Перевод с английского X. Д. Икрамова и Ю. А. Кузнецова. Москва,
«Мир», 1983. - 382 с.
Книга известного американского специалиста по вычислительной алгебре, содержащая систематическое описание численных методов решения задач на собственные значения. В ней представлены важные разделы, недостаточно полно освещенные в литературе на русском языке —полная теория метода Ланцоша, методы одновременных итераций и др. Для чтения не требуется высокой математической подготовки Для математиков-вычислителей, инженеров, решающих задачи алгебры на ЭВМ.
Редакция литературы по математическим наукам. Научный редактор К. Г. Батаев.
Оглавление.
Предисловие к русскому изданию.
Предисловие.
Введение.
Основные сведения о самосопряженных матрицах.
Введение.
Евклидово пространство.
Собственные значения.
Самосопряженные матрицы.
Квадратичные формы.
Матричные нормы.
Обобщенная проблема собственных значений.
Задачи, помехи и средства.
Что мало? Что велико?
Задачи.
Противоречивые требования.
Арифметика конечной точности.
Взаимное уничтожение.
Анализ скалярного произведения.
Можно ли находить малые собственные значения с малой относительной ошибкой?
Существующие программы.
Длительность вычислений.
Другие виды машинной архитектуры.
Количество собственных значений.
Треугольное разложение.
Анализ ошибок треугольного разложения.
Деление спектра.
Связь с последовательностями Штурма.
Методы деления пополам и секущих.
Скрытые собственные значения.
Характеристический многочлен.
Простые векторные итерации.
Собственные векторы матриц ранга 1.
Прямая и обратная итерация.
Преимущества плохо обусловленной системы.
Сходимость н ортогональность.
Простые оценки ошибок.
Итерация с отношением Рэлея.
Локальная сходимость.
Монотонность невязок.
Глобальная сходимость.
Исчерпывание.
Исчерпывание вычитанием.
Исчерпывание посредством сужения.
Исчерпывание посредством подобных преобразований.
Полезные ортогональные матрицы. (Орудия ремесла. ).
Важность ортогональности.
Перестановки.
Отражения (или симметрии).
Плоские вращения.
Распространение ошибки в последовательности ортогональных конгруэнций.
Обратный анализ ошибок.
QR-разложение и' процесс Грама—Шмидта.
Быстрые масштабированные вращения.
Ортогонализация в условиях округлений.
Трехдиагональная форма.
Введение.
Единственность приведения.
Минимальные характеристики.
Явное приведение заполненной матрицы.
Приведение ленточной матрицы.
Кажущаяся неустойчивость.
Собственные значения — простые.
Ортогональные многочлены.
Собственные векторы Т.
Последовательность Штурма.
Когда можно пренебречь внедиагональным элементом.
Обратные задачи на собственные значения.
Алгоритмы QR в QL.
Введение.
QL-преобразование.
Сохранение ширины ленты.
Связь между алгоритмами QL н QR.
QL, степенной метод н обратная итерация.
Сходимость основного QL-алгоритма.
Отношение Релея как сдвиг.
Внедиагональные элементы.
Оценка невязки при сдвиге по Уилкинсону.
Трехдиагональный QL-алгоритм сходится всегда.
Асимптотическая скорость сходимости.
Трехдиагональный QL-алгоритм с явными сдвигами.
Вытеснение выступа.
Сдвиги на любой случай.
Как избавиться от квадратных корней.
QL-алгоритм для ленточных матриц.
Методы Якоби.
Вращение плоскости.
Вращения Якоби.
Сходимость.
Различные стратегии.
Асимптотически квадратичная сходимость.
Оценка методов Якоби.
Оценки для собственных значений.
Теорема Коши о разделении.
Минимаксные характеризации.
Теорема о монотонности.
Теорема о разделении с учетом невязок.
Оптимальные интервалы Леманна.
Использование оценок для отсутствующей подматрицы.
Использование лакун в спектре.
Аппроксимации из подпространства.
Подпространства и их представление.
Инвариантные подпространства.
Процедура Релея —Ритца.
Оптимальность.
Оценки через невязку для очень близких значений Ритца.
Оценок для векторов Ритца через невязки не существует.
Отделенность в спектре.
Сжатие невязки.
Априорные оценки для внутренних аппроксимаций Ритца.
Неортогональные базисы.
Теорема о расширении.
Подпространства Крылова.
Введение.
Основные свойства.
Полиномиальные представления.
Оценки Каниэля и Саада для ошибок.
Сравнение со степенным методом.
Частичное приведение к трехдиагональному виду.
Алгоритмы метода Ланцоша.
Подпространства Крылова + процедура Релея — Ритца = метод Ланцоша.
Оценивание точности.
Влияние арифметики с конечной точностью.
Теорема Пэжа.
Альтернативная формула для Ру.
Сходимость вызывает потерю ортогональности.
Сохранение ортогональности.
Выборочная ортогонализация.
Анализ выборочной ортогонализации.
Ленточный (или блочный) алгоритм Ланцоша.
Итерирование подпространства.
Введение.
Реализации.
Усовершенствования.
Сходимость.
Секционные методы.
Обобщенная линейная проблема собственных значений.
Введение.
Симметрии недостаточно.
Одновременная диагонализация двух квадратичных форм.
Явное приведение к стандартной форме.
Приведение Фикса — Хайбергера.
QZ-алгоритм.
Обобщенный метод Якоби.
Неявное приведение к стандартной форме.
Простые векторные итерации.
Аппроксимации Релея — Ритца.
Алгоритмы Ланцоша.
Итерирование подпространства.
Практические соображения.
Приложение - Элементарные матрицы и матрицы ранга единица.
Приложение - Многочлены Чебышева.
Литература.
Аннотированная библиография.
