Л.: Издательство Ленинградского университета, 1985. — 496 с.
В пособии, состоящем из двух тесно связанных частей: «Линейная
алгебра» и «Функции многих переменных», единым образом излагается
теория конечномерных линейных пространств, интегральное и
дифференциальное исчисление на областях и многообразиях, лежащих в
этих пространствах. Для пособия характерен преимущественно
бескоординатный - геометрический - способ изложения, наглядность и
замкнутость, а также большая широта охвата материала. Так, с учетом
современных потребностей физика-теоретика в книге изложены: внешняя
алгебра, интеграл Лебега, дифференциальные формы, первоначальные
понятия теории многообразий, диаграммная техника в теории
возмущений для конечномерных операторов.
Линейная Алгебра
Линейное пространство
Алгебраические структуры
Линейное пространство
Линейная зависимость и независимость набора векторов. Базис, размерность, изоморфизм линейных пространств
Подпространства
Определения и примеры
Геометрия подпространств
Линейная зависимость над подпространством и коразмерность
Системы линейных алгебраических уравнений
Основные теоремы
Решение систем уравнений методом исключения неизвестных (Метод Гаусса)
Фундаментальное семейство решений. Общее решение однородной и неоднородной систем
Линейные операторы
Линейные формы и сопряженное пространство
Линейные операторы и их матричная запись
Линейное пространство операторов
Умножение операторов и матриц
Сопряженный оператор. Теорема Фредгольма
Полилинейные формы
Полилинейные формы. Линейная структура
Подстановки
Антисимметризация и симметризация
Антисимметрнческие полилинейные формы
Базис и размерность пространства антисимметрических полилинейных форм
Внешняя алгебра антисимметрических форм. Ориентация
Определители и их свойства
Применение аппарата антисимметрических форм к решению систем линейных алгебраических уравнений
Линейные операторы и преобразование координат
Алгебра операторов и алгебра матриц
Обратный оператор
Простейшие функции операторов и матриц
Преобразование координат при замене базиса
Преобразование компонент тензора при замене базиса. Свертка тензоров
Спектральный анализ оператора в линейном пространстве
Инварианты линейного оператора
Собственные числа и собственные векторы
Спектральный анализ операторов скалярного типа
Спектральная теорема и полиномиальное исчисление
Спектральный анализ оператора в линейном пространстве
Предварительные сведения и определения
Некоторые факты из алгебры полиномов
Алгебра операторных полиномов
Минимальный полином и инвариантные подпространства. Основная теорема
Структура нильпотентного оператора
Вещественные псевдоевклидовы и евклидовы пространства
Метрическая форма
Ковариантные и контравариантные координаты вектора
Геометрия вещественного евклидова пространства
Комплексное евклидово пространство
Основные неравенства
Ортогональность и ортонормированный базис
Операторы
Инвариантные подпространства эрмитовых операторов и спектральное разложение
Унитарные операторы. Спектральное представление
Квадратичные формы в вещественном линейном пространстве
Функции Многих Переменных
Функции па нормированном пространстве
Нормированное пространство. Множества в нормированном пространстве
Непрерывные скалярные (числовые) функции на нормированных пространствах
Вектор-функции и оператор-функции
Естественная нормировка пространств линейных форм и операторов
Непрерывные функции на нормированных пространствах
Линейное нормированное пространство непрерывных вектор-функций на компакте
Дифференцирование функций многих переменных
Дифференцируемые функции
Старшие производные и дифференциалы
Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных
Условный экстремум
Методы решения нелинейных уравнений. Теоремы существования
Принцип сжатых отображений
Метод Ньютона
Существование обратной функции
Теорема о неявной функции
Интегрирование
Объем и мера Лебега
Интеграл Лебега
Свойства интеграла Лебега
Общее понятие меры. Произведение мер. Сведение кратного интеграла к повторному
Замена переменных в кратном интеграле
Дифференциальные формы в области
Тензорные поля. Формы. Внешнее дифференцирование
Замена переменных в полилинейных переменных формах (тензорных полях)
Ориентация вещественного линейного пространства и форма объема, в ориентированном вещественном евклидовом пространстве
Ориентация псевдоевклидова пространства и операция дополнения антисимметрической формы
Теория поля в евклидовом пространстве
Интегрирование дифференциальных форм по области
Цепи, границы и формулы интегрирования по частям
Точные и замкнутые формы в области. Лемма Пуанкаре
Уравнения Максвелла
Дифференцируемые многообразия
Элементарное многообразие (клетка) и тензорные поля на нем
Ориентация клетки и риманова метрика
Интегрирование формы по клетке. Граница клетки и формула Стокса — Пуанкаре
Гладкие многообразия и многообразия с краем
Циклы и границы. Независимость интеграла от пути
Приложения дифференциальных форм к теории функций комплексной переменной. Интеграл Коши и теорема о вычетах
Теория возмущений конечномерных операторов
Вычисление обратного оператора и резольвенты. Интегрирование резольвенты по циклам
Спектральная теория возмущений
Поправки к собственным числам и собственным векторам.
