Шпоры по теоретической механике
Способы задания движения точки.
Определение скорости точки при задании ее движения векторным способом
Определение скорости точки при задании ее естественным способом.
Проекция на касательную к траектории.
Определение точки при задании ее координатным способом.
Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат.
Годограф скорости точки и его уравнения.
Прямолинейное движение, скорость и ускорение
Графическое представление закона движения точки
Уравнения движения точки в декартовых координатах
Гармонические колебания
Разложение скорости
Скорость в круговом движении. Угловая скорость
Закон равномерного, равнопеременного криволинейного движения
Секторная скорость
Выражение скорости в криволинейных координатах
Разложение ускорения по осям естественного трехгранника
Кривизна кривой. Радиус кривизны.
Проекции скоростей в ортогональной криволинейной системе координат
Ускорение точки в криволинейной системе координат
Скорость и ускорение точки в цилиндрической системе координат
Скорость и ускорение в сферической системе координат
Определение скорости точки в полярной системе координат
Поступательное движение твердого тела.
Теорема о перемещении тела, имеющего одну неподвижную точку. Угловая скорость тела.
Угловая скорость и угловое ускорение.
Аксоиды мгновенных осей.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Векторное выражение вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорения
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения.
Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс.
Теорема об ускорении точек плоской фигуры и ее следствие.
План скоростей.
Мгновенный центр скоростей, способы нахождения МЦС.
Теорема о центре поворота для конечного перемещения плоской фигуры. Теорема Шаля
теорема Эйлера – Далламбера
Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью МЦС.
Мгновенный центр ускорений.
Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.
Относительное, переносное и абсолютное движения точки.
Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры.
Полная и относительная производная от вектора
Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Примеры.
Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса.
Ускорение Кориолиса.
Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей.
Определение ускорений точек плоской фигуры при известном положении МЦУ.
Способы определения углового ускорения при плоском движении твердого тела.
Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей.
Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки
В какой плоскости расположено ускорение точки и чему равны его проекции на естественные координатные оси?
Что характеризуют собой касательное и нормальное ускорения точки?
При каком движении точки равно нулю касательное ускорение и при каком нормальное ускорение?
Подвижные и неподвижные центроиды
Напишите теорему Штейнера
Сложение мгновенных, угловых и поступательных скоростей
Сложные поступательные движения
Винтовое движение
Движение снаряда задано уравнениями:
Где - постоянные величины.
Найти радиус кривизны траектории при 0 и в момент падения на землю.
Движение точки задано в полярных координатах уравнениями r=aekt и φ=kt, где a и k – заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиус-вектора r.
Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость 2π рад/с; сделав 10 оборотов, оно вследстивие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение ε колеса, считая его постоянным.
Найти радиус кривизны при траекторию точки описывающей фигуру Лиссажу согласно уравнениям
Линейка эллипсографа скользит концом В по оси Ох, концом А- по оси Оу, АВ= 20 см. Определить скорость и ускорение точки А в момент, когда угол φ наклона линейки к оси Ох= 300 , а проекции скорости и ускорения точки В на ось х равны VBx20см/с, WBx = - 10 см/с2
Угловая скорость тела ω=7 рад/с, мгновенная ось его составляет в данный момент с неподвижными координатными осями острые углы α, β и γ. Найти величину скорости υ и проекции ее на координатные оси для точек тела, координаты которой, выраженные в метрах, в данный момент равны 0, 2, 0, а также расстояние d этой точки от мгновенной оси, если cosα=2/7, cos γ=6/7.
Решение:
Стрела АВ поворотного крана вращается вокруг оси О1О2 с постоянной угловой скоростью ω. По горизонтальной стреле от А к В движется тележка с постоянной скоростью ν
Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент тележка находилась на оси О1О2.
Дифференциальная передача состоит из двух дисков АВ и DE, центры которых находятся на их общей оси вращения; эти диски сжимают колесо MN,ось которого HI перпендикулярна оси дисков. Определить для колеса MN скорость Ѵ центра Н и угловую скорость вращения вокруг оси HI, если скорости точек касания колеса с дисками равны: радиус колеса r=0,05 м.
Ответ: Ѵ=0,5м/c,
Кривошип O1C длинной a/2 вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси O
В точке C с кривошипом шарнирно связана линейка AB, проходящая все время через качающуюся муфту O, находящуюся на расстоянии a/2 от оси вращения O1.