Обозначения.
Именной указатель.
Предметный указатель.
Книга известного американского специалиста по вычислительной алгебре, содержащая систематическое описание численных методов решения задач на собственные значения. В ней представлены важные разделы, недостаточно полно освещенные в литературе на русском языке —полная теория метода Ланцоша, методы одновременных итераций и др. Для чтения не требуется высокой математической подготовки Для математиков-вычислителей, инженеров, решающих задачи алгебры на ЭВМ.
Редакция литературы по математическим наукам. Научный редактор К. Г. Батаев.
Оглавление.
Предисловие к русскому изданию.
Предисловие.
Введение.
Основные сведения о самосопряженных матрицах.
Введение.
Евклидово пространство.
Собственные значения.
Самосопряженные матрицы.
Квадратичные формы.
Матричные нормы.
Обобщенная проблема собственных значений.
Задачи, помехи и средства.
Что мало? Что велико?
Задачи.
Противоречивые требования.
Арифметика конечной точности.
Взаимное уничтожение.
Анализ скалярного произведения.
Можно ли находить малые собственные значения с малой относительной ошибкой?
Существующие программы.
Длительность вычислений.
Другие виды машинной архитектуры.
Количество собственных значений.
Треугольное разложение.
Анализ ошибок треугольного разложения.
Деление спектра.
Связь с последовательностями Штурма.
Методы деления пополам и секущих.
Скрытые собственные значения.
Характеристический многочлен.
Простые векторные итерации.
Собственные векторы матриц ранга 1.
Прямая и обратная итерация.
Преимущества плохо обусловленной системы.
Сходимость н ортогональность.
Простые оценки ошибок.
Итерация с отношением Рэлея.
Локальная сходимость.
Монотонность невязок.
Глобальная сходимость.
Исчерпывание.
Исчерпывание вычитанием.
Исчерпывание посредством сужения.
Исчерпывание посредством подобных преобразований.
Полезные ортогональные матрицы. (Орудия ремесла. ).
Важность ортогональности.
Перестановки.
Отражения (или симметрии).
Плоские вращения.
Распространение ошибки в последовательности ортогональных конгруэнций.
Обратный анализ ошибок.
QR-разложение и' процесс Грама—Шмидта.
Быстрые масштабированные вращения.
Ортогонализация в условиях округлений.
Трехдиагональная форма.
Введение.
Единственность приведения.
Минимальные характеристики.
Явное приведение заполненной матрицы.
Приведение ленточной матрицы.
Кажущаяся неустойчивость.
Собственные значения — простые.
Ортогональные многочлены.
Собственные векторы Т.
Последовательность Штурма.
Когда можно пренебречь внедиагональным элементом.
Обратные задачи на собственные значения.
Алгоритмы QR в QL.
Введение.
QL-преобразование.
Сохранение ширины ленты.
Связь между алгоритмами QL н QR.
QL, степенной метод н обратная итерация.
Сходимость основного QL-алгоритма.
Отношение Релея как сдвиг.
Внедиагональные элементы.
Оценка невязки при сдвиге по Уилкинсону.
Трехдиагональный QL-алгоритм сходится всегда.
Асимптотическая скорость сходимости.
Трехдиагональный QL-алгоритм с явными сдвигами.
Вытеснение выступа.
Сдвиги на любой случай.
Как избавиться от квадратных корней.
QL-алгоритм для ленточных матриц.
Методы Якоби.
Вращение плоскости.
Вращения Якоби.
Сходимость.
Различные стратегии.
Асимптотически квадратичная сходимость.
Оценка методов Якоби.
Оценки для собственных значений.
Теорема Коши о разделении.
Минимаксные характеризации.
Теорема о монотонности.
Теорема о разделении с учетом невязок.
Оптимальные интервалы Леманна.
Использование оценок для отсутствующей подматрицы.
Использование лакун в спектре.
Аппроксимации из подпространства.
Подпространства и их представление.
Инвариантные подпространства.
Процедура Релея —Ритца.
Оптимальность.
Оценки через невязку для очень близких значений Ритца.
Оценок для векторов Ритца через невязки не существует.
Отделенность в спектре.
Сжатие невязки.
Априорные оценки для внутренних аппроксимаций Ритца.
Неортогональные базисы.
Теорема о расширении.
Подпространства Крылова.
Введение.
Основные свойства.
Полиномиальные представления.
Оценки Каниэля и Саада для ошибок.
Сравнение со степенным методом.
Частичное приведение к трехдиагональному виду.
Алгоритмы метода Ланцоша.
Подпространства Крылова + процедура Релея — Ритца = метод Ланцоша.
Оценивание точности.
Влияние арифметики с конечной точностью.
Теорема Пэжа.
Альтернативная формула для Ру.
Сходимость вызывает потерю ортогональности.
Сохранение ортогональности.
Выборочная ортогонализация.
Анализ выборочной ортогонализации.
Ленточный (или блочный) алгоритм Ланцоша.
Итерирование подпространства.
Введение.
Реализации.
Усовершенствования.
Сходимость.
Секционные методы.
Обобщенная линейная проблема собственных значений.
Введение.
Симметрии недостаточно.
Одновременная диагонализация двух квадратичных форм.
Явное приведение к стандартной форме.
Приведение Фикса — Хайбергера.
QZ-алгоритм.
Обобщенный метод Якоби.
Неявное приведение к стандартной форме.
Простые векторные итерации.
Аппроксимации Релея — Ритца.
Алгоритмы Ланцоша.
Итерирование подпространства.
Практические соображения.
Приложение - Элементарные матрицы и матрицы ранга единица.
Приложение - Многочлены Чебышева.
Литература.
Аннотированная библиография.
Обозначения.
Именной указатель.
Предметный указатель.