Линейное пространство
Алгебраические структуры
Линейное пространство
Линейная зависимость и независимость набора векторов. Базис, размерность, изоморфизм линейных пространств
Подпространства
Определения и примеры
Геометрия подпространств
Линейная зависимость над подпространством и коразмерность
Системы линейных алгебраических уравнений
Основные теоремы
Решение систем уравнений методом исключения неизвестных (Метод Гаусса)
Фундаментальное семейство решений. Общее решение однородной и неоднородной систем
Линейные операторы
Линейные формы и сопряженное пространство
Линейные операторы и их матричная запись
Линейное пространство операторов
Умножение операторов и матриц
Сопряженный оператор. Теорема Фредгольма
Полилинейные формы
Полилинейные формы. Линейная структура
Подстановки
Антисимметризация и симметризация
Антисимметрнческие полилинейные формы
Базис и размерность пространства антисимметрических полилинейных форм
Внешняя алгебра антисимметрических форм. Ориентация
Определители и их свойства
Применение аппарата антисимметрических форм к решению систем линейных алгебраических уравнений
Линейные операторы и преобразование координат
Алгебра операторов и алгебра матриц
Обратный оператор
Простейшие функции операторов и матриц
Преобразование координат при замене базиса
Преобразование компонент тензора при замене базиса. Свертка тензоров
Спектральный анализ оператора в линейном пространстве
Инварианты линейного оператора
Собственные числа и собственные векторы
Спектральный анализ операторов скалярного типа
Спектральная теорема и полиномиальное исчисление
Спектральный анализ оператора в линейном пространстве
Предварительные сведения и определения
Некоторые факты из алгебры полиномов
Алгебра операторных полиномов
Минимальный полином и инвариантные подпространства. Основная теорема
Структура нильпотентного оператора
Вещественные псевдоевклидовы и евклидовы пространства
Метрическая форма
Ковариантные и контравариантные координаты вектора
Геометрия вещественного евклидова пространства
Комплексное евклидово пространство
Основные неравенства
Ортогональность и ортонормированный базис
Операторы
Инвариантные подпространства эрмитовых операторов и спектральное разложение
Унитарные операторы. Спектральное представление
Квадратичные формы в вещественном линейном пространстве
Функции Многих Переменных
Функции па нормированном пространстве
Нормированное пространство. Множества в нормированном пространстве
Непрерывные скалярные (числовые) функции на нормированных пространствах
Вектор-функции и оператор-функции
Естественная нормировка пространств линейных форм и операторов
Непрерывные функции на нормированных пространствах
Линейное нормированное пространство непрерывных вектор-функций на компакте
Дифференцирование функций многих переменных
Дифференцируемые функции
Старшие производные и дифференциалы
Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных
Условный экстремум
Методы решения нелинейных уравнений. Теоремы существования
Принцип сжатых отображений
Метод Ньютона
Существование обратной функции
Теорема о неявной функции
Интегрирование
Объем и мера Лебега
Интеграл Лебега
Свойства интеграла Лебега
Общее понятие меры. Произведение мер. Сведение кратного интеграла к повторному
Замена переменных в кратном интеграле
Дифференциальные формы в области
Тензорные поля. Формы. Внешнее дифференцирование
Замена переменных в полилинейных переменных формах (тензорных полях)
Ориентация вещественного линейного пространства и форма объема, в ориентированном вещественном евклидовом пространстве
Ориентация псевдоевклидова пространства и операция дополнения антисимметрической формы
Теория поля в евклидовом пространстве
Интегрирование дифференциальных форм по области
Цепи, границы и формулы интегрирования по частям
Точные и замкнутые формы в области. Лемма Пуанкаре
Уравнения Максвелла
Дифференцируемые многообразия
Элементарное многообразие (клетка) и тензорные поля на нем
Ориентация клетки и риманова метрика
Интегрирование формы по клетке. Граница клетки и формула Стокса — Пуанкаре
Гладкие многообразия и многообразия с краем
Циклы и границы. Независимость интеграла от пути
Приложения дифференциальных форм к теории функций комплексной переменной. Интеграл Коши и теорема о вычетах
Теория возмущений конечномерных операторов
Вычисление обратного оператора и резольвенты. Интегрирование резольвенты по циклам
Спектральная теория возмущений
Поправки к собственным числам и собственным векторам.