Приняв точку O за полюс, найти в полярных координатах уравнения движения точки M линейки, отстоящей от шарнира C на расстоянии, ее траекторию, скорость и ускорение (в начальный момент угол ).
Лента прибора, служащего для записи колебательных движений, движется по направлению Ох со скоростью 2 м/сек. Колеблющееся вдоль оси Оу тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой АВ = 2,5 см, а длина О1С = 8 см. Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что точка О синусоиды соответствует положению тела при t =
Ответ: у = 2,5 sin (50 t) см.
Длина шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма в два раза больше длины кривошипа ОА. Определить положение точки шатуна АВ, ускорение которой направлено вдоль шатуна, в момент, когда кривошип перпендикулярен к направляющей ползуна; кривошип ОА вращается равномерно.
Конец двойного маятника описывает фигуру Лиссажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний: x = asin2ωt , y = asinωt. Найти уравнение траектории.
Маховое колесо радиуса R = 2м вращается равноускоренно из состояния покоя; через t = 10 с точки, лежащие на ободе, обладают линейной скоростью v = 100м/с. Найти скорость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для момента t = 15 с.
Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизонтальному участку со скоростью м/с, причем кузов совершает на рессорах гармонические колебания с амплитудой a=0,008 м и периодом Т=0,5 с. Найти уравнение траектории центра т яжести кузова, если его среднее расстояние от полотна дороги h=1,5 м. При t=0 центр тяжести находится в среднем положении, и скорость колебания направлена вверх. Ось направить горизонтально по полотну в сторону движения, ось -вертикально вверх через положение центра тяжести при t=0.
При движении диска радиуса r=20 см в вертикальной плоскости ху его центр С движется согласно уравнениям xc=10t м, yc=(100-4,9t2) м .При этом диск, с постоянной угловой скоростью оси С, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной угловой скоростью рад/с. Определить в момент времени t=0 скорость точки А, лежащей на ободе диска. Положение точки А на диске определяется углом , отсчитываемым от вертикали против хода часовой стрелки.
Кривошип ОА длины 20 см вращается равномерно с угловой скоростью ω0 = 10 рад/с и приводит в движение шатун АВ длины 100 см; ползун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также ускорение ползуна В в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью углы α = 45° и β = 45°.
Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению х = t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению y = 1.5t (x и y – в метрах, t – в секундах). Цепь укорачивается со скоростью v=0.5 м /с. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Oxy; ось Oz направлена вертикально вверх.
Решение:
Движение точки задано уравнением x=2t y=t² (t – в секундах y – в сантиметрах) определить величины направления скорости и ускорения точки в момент времени t =1
Дано: уравнения движения точки в плоскости ху: , ; 1 с.
Найти: уравнение траектории точки; скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны траектории в момент .
Дано: Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону ; 1 с.
Найти: скорость и ускорение точки в момент .
Точка М движется относительно пластины. Уравнение относительного движения т. М: (см). Уравнение движения тела (рад). t=1 с; b=12 см.
Найти: Для заданного момента времени определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение т.М.
Берега реки параллельны; лодка вышла из точки А и, держа курс перпендикулярно берегам, достигла противоположного берега через 10 мин после отправления. При этом она попала в точку С, лежащую на 120 м ниже точки А по течению реки. Чтобы, двигаясь с прежней относительной скоростью, попасть из точки А в точку В, лежащую на прямой АВ, перпендикулярной берегам, лодке надо держать курс под некоторым углом к прямой АВ и против течения; в этом случае лодка достигает противоположного берега через 12,5 мин. Определить ширину реки ι, относительную скорость u лодки по отношению к воде и скорость v течения реки.
Железнодорожный поезд движется равномерно со скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к последнему вагону, срывается с кронштейна. Определить траекторию абсолютного движения фонаря и длину пути s, если фонарь находится на высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное положение фонаря, ось Ox – горизонтально в сторону движения поезда, ось Oy – вертикально вниз
Проволочная окружность вращается в своей плоскости относительно неподвижного шарнира О с постоянной угловой скоростью .Как будет двигаться точка М пересечения этой окружности с неподвижной окружностью того же радиуса R,проходящей также через шарнир О?
