны служить математическому
мышлению. Кроме того, математика по своей природе синтетична. Она занимается составлением
истин, а не выводит их из логики» (М. Клайн, 1, с. 272).
Согласно Бауэру, математика – полностью автономный, находящий основание в самом
себе вид человеческой деятельности, которая не зависит от языка. Язык используется
только для передачи истин. Математические мысли не зависят от их словесного
выражения. Более того, мысли нельзя выразить полностью без потери содержания даже на
математическом языке. Логика дает систему правил, позволяющих осуществлять
дедуктивный вывод новых словесных формулировок, которые предназначены для
передачи истин. Но эти истины нельзя постигнуть ни непосредственно, ни вообще.