Учебное пособие. — Минск : Выш. шк., 2012. — 391 с. : ил. — ISBN
978-985-06-2106-1.
Есть OCR-слой и интерактивное оглавление. Содержится материал по классическим разделам курса высшей математики.
Даны решения типовых задач и разнообразные приложения рассматриваемого материала в экономике.
Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям.
Может быть полезно магистрантам и преподавателям, читающим одноименный курс. Авторы: Е. А. Ровба, А. С. Ляликов, Е. А. Сетько, К. А. Смотрицкий. Содержание
Предисловие.
Введение.
Базовые понятия математики.
Представление о математической логике. Общее понятие множества. Числовые множества.
Декартова система координат.
Декартовы координаты на прямой. Декартовы координаты на плоскости. Декартовы координаты в пространстве.
Метод математической индукции.
Дедукция и индукция в математике. Суммы и прогрессии. Произведения и факториалы. Бином Ньютона.
Линейная алгебра.
Матрицы и определители.
Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Определители низших порядков. Определители произвольного порядка. Свойства определителей. Элементарные преобразования. Обратная матрица. Матричные уравнения. Ранг матрицы.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Основные понятия. Матричный метод. Метод Крамера. Метод Гаусса. Критерий Кронекера-Капелли. Экономическая модель Леонтьева.
Векторная алгебра.
Векторы в пространстве. Алгебраическое описание вектора. Скалярное произведение векторов. n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Базис пространства. Ортогональные системы векторов. Собственные векторы и собственные значения.
Аналитическая геометрия.
Прямая на плоскости.
Простейшие задачи. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Составление уравнений прямых. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Кривые второго порядка.
Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Кривые второго порядка со смещенным центром.
Предел последовательности и функции.
Числовая последовательность.
Понятие числовой последовательности. Предел последовательности. Бесконечно малые последовательности. Бесконечно большие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности. Непрерывное начисление процентов.
Функциональная зависимость.
Понятие функции. Способы задания функции. Понятия обратной и сложной функций. Элементарные функции. Основные характеристики функций. Построение графиков функций. Функциональная зависимость в экономике.
Предел функции. Два замечательных предела.
Предел функции по Гейне. Предел функции по Коши. Односторонние пределы. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.
Непрерывные функции.
Непрерывность функции в точке. Теоремы о непрерывных в точке функциях. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Раскрытие неопределенностей. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Производная функции.
Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функций. Логарифмическая производная. Производная неявной функции. Производные высших порядков. Применение производной в экономике.
Дифференцируемость функции.
Понятие дифференцируемости функции в точке. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
Правило Лопиталя. Понятие о формуле Тейлора.
Правило Лопиталя. Понятие о формуле Тейлора.
Исследование функции с помощью производной.
Условие постоянства функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклые функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций.
Теория интегрирования.
Неопределенный интеграл.
Первообразная. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Простейшие методы интегрирования.
Интегрирование некоторых классов функций.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Тригонометрические интегралы.
Определенный интеграл.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении. Необходимое условие интегрируемости функции. Достаточные условия интегрируемости. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Приложения определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции. Длина дуги кривой. Объем тела вращения. Использование понятия определенного интеграла в экономике.
Несобственные интегралы.
Обобщение понятия определенного интеграла. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования. Интегралы от неограниченных функций.
Дифференцирование функций двух переменных.
Функция двух переменных. Дифференциал.
Определения. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Частные производные. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость и дифференциал. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент. Производственная функция Кобба-Дугласа.
Экстремум функции двух переменных.
Локальный экстремум. Глобальный экстремум. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Экстремум выпуклых функций. Функция полезности.
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Общее дифференциальное уравнение первого порядка. Составление дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Решение уравнений первого порядка.
Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли. [i]
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
[i] Уравнения второго порядка. Общие понятия. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера решения однородного уравнения. Решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Метод нахождения частного решения неоднородного уравнения со специальной правой частью. Приложение уравнений второго порядка в экономике.
Ряды.
Числовые ряды.
Понятие числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Приложения рядов в экономике.
Функциональные ряды.
Основные определения. Область сходимости. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена. Рекомендуемая литература.
