Место и год издания не указаны. — 160 с.
В любом из учебных экономических курсов в той или иной мере
используется математический аппарат: анализируются графики
зависимостей, обрабатываются статистические данные, ставятся и
решаются задачи рационального выбора и т.д. Все это требует
глубокого знания высшей математики.
Данный курс состоит из следующих частей: аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения. Лекции содержат большое количество примеров.
Представленный курс позволяет студенту любой формы обучения глубоко усвоить высшую математику. Лекционный материал является основой для изучения учебных дисциплин «Теория вероятностей и математическая статистика», «Оптимизационные методы и модели», «Эконометрия», спецкурсов по экономико-математическому моделированию. Введение. Аналитическая геометрия
Простейшие задачи аналитической геометрии.
Система прямоугольных координат на плоскости и в пространстве. Числовая ось. Координаты точки.
Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении.
Преобразование координат.
Прямая линия на плоскости.
Уравнение линии на плоскости.
Уравнения прямой.
Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности.
Основные формулы, связанные с прямой на плоскости.
Неравенства, задающие полуплоскости.
Экономические задачи, использующие уравнение прямой.
Линии второго порядка.
Общее уравнение линии второго порядка.
Окружность и ее уравнение.
Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет.
Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты. Эксцентриситет.
Каноническое уравнение параболы. Линейная алгебра
Арифметические n-мерные векторные пространства. Векторы и действия над ними. Понятие векторного пространства.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Понятие линейной зависимости и независимости векторов.
Системы линейных уравнений.
Понятия линейного уравнения и системы линейных уравнений.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Решение разных задач Методом Гаусса.
Применение метода Гаусса к задачам линейной зависимости систем векторов.
Индекс цен и индекс инфляции. Ортогональные векторы.
Базис пространства Rn.
Разложение векторов по базису Rn.
Матрицы.
Общие сведения о матрицах.
Перемножение матриц и его свойства.
Матрицы и системы линейных уравнений.
Матричная запись системы линейных уравнений.
Обратная, вырожденная и невырожденная матрицы.
Метод Жордана-Гаусса решения матричных уравнений.
Решение системы с помощью обратной матрицы n×n
Определители.
Определители второго и третьего порядков.
Определители порядка n.
Свойства определителей.
Применение определителей.
Геометрические применения определителей.
Определитель и обратная матрица.
Формулы Крамера для системы линейных уравнений n×n. Математический анализ
Теория пределов Понятие функции.
Числовая функция и ее график.
Способы задания функции.
Понятия обратной и сложной функции.
Элементарные функции.
Предел числовой последовательности.
Числовая последовательность и ее предел.
Свойства и правила нахождения пределов последовательностей.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Число e.
Предел функции.
Определение предела функции.
Свойства и правила нахождения пределов функций.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Замечательные пределы. Сравнение функций. Эквивалентные функции.
Непрерывность функции.
Точки непрерывности и точки разрыва функции.
Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных функций. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции в точке.
Определение производной и ее физический смысл.
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
Правила дифференцирования. Производная обратной и сложной функций.
Производная и дифференциал.
Производные элементарных функций.
Дифференциал.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Производная и экономические задачи.
Предельные величины в экономике.
Эластичность и ее свойства.
Ценовая эластичность спроса.
Распределение налогового бремени.
Теоремы связанные с понятием производной.
Теоремы о промежуточных значениях.
Раскрытие основных неопределенностей по правилам Лопиталя.
Раскрытие неопределенностей, не относящихся к основным.
Применение производных к исследованию функций
Производные высших порядков.
Монотонность функции.
Экстремум функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Построение графика функции
Выпуклость кривых.
Асимптоты.
Схема исследования функции и построение ее графика. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Функции многих переменных.
Понятие функции многих переменных.
Предел и непрерывность функции многих переменных.
Дифференцирование функций многих переменных.
Частные производные.
Полный дифференциал и дифференцируемость функции.
Эластичность функции многих переменных.
Частные производные высших порядков.
Экстремум функции двух переменных.
Производная по направлению.
Локальный экстремум функции двух переменных и его необходимые условия.
Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Производная по направлению.
Градиент.
Метод наименьших квадратов
Суть метода наименьших квадратов.
Расчет параметров линейной функциональной зависимости методом наименьших квадратов. Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Методы интегрирования.
Интегрирование методом замены переменной.
Метод интегрирования по частям.
Интегрирование некоторых классов функций.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Определенный интеграл.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Понятие определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
Методы определенного интегрирования.
Метод замены переменной в определенном интеграле.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
Несобственные интегралы.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.
Вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.
Вычисления длины кривой с помощью определенного интеграла. Ряды Числовые ряды.
Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов (радикальный и интегральный признаки Коши, признак сравнения, признак Д’Аламбера).
Степенные ряды.
Знакопеременные ряды.
