/ В. Н. Гордеев. – Киев: Издательство "Сталь", 2016. – 316 с. ISBN
978-617-676-099-3
В этой книге описан математический аппарат, позволяющий
оцифровывать перемещения твердых тел в трехмерном пространстве и на
этой основе решать задачи формообразования и механического расчета
криволинейных пространственных конструкций. Объектами описанного
математического аппарата являются кватернионы и бикватернионы, по
ряду причин не нашедшие достойного применения при решении
технических задач. Это отчасти объясняется тем, что кватернионы и
бикватернионы не изучаются в технических вузах и трактуются как
гиперкомплексные числа, не понятные инженеру.
Автор попытался в этой книге изложить материал языком, привычным для инженера, даже не упоминая о гиперкомплексных числах. Книга построена как расширенное справочное пособие по векторам, винтам, кватернионам и бикватернионам. Полные доказательства приведенных утверждений в ней опущены, а даются лишь пояснения, необходимые для понимания. Приводятся примеры применения кватернионов и бикватенионов в кинематике твердого тела, сферической геометрии, механике гибких валов, расчете изделий из первоначально изогнутой проволоки, в формообразовании криволинейных стержней.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников, желающих поновому подойти к формообразованию и расчету пространственных конструкций со сложной геометрией, а также для специалистов, занимающихся программированием трехмерной графики и компьютерной анимации. УДК 512.623.282.2:[514.123+531.1]:624.014.07
ББК 22.14+22.15+38.1 Оглавление
Предисловие .
. Векторы .
.. Основные понятия .
.. Операции над векторами .
.. Использование объекта Леви-Чивиты .
.. Векторное представление ориентации твердого тела .
.. Кинематические уравнения .
. Кватернионы .
.. Основные понятия .
.. Операции над кватернионами .
.. Представление кватернионов матрицами .
.. Кватернионные функции .
.. Дифференцирование кватернионных функций .
.. Кватернионные функции вещественной переменной .
.. Представление нормированных кватернионов на поверхности сферы .
.. Кватернионное представление ориентации твердого тела .
.. Связь с другими методами представления ориентации тела .
.. Кинематические уравнения .
.. Интерполяция кватернионов .
. Винты .
.. Дуальные числа .
.. Скользящие векторы .
.. Основные сведения о винтах .
.. Операции над винтами .
.. Винты в косоугольной дуальной системе координат .
.. Винтовое представление положения твердого тела .
. Бикватернионы .
.. Основные понятия .
.. Операции над бикватернионами .
.. Аналитические функции бикватерниона .
.. Разложение бикватерниона по заданной оси .
.. Производные дуальных функций бикватерниона .
.. Определение производного бикватерниона по моментной части .
.. Бикватернионное представление положения твердого тела .
.. Кинематические уравнения .
.. Использование бикватернионов общего вида .
. Сферическая геометрия .
.. Системы координат .
.. Формулы перехода от одной системы координат к другой .
.. Расстояния между точками на сфере .
.. Углы между большими окружностями на сфере .
.. Контуры на сфере .
.. Длина контура и площадь поверхности сферы, ограниченная контуром .
.. Круговые контуры .
.. Полигоны на сфере .
.. Замыкание полигона на сфере .
.. Правильный многоугольник на сфере .
.. Соотношение углов в сферическом треугольнике .
.. Разгонка невязок .
. Механика гибких валов .
.. Использование всех компонентов кватернионов и бикватернионов .
.. Описание модели гибкого вала .
.. Бикватернионы исходного и деформированного состояния гибкого вала .
.. Наращивание гибкого вала как сложение перемещений .
.. Скорость движения твердого тела и локальная форма гибкого вала .
.. Бикватернион перемещений .
.. Бикватернион деформаций .
.. Геометрические уравнения .
.. Бикватернион внутренних усилий .
.. Статические уравнения .
.. Физические уравнения .
.. Краевая задача .
. Механика упругой проволоки .
.. Постановка задачи .
.. Размеры и координаты .
.. Бикватернионное представление формы проволоки .
.. Исходная естественная форма проволоки .
.. Бикватернион перемещений .
.. Бикватернион деформаций .
.. Геометрические уравнения .
.. Бикватернион внутренних усилий .
.. Статические уравнения .
.. Физические уравнения .
.. Некоторые предварительные итоги .
.. Метод усилий .
.. Метод перемещений .
.. Задача оптимального управления и принцип максимума Понтрягина .
.. Условия трансверсальности при линейных ограничениях .
.. Принцип максимума Понтрягина для бикватерниона перемещений .
.. Принцип максимума Понтрягина для собственного бикватерниона .
.. Принцип максимума Понтрягина для других кватернионов .
.. Обычные краевые условия .
.. Проволока, пропущенная сквозь втулку .
. Формообразование криволинейных стержней .
.. Геометрия криволинейного стержня .
.. Самолетная аналогия .
.. Решение задачи о движении самолета .
.. Зависимости для координатной системы, связанной с пропеллером .
.. Формообразование криволинейного стержня .
.. Кривизна и кручение оси стержня .
.. Примитивы .
.. Стержни с осью периодической формы .
.. Стержни с осью, лежащей на поверхности сферы .
.. Стержни экзотической формы .