Способы задания движения точки.
Определение скорости точки при задании ее движения векторным способом
Определение скорости точки при задании ее естественным способом.
Проекция на касательную к траектории.
Определение точки при задании ее координатным способом.
Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат.
Годограф скорости точки и его уравнения.
Прямолинейное движение, скорость и ускорение
Графическое представление закона движения точки
Уравнения движения точки в декартовых координатах
Гармонические колебания
Разложение скорости
Скорость в круговом движении. Угловая скорость
Закон равномерного, равнопеременного криволинейного движения
Секторная скорость
Выражение скорости в криволинейных координатах
Разложение ускорения по осям естественного трехгранника
Кривизна кривой. Радиус кривизны.
Проекции скоростей в ортогональной криволинейной системе координат
Ускорение точки в криволинейной системе координат
Скорость и ускорение точки в цилиндрической системе координат
Скорость и ускорение в сферической системе координат
Определение скорости точки в полярной системе координат
Поступательное движение твердого тела.
Теорема о перемещении тела, имеющего одну неподвижную точку. Угловая скорость тела.
Угловая скорость и угловое ускорение.
Аксоиды мгновенных осей.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Векторное выражение вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорения
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения.
Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс.
Теорема об ускорении точек плоской фигуры и ее следствие.
План скоростей.
Мгновенный центр скоростей, способы нахождения МЦС.
Теорема о центре поворота для конечного перемещения плоской фигуры. Теорема Шаля
теорема Эйлера – Далламбера
Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью МЦС.
Мгновенный центр ускорений.
Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.
Относительное, переносное и абсолютное движения точки.
Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры.
Полная и относительная производная от вектора
Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Примеры.
Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса.
Ускорение Кориолиса.
Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей.
Определение ускорений точек плоской фигуры при известном положении МЦУ.
Способы определения углового ускорения при плоском движении твердого тела.
Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей.
Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки
В какой плоскости расположено ускорение точки и чему равны его проекции на естественные координатные оси?
Что характеризуют собой касательное и нормальное ускорения точки?
При каком движении точки равно нулю касательное ускорение и при каком нормальное ускорение?
Подвижные и неподвижные центроиды
Напишите теорему Штейнера
Сложение мгновенных, угловых и поступательных скоростей
Сложные поступательные движения
Винтовое движение
Движение снаряда задано уравнениями:
Где - постоянные величины.
Найти радиус кривизны траектории при 0 и в момент падения на землю.
Движение точки задано в полярных координатах уравнениями r=aekt и φ=kt, где a и k – заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиус-вектора r.
Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость 2π рад/с; сделав 10 оборотов, оно вследстивие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение ε колеса, считая его постоянным.
Найти радиус кривизны при траекторию точки описывающей фигуру Лиссажу согласно уравнениям
Линейка эллипсографа скользит концом В по оси Ох, концом А- по оси Оу, АВ= 20 см. Определить скорость и ускорение точки А в момент, когда угол φ наклона линейки к оси Ох= 300 , а проекции скорости и ускорения точки В на ось х равны VBx20см/с, WBx = - 10 см/с2
Угловая скорость тела ω=7 рад/с, мгновенная ось его составляет в данный момент с неподвижными координатными осями острые углы α, β и γ. Найти величину скорости υ и проекции ее на координатные оси для точек тела, координаты которой, выраженные в метрах, в данный момент равны 0, 2, 0, а также расстояние d этой точки от мгновенной оси, если cosα=2/7, cos γ=6/7.
Решение:
Стрела АВ поворотного крана вращается вокруг оси О1О2 с постоянной угловой скоростью ω. По горизонтальной стреле от А к В движется тележка с постоянной скоростью ν
Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент тележка находилась на оси О1О2.
Дифференциальная передача состоит из двух дисков АВ и DE, центры которых находятся на их общей оси вращения; эти диски сжимают колесо MN,ось которого HI перпендикулярна оси дисков. Определить для колеса MN скорость Ѵ центра Н и угловую скорость вращения вокруг оси HI, если скорости точек касания колеса с дисками равны: радиус колеса r=0,05 м.
Ответ: Ѵ=0,5м/c,
Кривошип O1C длинной a/2 вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси O
В точке C с кривошипом шарнирно связана линейка AB, проходящая все время через качающуюся муфту O, находящуюся на расстоянии a/2 от оси вращения O1.