Степенные ряды.
Ряды Маклорена и Тейлора.
Разложение в ряды элементарных функцій.
Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Частные решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Заключение
Литература
Данный курс состоит из следующих частей: аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения. Лекции содержат большое количество примеров.
Представленный курс позволяет студенту любой формы обучения глубоко усвоить высшую математику. Лекционный материал является основой для изучения учебных дисциплин «Теория вероятностей и математическая статистика», «Оптимизационные методы и модели», «Эконометрия», спецкурсов по экономико-математическому моделированию. Введение. Аналитическая геометрия
Простейшие задачи аналитической геометрии.
Система прямоугольных координат на плоскости и в пространстве. Числовая ось. Координаты точки.
Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении.
Преобразование координат.
Прямая линия на плоскости.
Уравнение линии на плоскости.
Уравнения прямой.
Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности.
Основные формулы, связанные с прямой на плоскости.
Неравенства, задающие полуплоскости.
Экономические задачи, использующие уравнение прямой.
Линии второго порядка.
Общее уравнение линии второго порядка.
Окружность и ее уравнение.
Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет.
Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты. Эксцентриситет.
Каноническое уравнение параболы. Линейная алгебра
Арифметические n-мерные векторные пространства. Векторы и действия над ними. Понятие векторного пространства.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Понятие линейной зависимости и независимости векторов.
Системы линейных уравнений.
Понятия линейного уравнения и системы линейных уравнений.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Решение разных задач Методом Гаусса.
Применение метода Гаусса к задачам линейной зависимости систем векторов.
Индекс цен и индекс инфляции. Ортогональные векторы.
Базис пространства Rn.
Разложение векторов по базису Rn.
Матрицы.
Общие сведения о матрицах.
Перемножение матриц и его свойства.
Матрицы и системы линейных уравнений.
Матричная запись системы линейных уравнений.
Обратная, вырожденная и невырожденная матрицы.
Метод Жордана-Гаусса решения матричных уравнений.
Решение системы с помощью обратной матрицы n×n
Определители.
Определители второго и третьего порядков.
Определители порядка n.
Свойства определителей.
Применение определителей.
Геометрические применения определителей.
Определитель и обратная матрица.
Формулы Крамера для системы линейных уравнений n×n. Математический анализ
Теория пределов Понятие функции.
Числовая функция и ее график.
Способы задания функции.
Понятия обратной и сложной функции.
Элементарные функции.
Предел числовой последовательности.
Числовая последовательность и ее предел.
Свойства и правила нахождения пределов последовательностей.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Число e.
Предел функции.
Определение предела функции.
Свойства и правила нахождения пределов функций.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Замечательные пределы. Сравнение функций. Эквивалентные функции.
Непрерывность функции.
Точки непрерывности и точки разрыва функции.
Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных функций. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции в точке.
Определение производной и ее физический смысл.
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
Правила дифференцирования. Производная обратной и сложной функций.
Производная и дифференциал.
Производные элементарных функций.
Дифференциал.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Производная и экономические задачи.
Предельные величины в экономике.
Эластичность и ее свойства.
Ценовая эластичность спроса.
Распределение налогового бремени.
Теоремы связанные с понятием производной.
Теоремы о промежуточных значениях.
Раскрытие основных неопределенностей по правилам Лопиталя.
Раскрытие неопределенностей, не относящихся к основным.
Применение производных к исследованию функций
Производные высших порядков.
Монотонность функции.
Экстремум функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Построение графика функции
Выпуклость кривых.
Асимптоты.
Схема исследования функции и построение ее графика. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Функции многих переменных.
Понятие функции многих переменных.
Предел и непрерывность функции многих переменных.
Дифференцирование функций многих переменных.
Частные производные.
Полный дифференциал и дифференцируемость функции.
Эластичность функции многих переменных.
Частные производные высших порядков.
Экстремум функции двух переменных.
Производная по направлению.
Локальный экстремум функции двух переменных и его необходимые условия.
Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Производная по направлению.
Градиент.
Метод наименьших квадратов
Суть метода наименьших квадратов.
Расчет параметров линейной функциональной зависимости методом наименьших квадратов. Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Методы интегрирования.
Интегрирование методом замены переменной.
Метод интегрирования по частям.
Интегрирование некоторых классов функций.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Определенный интеграл.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Понятие определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
Методы определенного интегрирования.
Метод замены переменной в определенном интеграле.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
Несобственные интегралы.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.
Вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.
Вычисления длины кривой с помощью определенного интеграла. Ряды Числовые ряды.
Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов (радикальный и интегральный признаки Коши, признак сравнения, признак Д’Аламбера).
Степенные ряды.
Знакопеременные ряды.
Степенные ряды.
Ряды Маклорена и Тейлора.
Разложение в ряды элементарных функцій.
Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Частные решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Заключение
Литература