Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
центром в начале координат, а неравенство
, - внутренние точки круга,
границей которого является упомянутая окружность.
Кривые на комплексной плоскости наиболее удобно задавать параметрической зависимо-
стью
, где действительная и мнимая части комплексного числа высту-
пают как координаты точки линии. Наибольший интерес представляют гладкие кривые,
определяемые дифференцируемыми зависимостями
и кусочно-гладкие кривые,
являющиеся объединением нескольких гладких кривых.
Рисунок 3 Односвязная
, двусвязная
, и трехсвязная
области на комплексной плоскости
Областью на комплексной плоскости называется множество точек, любая пара который
может быть соединена линией, все точки которой принадлежат этому множеству, и любая
точка которого является центром открытого круга, все точки которого также принадлежат
исходному множеству. Область называют односвязной, если любая лежащая в ней замк-
нутая кривая может быть непрерывно, не пересекая границ области, деформирована в
точку (в противном случае область называют многосвязной, см. примеры на рис. 3)
Функции комплексной переменной
Интеграл от функции комплексной переменной
Функцией комплексной переменой называется отображение, сопоставляющее одному
комплексному числу другое комплексное число. Всюду ниже считается, что это отобра-
жение можно записать при помощи некоторой формулы
. Если каждая точка
комплексной плоскости переходит при отображении в различные точки другой комплекс-
ной плоскости, то такое отображение (или функция) называется однолистным.
Когда различные точки комплексной плоскости отображаются в одну и ту же точку дру-
гой комплексной плоскости, для придания отображению однозначности область значений
функции представляют в виде нескольких упорядоченных и соединенных друг с другом
комплексных плоскостей, - листов. Такие сложные области значений функции комплекс-
ной переменной называются римановыми поверхностями, а связанные с ними отображе-
ния, - многолистными отображениями или многозначными функциями. При работе с мно-
голистными отображениями необходимо указывать, на какой из листов римановой по-
верхности отображается рассматриваемая точка из области определения функции.
Так как комплексное число
определяется парой действительных чисел, - дей-
ствительной и мнимой частью, значение функции также можно записать при помощи двух
действительных функций двух действительных переменных (двух скалярных полей)
. Следующим шагом является установление ограничений, налагае-
мых на поля
,
, которые выделяют класс функций для которых справедлива
формула Ньютона - Лейбница.