Приняв точку O за полюс, найти в полярных координатах уравнения движения точки M линейки, отстоящей от шарнира C на расстоянии, ее траекторию, скорость и ускорение (в начальный момент угол ).
Лента прибора, служащего для записи колебательных движений, движется по направлению Ох со скоростью 2 м/сек. Колеблющееся вдоль оси Оу тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой АВ = 2,5 см, а длина О1С = 8 см. Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что точка О синусоиды соответствует положению тела при t =
Ответ: у = 2,5 sin (50 t) см.
Длина шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма в два раза больше длины кривошипа ОА. Определить положение точки шатуна АВ, ускорение которой направлено вдоль шатуна, в момент, когда кривошип перпендикулярен к направляющей ползуна; кривошип ОА вращается равномерно.
Конец двойного маятника описывает фигуру Лиссажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний: x = asin2ωt , y = asinωt. Найти уравнение траектории.
Маховое колесо радиуса R = 2м вращается равноускоренно из состояния покоя; через t = 10 с точки, лежащие на ободе, обладают линейной скоростью v = 100м/с. Найти скорость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для момента t = 15 с.
Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизонтальному участку со скоростью м/с, причем кузов совершает на рессорах гармонические колебания с амплитудой a=0,008 м и периодом Т=0,5 с. Найти уравнение траектории центра т яжести кузова, если его среднее расстояние от полотна дороги h=1,5 м. При t=0 центр тяжести находится в среднем положении, и скорость колебания направлена вверх. Ось направить горизонтально по полотну в сторону движения, ось -вертикально вверх через положение центра тяжести при t=0.
При движении диска радиуса r=20 см в вертикальной плоскости ху его центр С движется согласно уравнениям xc=10t м, yc=(100-4,9t2) м .При этом диск, с постоянной угловой скоростью оси С, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной угловой скоростью рад/с. Определить в момент времени t=0 скорость точки А, лежащей на ободе диска. Положение точки А на диске определяется углом , отсчитываемым от вертикали против хода часовой стрелки.
Кривошип ОА длины 20 см вращается равномерно с угловой скоростью ω0 = 10 рад/с и приводит в движение шатун АВ длины 100 см; ползун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также ускорение ползуна В в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью углы α = 45° и β = 45°.
Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению х = t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению y = 1.5t (x и y – в метрах, t – в секундах). Цепь укорачивается со скоростью v=0.5 м /с. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Oxy; ось Oz направлена вертикально вверх.
Решение:
Движение точки задано уравнением x=2t y=t² (t – в секундах y – в сантиметрах) определить величины направления скорости и ускорения точки в момент времени t =1
Дано: уравнения движения точки в плоскости ху: , ; 1 с.
Найти: уравнение траектории точки; скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны траектории в момент .
Дано: Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону ; 1 с.
Найти: скорость и ускорение точки в момент .
Точка М движется относительно пластины. Уравнение относительного движения т. М: (см). Уравнение движения тела (рад). t=1 с; b=12 см.
Найти: Для заданного момента времени определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение т.М.
Берега реки параллельны; лодка вышла из точки А и, держа курс перпендикулярно берегам, достигла противоположного берега через 10 мин после отправления. При этом она попала в точку С, лежащую на 120 м ниже точки А по течению реки. Чтобы, двигаясь с прежней относительной скоростью, попасть из точки А в точку В, лежащую на прямой АВ, перпендикулярной берегам, лодке надо держать курс под некоторым углом к прямой АВ и против течения; в этом случае лодка достигает противоположного берега через 12,5 мин. Определить ширину реки ι, относительную скорость u лодки по отношению к воде и скорость v течения реки.
Железнодорожный поезд движется равномерно со скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к последнему вагону, срывается с кронштейна. Определить траекторию абсолютного движения фонаря и длину пути s, если фонарь находится на высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное положение фонаря, ось Ox – горизонтально в сторону движения поезда, ось Oy – вертикально вниз
Проволочная окружность вращается в своей плоскости относительно неподвижного шарнира О с постоянной угловой скоростью .Как будет двигаться точка М пересечения этой окружности с неподвижной окружностью того же радиуса R,проходящей также через шарнир О?