Алешин Г.В. Оценка качества информационно-измерительных систем

121

C X X C C X X

p pN pi pi pi pi

iip

m

( ,..., ) [ ( )

1 0 0 0

1

= +

′

− +

∑∑∑

=

+ +

′

−

∑∑

C C X X

pj pj pj pj

j

0 0 0

( ),

где n

p1

и n

p2

- соответственно число прямо и обратно определенных параметров X

pi

и X

pj

, в канале р; m- число каналов.

Линейные ограничения позволяют получить более простые решения задач

оптимизации.

5.3. Решение задачи параметрического синтеза совмещенных

радиотехнических систем

Задачу, сформулированную в виде (5.9, 3.10), проще и результативней решать

поэтапно (шагами) методом вырожденного динамического программирования [6].

Для произвольной i-й группы параметров р-го канала, которые описывают дис-

персию ошибки измерений параметра сигнала, либо другой качественный показа-

тель, такое решение нетрудно определить. Для этого, используя двойственность

задачи, определим минимум стоимости F группы параметра канала, либо крите-

рия D

p

F D C C X X

pi P pi pi pi pi

ii

( ) min[ ( )]

1 0 0 0

= +

′

− =

∑∑

=

B n

D

p

p pi

i

n

p

A C

p

1

0

1

+

′

∏

=

при

A

X

D X

n C

A C

D

p

pi

i

n

p n opt

p pn

p pi

i

n

p

n

p

=

∏

≤ =

′

1

0

1

, ,

(5.11)

где

B C X

p pi

i

pi1 0 0

=

′

∑

.

Аналогично находится минимум для группы j любого канала р

122

F D C C X X

pi p opi opi pi opi

i

n

i

pi

( ) min[ ( )]

1

= +

′

− =

=

∑∑

= +

′

∏

=

B n

A

D

p p

p C

p

n

opi

i

n

p

1

{ }

X

pi

где

B C X

p opi opi

i

1

=

′

∑

.

Аналогично находится минимум для групп параметров j любого канала p

F D B C X B C D

pj p p opj pj p opj

j

n

p

j

n

p2p2

( ) min ( )

2 2 2

2

1

2

1

= +

′

− = −

′

==

∑∑

(5.12)

при

X D X C

D

C

pj p npjopt opj

p

opj

j

n

о

n

p2

2

1

≤ =

′

=

∑

,

где

B C C X

p opl opj opj

j

n

l

p2

2

1

= +

′

=

∑∑

.

Для несовмещенной системы, ввиду того, что каналы независимы и отсутст-

вуют общие блоки и элементы системы, минимальная стоимость системы опреде-

лится как сумма найденных минимумов ЦП.

F F D D D F

D F D

p p m i p j p

p

m

= = +

=

∑

( ,..., ,..., ) min [ ( ) ( )]

1 1 2

1

{ }

X D

pi pi

,

при

D D D

p p p1 2

+ =

F F D F D F D F D D

i p j p i

p opt j p p opt

p

m

p

m

= + = + −

==

∑∑

min[ ( ) ( )] [ ( ) ( )

1 2 1 10

11

(5.13)

{ }

X D

pi pi

,

D

p1

+D

p2

<D

123

где

D

n A C

C

A C

C

p

p p opi

i

n

opj

j

n

p opi

i

n

oj

j

n

p

p2

1

4

1

2

1

2

1

1 4

2

1

≅

+

′













′

−

′













′

=

∏

∑

∏

∑

. (5.14)

n

p

>>1.

В общем случае

D

p opt1

легко определить для любого n

p

методом Ньютона-

Рафсона по следующей итерационной формуле

D

D D

n n Q

Q

bD n

Q

p k

p

p k

b

p

n

p k

b

p

n

p

p2

p

p2

1

1 1

2

1

2

1 1

2 4

2

3 2

2

1

( )

,=

−

+

−

(5.15)

где

b

n

p

=

+

1

,

(5,16а)

Q n A C

n p p opi

i

n

p

1

=

′

=

∏

,

(5.16б)

Q C

n opj

j

n

p2

=

′

=

∑

2

1

,

(5.16в)

Таким образом, если

α =

Q

n

p

p2

1

2

, то решение упростится

124

D

p opt

p

1

1 4 1

≅

+ −α

α

. (5.17)

Из формул (5.15) получим

D

D D

n

bD

p k

p

p k

b

p

p k

b

1

1 1

2

1

1 1

2

3 2

2

( )