Предметный указатель.
Список основных обозначений.
Есть OCR-слой и интерактивное оглавление. Содержится материал по классическим разделам курса высшей математики.
Даны решения типовых задач и разнообразные приложения рассматриваемого материала в экономике.
Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям.
Может быть полезно магистрантам и преподавателям, читающим одноименный курс. Авторы: Е. А. Ровба, А. С. Ляликов, Е. А. Сетько, К. А. Смотрицкий. Содержание
Предисловие.
Введение.
Базовые понятия математики.
Представление о математической логике. Общее понятие множества. Числовые множества.
Декартова система координат.
Декартовы координаты на прямой. Декартовы координаты на плоскости. Декартовы координаты в пространстве.
Метод математической индукции.
Дедукция и индукция в математике. Суммы и прогрессии. Произведения и факториалы. Бином Ньютона.
Линейная алгебра.
Матрицы и определители.
Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Определители низших порядков. Определители произвольного порядка. Свойства определителей. Элементарные преобразования. Обратная матрица. Матричные уравнения. Ранг матрицы.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Основные понятия. Матричный метод. Метод Крамера. Метод Гаусса. Критерий Кронекера-Капелли. Экономическая модель Леонтьева.
Векторная алгебра.
Векторы в пространстве. Алгебраическое описание вектора. Скалярное произведение векторов. n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Базис пространства. Ортогональные системы векторов. Собственные векторы и собственные значения.
Аналитическая геометрия.
Прямая на плоскости.
Простейшие задачи. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Составление уравнений прямых. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Кривые второго порядка.
Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Кривые второго порядка со смещенным центром.
Предел последовательности и функции.
Числовая последовательность.
Понятие числовой последовательности. Предел последовательности. Бесконечно малые последовательности. Бесконечно большие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности. Непрерывное начисление процентов.
Функциональная зависимость.
Понятие функции. Способы задания функции. Понятия обратной и сложной функций. Элементарные функции. Основные характеристики функций. Построение графиков функций. Функциональная зависимость в экономике.
Предел функции. Два замечательных предела.
Предел функции по Гейне. Предел функции по Коши. Односторонние пределы. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.
Непрерывные функции.
Непрерывность функции в точке. Теоремы о непрерывных в точке функциях. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Раскрытие неопределенностей. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Производная функции.
Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функций. Логарифмическая производная. Производная неявной функции. Производные высших порядков. Применение производной в экономике.
Дифференцируемость функции.
Понятие дифференцируемости функции в точке. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
Правило Лопиталя. Понятие о формуле Тейлора.
Правило Лопиталя. Понятие о формуле Тейлора.
Исследование функции с помощью производной.
Условие постоянства функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклые функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций.
Теория интегрирования.
Неопределенный интеграл.
Первообразная. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Простейшие методы интегрирования.
Интегрирование некоторых классов функций.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Тригонометрические интегралы.
Определенный интеграл.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении. Необходимое условие интегрируемости функции. Достаточные условия интегрируемости. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Приложения определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции. Длина дуги кривой. Объем тела вращения. Использование понятия определенного интеграла в экономике.
Несобственные интегралы.
Обобщение понятия определенного интеграла. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования. Интегралы от неограниченных функций.
Дифференцирование функций двух переменных.
Функция двух переменных. Дифференциал.
Определения. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Частные производные. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость и дифференциал. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент. Производственная функция Кобба-Дугласа.
Экстремум функции двух переменных.
Локальный экстремум. Глобальный экстремум. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Экстремум выпуклых функций. Функция полезности.
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Общее дифференциальное уравнение первого порядка. Составление дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Решение уравнений первого порядка.
Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли. [i]
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
[i] Уравнения второго порядка. Общие понятия. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера решения однородного уравнения. Решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Метод нахождения частного решения неоднородного уравнения со специальной правой частью. Приложение уравнений второго порядка в экономике.
Ряды.
Числовые ряды.
Понятие числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Приложения рядов в экономике.
Функциональные ряды.
Основные определения. Область сходимости. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена. Рекомендуемая литература.
Предметный указатель.
Список основных обозначений.