М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953. — 280 с.
Основные задачи для линейных уравнений гиперболического типа — это
задача Коши и смешанная задача. Трудность этих задач и достигнутые
в отношении их решения результаты совершенно различны. Это видно
хотя бы на примере волнового уравнения в обычном трехмерном
пространстве. Задача Коши решается в замкнутом виде при помощи
формулы Пуассона, и анализ решения может быть проведен совершенно
элементарно. Иное положение до последнего времени было в отношении
смешанной задачи. Никаких общих результатов, касающихся решения
задачи для областей произвольной формы, не было. В частности, не
был теоретически оправдан известный метод Фурье. Тем самым не был
выяснен вопрос о том, какой гладкости надо требовать от данных
задачи и границы области для существования решения.
Задача Коши для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами с большой полнотой и общностью исследована в работах С. Л. Соболева. Более ранние работы по этому вопросу принадлежат Адамару и Шаудеру. Существенным моментом в работах С. Л. Соболева было применение идей и методов теории функций вещественного переменного и функционального анализа к постановке и решению задачи Коши. При этом широко применялись обобщенные частные производные, обобщенные решения уравнений с частными производными и замена искомых функций функционалами. С. Л. Соболеву принадлежит также идея введения обобщенных решений и для решения смешанной задачи в случае волнового уравнения с использованием для этого метода Фурье. Все это естественно поставило в порядок дня общую проблему о решении смешанной задачи для линейных уравнений гиперболического типа с переменными коэффициентами. Эта проблема привлекла большое внимание участников семинара по математической физике в Ленинградском университете. По этому вопросу был проведен целый ряд докладов.
Наиболее общие результаты были получены О. А. Ладыженской. Изложению этих результатов и посвящена в основном настоящая книга. Только в последней главе книги излагаются с некоторыми дополнениями результаты Шаудера по смешанной задаче. Они мало эффективны по существу и, кроме того, дают решение лишь на достаточно малом промежутке изменения временной координаты.
Смешанная задача для линейных гиперболических уравнений с произвольными коэффициентами решена О. А. Ладыженской с помощью метода конечных разностей. Этот метод позволил получить так называемое обобщенное решение задачи при весьма малых ограничениях на данные задачи. Затем автор исследует дифференциальные свойства полученного обобщенного решения в зависимости от гладкости данных задачи, их согласованности и гладкости границы области. Это дает возможность, используя известные теоремы вложения С. Л. Соболева и В. И. Кондрашева, указать условия, при которых получается классическое решение смешанной задачи.
Вторым методом, который исследован автором, является преобразование Лапласа. Рассматриваются линейные уравнения с коэффициентами, не зависящими от времени, и с помощью преобразования Лапласа строится классическое решение задачи при соответствующих условиях.
Преобразование Лапласа сводит задачу к задаче Дирихле для уравнения эллиптического типа. С помощью метода конечных разностей строится обобщенное решение этой задачи и исследуются дифференциальные свойства этого решения.
Задача Коши для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами с большой полнотой и общностью исследована в работах С. Л. Соболева. Более ранние работы по этому вопросу принадлежат Адамару и Шаудеру. Существенным моментом в работах С. Л. Соболева было применение идей и методов теории функций вещественного переменного и функционального анализа к постановке и решению задачи Коши. При этом широко применялись обобщенные частные производные, обобщенные решения уравнений с частными производными и замена искомых функций функционалами. С. Л. Соболеву принадлежит также идея введения обобщенных решений и для решения смешанной задачи в случае волнового уравнения с использованием для этого метода Фурье. Все это естественно поставило в порядок дня общую проблему о решении смешанной задачи для линейных уравнений гиперболического типа с переменными коэффициентами. Эта проблема привлекла большое внимание участников семинара по математической физике в Ленинградском университете. По этому вопросу был проведен целый ряд докладов.
Наиболее общие результаты были получены О. А. Ладыженской. Изложению этих результатов и посвящена в основном настоящая книга. Только в последней главе книги излагаются с некоторыми дополнениями результаты Шаудера по смешанной задаче. Они мало эффективны по существу и, кроме того, дают решение лишь на достаточно малом промежутке изменения временной координаты.
Смешанная задача для линейных гиперболических уравнений с произвольными коэффициентами решена О. А. Ладыженской с помощью метода конечных разностей. Этот метод позволил получить так называемое обобщенное решение задачи при весьма малых ограничениях на данные задачи. Затем автор исследует дифференциальные свойства полученного обобщенного решения в зависимости от гладкости данных задачи, их согласованности и гладкости границы области. Это дает возможность, используя известные теоремы вложения С. Л. Соболева и В. И. Кондрашева, указать условия, при которых получается классическое решение смешанной задачи.
Вторым методом, который исследован автором, является преобразование Лапласа. Рассматриваются линейные уравнения с коэффициентами, не зависящими от времени, и с помощью преобразования Лапласа строится классическое решение задачи при соответствующих условиях.
Преобразование Лапласа сводит задачу к задаче Дирихле для уравнения эллиптического типа. С помощью метода конечных разностей строится обобщенное решение этой задачи и исследуются дифференциальные свойства этого решения.