Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
Для доказательства этого свойства в интегральной сумме достаточно сгруппировать сла-
гаемые, относящиеся к различным подобластям из рассматриваемого объединения в от-
дельные суммы, а затем перейти от интегральных сумм к соответствующим интегралам.
Двойной интеграл как объем прямого цилиндра
Приведенное определение двойного интеграла от гладкой функции двух переменных име-
ет простую геометрическую интерпретацию, - двойной интеграл от гладкой функции ра-
вен объему прямого цилиндра, в основании которого лежит область интегрирования, а те-
кущая высота определяется интегрируемой функцией. Эта интерпретация следует непо-
средственно из определения двойного интеграла через интегральную сумму, в которой
интерпретируется как объем элементарного прямоугольного параллелепи-
педа. Эта интерпретация двойного интеграла будет использоваться ниже при рассмотре-
нии тройного интеграла – интеграла по ограниченной области трехмерного пространства.
Вычисление двойного интеграла в ортогональных криволинейных координатах
Выше показано, что вычисление двойного интеграла в декартовых координатах проводит-
ся сведением к повторному интегралу. Простейший случай вычисления повторного инте-
грала реализуется тогда, когда область интегрирования является прямоугольником, сторо-
ны которого параллельны координатным осям
. В этом случае гра-
ницы в повторном интеграле являются константами и формула его вычисления принимает
вид
b
a
d
cG
dyyxfdxdxdyyxf ),(),(
.
Эта формула становится еще проще, если подынтегральная функция представляется в ви-
де
. Тогда двойной интеграл превращается в произведение двух опре-
деленных интегралов
d
c
b
a
b
a
d
c
dyyfdxxfdyyxfdx )()(),(
21
.
Использование криволинейных координат для вычисления двойного интеграла преследует
цель, свести вычисление по области с криволинейными границами к интегрированию по
прямоугольнику в новых координатах. Суть построения криволинейных координат состо-
ит в покрытии плоскости семействами линий, такими, что любая точка плоскости лежит
на пересечении единственной пары линий (в декартовых координатах любая точка плос-
кости лежит на пересечении единственной пары взаимно перпендикулярных прямых).
Из всего многообразия криволинейных координат выделяют криволинейные ортогональ-
ные координаты, которые образованы семействами линий, пересекающихся под прямым
углом, - углом между касательными векторами к линиям координатной сетки в точке их
пересечения. Важно понимать, что при работе с криволинейными координатами прихо-
дится иметь дело с локальными, зависящими от положения точки, векторами базиса.
Примером ортогональных криволинейных координат на плоскости являются полярные
координаты, которые образуют множество концентрических окружностей и множество
лучей, выходящих из центра окружностей. Любая точка плоскости лежит на пересечении
некоторой окружности и некоторого луча. Полярными координатами точки являются ра-
диус окружности, на которой расположена точка, и угол, задающий положение луча отно-
сительно некоторого опорного луча
. В наиболее распространенном случае взаимно-
го расположения полярных и декартовых координат центр концентрических окружностей
совмещают с началом декартовой системы координат, а опорный луч, - с положительной