220
мы можем определить и остальные К-операции. Так, К-вычитание одного n-числа из
другого — как вычитание между двумя рациональными числами с последующим
округлением до фиксированного числа знаков после запятой; К-умножение двух n-чисел –
как умножение соответствующих рациональных чисел с последующим округлением до
фиксированного числа знаков после запятой; К-деление одного n-числа на другое – как
деление соответствующих рациональных чисел с последующим округлением до
фиксированного числа знаков после запятой. При таких определениях К-операций
множество Q
n
является замкнутым относительно этих операций, т.е. результат К-операций
над n-числами из Q
n
является n-числом из Q
n
. Для дальнейшего удобства будем считать,
что Q
n
представляет собой структуру, на которой определены арифметические К-
операции и операция округления.
К-операции не обладают свойствами, которые мы привыкли видеть у операций над
числами. Так, например, ни одна из этих операций не является ассоциативной операцией,
дистрибутивные законы также не имеют места. Другими словами, множество Q
n
с
определенными на нем К-операциями не является известной математической структурой,
т.е. это множество не является полем, кольцом, группой и т.п.
Из последнего заключения вытекают следствия.
Во-первых, не существует взаимно-однозначного соответствия между Q
n
и
подмножеством рациональных чисел в Q, которое сохраняло бы арифметические
операции или К-операции.
Во-вторых, результаты расчетов по одной и той же арифметической формуле в Q
n
и Q
не являются сопоставимыми. (Формула называется арифметической, если в ней
участвуют только арифметические операции или арифметические К-операции. Под
сопоставимостью двух чисел понимается некая оценка разности между этими числами.)
В-третьих, математические утверждения, истинные над множеством действительных
или рациональных чисел, не имеют места над структурой Q
n
. В качестве примера легко
можно построить геометрическую прогрессию со знаменателем, меньшим единицы,
частичные суммы которой не ограничены, если ее рассматривать над Q
n
.
Как видно из сказанного, решение математической задачи с помощью компьютера, в
общем случае, может привести к результату, ни в коей мере не связанному с поставленной
задачей.
Библиография
1) Аносов Д.Б., Взгляд на математику и нечто из нее. М. 2003
(2) Аристотель, Сочинения в 4-х томах. «Мысль» М. 1976-1981
(3) Аристотель, Метафизика. «Алетейя», С.-Петербург, 2002
(4) Атья М., Математика в ХХ веке. Математическое просвещение, сер.3, вып.7,
2003, стр.5-24
(5) Белл Э.Т., Творцы математики. М. «Просвещение», 1979.
(6) Блауг М., Экономическая мысль в ретроспективе. М. Дело Лтд. 1994
(7) Бор Н., Атомная физика и человеческое познание. М. ИЛ, 1961
(8) Борн М., Физика в жизни моего поколения. М. «Мир», 1963
(9) Бриллюэн Л., Теория информации и ее приложение к фундаментальным проблемам физики. В
сб. Развитие современной физики (1), стр.324-329
(10) Бурбаки Н., Очерки по истории математики. ИЛ. М. 1968
(11) Бэкон Ф., Сочинения. В 2-х тт. М., “Мысль”, 1978, т. 2.
(12) Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. – М.: Физматгиз, 1959
(13) Вайцзеккер К.Ф., Физика и философия. Вопросы философии. 1993, №1, 115-125
(14) Веблен Т., Теория праздного класса. М. «Прогресс». 1994
(15) Вейль Г. Математическое мышление. «Наука», Москва, 1989
(16) Вигнер Ю., Этюды о симметрии. М. «Мир», 1971
(17) Володарский А.И., Ариабхата. М. «Наука», 1977