Лекции для студентов специальности 220100 «Системный анализ и
управление». ТТИ ЮФУ 2009.
Содержание
Дифференциальные уравнения движения произвольной системы материальных точек.
Свободные и несвободные системы.
Связи и их классификация.
Возможные и виртуальные перемещения.
Идеальные связи.
Общее уравнение динамики.
Уравнения Лагранжа первого рода.
Принцип виртуальных перемещений.
Принцип Даламбера.
Голономные системы.
Независимые координаты.
Обобщенные силы.
Уравнения Лагранжа второго рода в независимых координатах. Исследование уравнений Лагранжа.
Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы. Интеграл энергии.
Электромеханические аналогии.
Уравнения Аппеля для неголономных систем. Псевдокоординаты.
Уравнения движения в потенциальном поле.
Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Обобщенный потенциал. Ненатуральные системы.
Канонические уравнения Гамильтона.
Уравнения Рауса.
Циклические координаты.
Скобки Пуассона.
Вариационные принципы и интегральные инварианты
Принцип Гамильтона. Вторая форма принципа Гамильтона.
Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре – Картана).
Гидродинамическая интерпретация основного интегрального инварианта.
Теоремы Томсона и Гельмгольца о циркуляции и вихрях.
Обобщенно-консервативные системы.
Уравнения Уиттекера.
Уравнения Якоби.
Принцип наименьшего действия Мопертюи – Лагранжа.
Движения по инерции. Связь с геодезическими линиями при произвольном движении консервативной системы.
Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре.
Инвариантность объема в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля.
Канонические преобразования и уравнение Гамильтона – Якоби.
Канонические преобразования.
Свободные канонические преобразования.
Уравнение Гамильтона –Якоби. Метод разделения переменных. Применение канонических преобразований в теории возмущений.
Структура произвольного канонического преобразования.
Критерий каноничности преобразования.
Скобки Лагранжа. Симплектичность якобиевой матрицы канонического преобразования.
Устойчивость равновесия и движения системы.
Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия.
Признаки неустойчивости положения равновесия.
Теоремы Ляпунова и Четаева. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные системы.
Условная устойчивость.
Общая постановка вопроса.
Устойчивость движения или произвольного процесса.
Теорема Ляпунова. Устойчивость по линейному приближению.
Малые колебания.
Малые колебания консервативной системы.
Нормальные координаты.
Влияние периодических внешних сил на колебания консервативной системы.
Малые колебания упругих систем.
Диссипативная функция Релея.
Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы.
Влияние внешней силы, зависящей от времени, на малые колебания склерономной системы.
Амплитудно-фазовая характеристика.
Системы с циклическими координатами.
Приведенная система. Потенциал Рауса.
Скрытые движения. Концепция Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии.
Устойчивость стационарных движений.
Содержание
Дифференциальные уравнения движения произвольной системы материальных точек.
Свободные и несвободные системы.
Связи и их классификация.
Возможные и виртуальные перемещения.
Идеальные связи.
Общее уравнение динамики.
Уравнения Лагранжа первого рода.
Принцип виртуальных перемещений.
Принцип Даламбера.
Голономные системы.
Независимые координаты.
Обобщенные силы.
Уравнения Лагранжа второго рода в независимых координатах. Исследование уравнений Лагранжа.
Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы. Интеграл энергии.
Электромеханические аналогии.
Уравнения Аппеля для неголономных систем. Псевдокоординаты.
Уравнения движения в потенциальном поле.
Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Обобщенный потенциал. Ненатуральные системы.
Канонические уравнения Гамильтона.
Уравнения Рауса.
Циклические координаты.
Скобки Пуассона.
Вариационные принципы и интегральные инварианты
Принцип Гамильтона. Вторая форма принципа Гамильтона.
Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре – Картана).
Гидродинамическая интерпретация основного интегрального инварианта.
Теоремы Томсона и Гельмгольца о циркуляции и вихрях.
Обобщенно-консервативные системы.
Уравнения Уиттекера.
Уравнения Якоби.
Принцип наименьшего действия Мопертюи – Лагранжа.
Движения по инерции. Связь с геодезическими линиями при произвольном движении консервативной системы.
Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре.
Инвариантность объема в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля.
Канонические преобразования и уравнение Гамильтона – Якоби.
Канонические преобразования.
Свободные канонические преобразования.
Уравнение Гамильтона –Якоби. Метод разделения переменных. Применение канонических преобразований в теории возмущений.
Структура произвольного канонического преобразования.
Критерий каноничности преобразования.
Скобки Лагранжа. Симплектичность якобиевой матрицы канонического преобразования.
Устойчивость равновесия и движения системы.
Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия.
Признаки неустойчивости положения равновесия.
Теоремы Ляпунова и Четаева. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные системы.
Условная устойчивость.
Общая постановка вопроса.
Устойчивость движения или произвольного процесса.
Теорема Ляпунова. Устойчивость по линейному приближению.
Малые колебания.
Малые колебания консервативной системы.
Нормальные координаты.
Влияние периодических внешних сил на колебания консервативной системы.
Малые колебания упругих систем.
Диссипативная функция Релея.
Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы.
Влияние внешней силы, зависящей от времени, на малые колебания склерономной системы.
Амплитудно-фазовая характеристика.
Системы с циклическими координатами.
Приведенная система. Потенциал Рауса.
Скрытые движения. Концепция Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии.
Устойчивость стационарных движений.