.. Тонкостенные стержни из листовых заготовок .
Послесловие .
. Приложения .
.. Аналитические функции кватернионного аргумента .
.. Дифференциалы для некоторых аналитических функций .
.. Кватернионы элементарных поворотов .
.. Аналитические функции дуального аргумента .
.. Аналитические функции бикватернионного аргумента .
Литература .
Автор попытался в этой книге изложить материал языком, привычным для инженера, даже не упоминая о гиперкомплексных числах. Книга построена как расширенное справочное пособие по векторам, винтам, кватернионам и бикватернионам. Полные доказательства приведенных утверждений в ней опущены, а даются лишь пояснения, необходимые для понимания. Приводятся примеры применения кватернионов и бикватенионов в кинематике твердого тела, сферической геометрии, механике гибких валов, расчете изделий из первоначально изогнутой проволоки, в формообразовании криволинейных стержней.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников, желающих поновому подойти к формообразованию и расчету пространственных конструкций со сложной геометрией, а также для специалистов, занимающихся программированием трехмерной графики и компьютерной анимации. УДК 512.623.282.2:[514.123+531.1]:624.014.07
ББК 22.14+22.15+38.1 Оглавление
Предисловие .
. Векторы .
.. Основные понятия .
.. Операции над векторами .
.. Использование объекта Леви-Чивиты .
.. Векторное представление ориентации твердого тела .
.. Кинематические уравнения .
. Кватернионы .
.. Основные понятия .
.. Операции над кватернионами .
.. Представление кватернионов матрицами .
.. Кватернионные функции .
.. Дифференцирование кватернионных функций .
.. Кватернионные функции вещественной переменной .
.. Представление нормированных кватернионов на поверхности сферы .
.. Кватернионное представление ориентации твердого тела .
.. Связь с другими методами представления ориентации тела .
.. Кинематические уравнения .
.. Интерполяция кватернионов .
. Винты .
.. Дуальные числа .
.. Скользящие векторы .
.. Основные сведения о винтах .
.. Операции над винтами .
.. Винты в косоугольной дуальной системе координат .
.. Винтовое представление положения твердого тела .
. Бикватернионы .
.. Основные понятия .
.. Операции над бикватернионами .
.. Аналитические функции бикватерниона .
.. Разложение бикватерниона по заданной оси .
.. Производные дуальных функций бикватерниона .
.. Определение производного бикватерниона по моментной части .
.. Бикватернионное представление положения твердого тела .
.. Кинематические уравнения .
.. Использование бикватернионов общего вида .
. Сферическая геометрия .
.. Системы координат .
.. Формулы перехода от одной системы координат к другой .
.. Расстояния между точками на сфере .
.. Углы между большими окружностями на сфере .
.. Контуры на сфере .
.. Длина контура и площадь поверхности сферы, ограниченная контуром .
.. Круговые контуры .
.. Полигоны на сфере .
.. Замыкание полигона на сфере .
.. Правильный многоугольник на сфере .
.. Соотношение углов в сферическом треугольнике .
.. Разгонка невязок .
. Механика гибких валов .
.. Использование всех компонентов кватернионов и бикватернионов .
.. Описание модели гибкого вала .
.. Бикватернионы исходного и деформированного состояния гибкого вала .
.. Наращивание гибкого вала как сложение перемещений .
.. Скорость движения твердого тела и локальная форма гибкого вала .
.. Бикватернион перемещений .
.. Бикватернион деформаций .
.. Геометрические уравнения .
.. Бикватернион внутренних усилий .
.. Статические уравнения .
.. Физические уравнения .
.. Краевая задача .
. Механика упругой проволоки .
.. Постановка задачи .
.. Размеры и координаты .
.. Бикватернионное представление формы проволоки .
.. Исходная естественная форма проволоки .
.. Бикватернион перемещений .
.. Бикватернион деформаций .
.. Геометрические уравнения .
.. Бикватернион внутренних усилий .
.. Статические уравнения .
.. Физические уравнения .
.. Некоторые предварительные итоги .
.. Метод усилий .
.. Метод перемещений .
.. Задача оптимального управления и принцип максимума Понтрягина .
.. Условия трансверсальности при линейных ограничениях .
.. Принцип максимума Понтрягина для бикватерниона перемещений .
.. Принцип максимума Понтрягина для собственного бикватерниона .
.. Принцип максимума Понтрягина для других кватернионов .
.. Обычные краевые условия .
.. Проволока, пропущенная сквозь втулку .
. Формообразование криволинейных стержней .
.. Геометрия криволинейного стержня .
.. Самолетная аналогия .
.. Решение задачи о движении самолета .
.. Зависимости для координатной системы, связанной с пропеллером .
.. Формообразование криволинейного стержня .
.. Кривизна и кручение оси стержня .
.. Примитивы .
.. Стержни с осью периодической формы .
.. Стержни с осью, лежащей на поверхности сферы .
.. Стержни экзотической формы .
.. Тонкостенные стержни из листовых заготовок .
Послесловие .
. Приложения .
.. Аналитические функции кватернионного аргумента .
.. Дифференциалы для некоторых аналитических функций .
.. Кватернионы элементарных поворотов .
.. Аналитические функции дуального аргумента .
.. Аналитические функции бикватернионного аргумента .
Литература .