Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с.
Теория узлов играет видную роль в современной математике. Наиболее
яркие результаты в этой теории были получены в последние несколько
десятилетий. Одним из важных открытий в теории узлов является
предложенная Луисом Кауфманом в 1996 году теория виртуальных узлов.
Настоящая монография посвящена современному состоянию теории узлов
с особенным уклоном в сторону виртуальных узлов. Целью настоящей
монографии является описание основных конструкций современной
теории узлов и ознакомление читателя с передним краем научных
исследований в этой области. С другой стороны, первые несколько
глав содержат все основные понятия "старой теории узлов" с полными
и подробными доказательствами, так что книга будет полезна не
только профессионалам, но и начинающим. В настоящей книге мы
описываем как "старую" теорию узлов, так и новейшие результаты.
Центральное место в книге занимает теория виртуальных узлов,
предложенная Луисом Кауфманом. Болыпая часть книги посвящена
результатам автора в теории виртуальных узлов.Книга разделена на
тематические части. Первая из них описывает достижения в теории
узлов, предгпествующие инвариантам Васильева. Вторая часть
посвящена теории кос. Третья часть посвящена теории инвариантов
Васильева. Четвертая глава посвящена способу кодирования узлов
посредством атомов и d-диаграмм, предложенному автором. Пятая —
центральная — часть книги посвящена теории виртуальных узлов,
предложенной Кауфманом. Последняя часть содержит введение в теорию
инвариантов трехмерных многообразий — инвариантов
Виттена-Регпетихина-Тураева. Математический материал подан
достаточно замкнуто; монография является вполне доступной для
широкого круга читателей, желающих ознакомиться с современным
состоянием теории узлов "от самого начала". Она полезна для
специалистов по теории узлов, алгебраической топологии,
комбинаторике, теории представлений групп и алгебр Ли.
Оглавление.
Предисловие.
Предисловие автора.
Узлы, зацепления и инвариантные полиномы.
Введение.
Движения Рейдемейстера и арифметика узлов.
Зацепления в двумерных поверхностях в R.
3. Простейшие инварианты зацеплений.
Фундаментальная группа.
Дистрибутивные группоиды и алгебры Конвея.
Подход Кауфмана к полиному Джонса.
Полином Джонса. Комплекс Хованова.
Теория кос.
Косы, зацепления и представления.
Косы и зацепления.
Алгоритмы распознавания кос.
Теорема Маркова.
Инварианты Васильева.
Основные понятия.
Алгебра хордовых диаграмм.
Интеграл Концевича.
Атомы и d-диаграммы.
Атомы, высотные атомы и узлы.
Скобочная полугруппа узлов.
Виртусшьные узлы.
Основные определения.
Инвариантные полиномы виртуальных узлов.
Обобщения полинома Джонса—Кауфмана.
Комплекс Хованова для виртуальных узлов.
Длинные виртуальные узлы.
Виртуальные косы.
Другие теории.
Трехмерные многообразия и узлы.
Лежандровы узлы и их инварианты.
Независимость преобразований Рейдемейстера.
Инварианты Васильева виртуальных зацеплений.
Подход Гусарова-Поляка-Виро.
Подход Кауфмана.
Некоторые наблюдения.
Инварианты Васильева виртуальных зацеплений.
Инварианты Васильева, происходящие от S.
Алгоритмическое распознавание виртуальных зацеплений.
Энергия узла.
Максимумы критических коэффициентов полинома Джонса—Кауфмана.
Вычисление значений функции Fi.
Нерешенные проблемы в теории узлов.
Таблица узлов.
Литература.
Предметный указатель.
Предисловие.
Предисловие автора.
Узлы, зацепления и инвариантные полиномы.
Введение.
Движения Рейдемейстера и арифметика узлов.
Зацепления в двумерных поверхностях в R.
3. Простейшие инварианты зацеплений.
Фундаментальная группа.
Дистрибутивные группоиды и алгебры Конвея.
Подход Кауфмана к полиному Джонса.
Полином Джонса. Комплекс Хованова.
Теория кос.
Косы, зацепления и представления.
Косы и зацепления.
Алгоритмы распознавания кос.
Теорема Маркова.
Инварианты Васильева.
Основные понятия.
Алгебра хордовых диаграмм.
Интеграл Концевича.
Атомы и d-диаграммы.
Атомы, высотные атомы и узлы.
Скобочная полугруппа узлов.
Виртусшьные узлы.
Основные определения.
Инвариантные полиномы виртуальных узлов.
Обобщения полинома Джонса—Кауфмана.
Комплекс Хованова для виртуальных узлов.
Длинные виртуальные узлы.
Виртуальные косы.
Другие теории.
Трехмерные многообразия и узлы.
Лежандровы узлы и их инварианты.
Независимость преобразований Рейдемейстера.
Инварианты Васильева виртуальных зацеплений.
Подход Гусарова-Поляка-Виро.
Подход Кауфмана.
Некоторые наблюдения.
Инварианты Васильева виртуальных зацеплений.
Инварианты Васильева, происходящие от S.
Алгоритмическое распознавание виртуальных зацеплений.
Энергия узла.
Максимумы критических коэффициентов полинома Джонса—Кауфмана.
Вычисление значений функции Fi.
Нерешенные проблемы в теории узлов.
Таблица узлов.
Литература.
Предметный указатель.