=

−

+

−

α

. (5.18)

Для совмещенных систем, когда хотя бы один передатчик является общим,

оптимальное решение (5.11, 5.12, 5.14) меняет свой вид. Для удобства обе части

выражений (5.2) для любого р можно поделить на предельно лучшее значение ка-

чественного показателя D

pпред

и нормировать выражение следующим образом

A X

D

p piп ед

i

n

p pi

i

n

p

p п ед

p

р

=

∏

≤

1

или

D

X

D

p п ед

pi

i

n

p

1

0

1

р

=

∏

≤

где

X

piп

едр

- значение функции для предельно достижимого технического пара-

метра;

D

p п ед

1 р

- предельно достижимая (потенциальная) при данном развитии

техники дисперсия ошибки измерений или предельное значение качественного

показателя

X

pi

piп ед

0

=

р

.

Здесь и далее под

X

pi

будут пониматься относительные величины "фазовых"

параметров

X

pi

0

, хотя не всегда нормирование (5.2) является целесообразным, на-

пример, при малом числе оптимизируемых параметров. Результат (5.11, 5.12,

5.14) при этом не изменится, нужно лишь при нормировании заменить Ар вели-

чиной

D

p п ед

1 р

. Тогда задачу можно записать в виде (5.19), учитывая нормировку

F и X

pj

, в выражении (5.10)

125

F B B C X C X

p p opi pi opj pj

j

n

i

n

p

m

p2p

= + +

′

−

′

===

∑∑∑

min [ ]

1 2

111

1

(5.19)

при

D

X

D

p п ед

pi

i

n

p

1

р

=

∏

≤

,

0 1≤ ≤X

pi

,

X D

pj p

j

n

p2

2

1

≤

=

∑

,

X

pjп ед pjр

≤ <<1

,

D D D

p p p1 2

+ ≤

∀ ∈p m[ , ]1

.

Пусть среди всех параметров группы i имеется К, а среди группы j имеется l

таких, которые описывают совмещенные блоки (например, блоки 1-6 на рис. 5.1).

При этом предполагается либо сигнальное совмещение, либо его отсутствие при

последовательном во временя использовании каналов. На формализацию задачи

это обстоятельство не сказывается. Поскольку К параметров группы i являются

общими в произведении

X

pi

i

n

p

=

∏

1

, обозначим их произведение буквой K

i

и назовем

его параметром совмещения группы i

K

i

=(

X

pi

i

k

=

∏

1

)

-1

(5.20)

Поскольку l параметров группы j также являются общими, их сумма обозна-

чается буквой L

j

. Назовем ее параметром совмещения группы j:

X L

pj j

j

l

2

1

≤

=

∑

. (5.21)

Учитывая обозначения (5.20), (5.21),ограничения к задаче (5.19) можно запи-

сать с разделенными переменными, что позволяет воспользоваться тем же мето-

дом решения

F B B C Xpi C X

p p opi

i

n

opj pj

j

n

p

m

p p2

= + +

′

−

′

= ==

∑ ∑∑

min [ ]

1 2

1 11

1

126

D

X

D

K

p п ед

pi

i

n

p

i

p

1

р

=

∏

≤

,

0 1≤ ≤X

pi

, (5.22)

X D L

pj

j

n l

p j

p2

=

−

∑

≤ −

1

2

,

X

pjп ед pjр

≤ <<1

,

∀ ∈ ∀ ∈i n j n

p p p p

[ , ], [ , ]1 1

1 2

,

1

X

K

i

k

i

=

∏

≤

- для параметров совмещенной части систем

X L

j

l

j

2

1=

∑

≤

.

Проделав первые шаги оптимизации (5.11, 5.12) и перенумеровав слагае-

мые, получим

F B B Q K Q D L Q K Q L

p p n k

i

n k

n l p k

i

k

l

p

m

p

p2

= + + − − + −

−

=

∑

1 2

1

2

1

min[ ( )]

5.23)

где

Q n k

D C

D

n k p

p п ед opi

i

n k

p

n k

p

1

−

=

−

= −

′

∏

( )

р

,

Q C

n l opj

j

n l

p2

−

=

−

=

′

∑

2

1

,

Q k C Q C

k oi

i

k

l oj

i

l

=

′

=

′

=

∏

∑

1

2

1

,

.

Предположим, что число оптимизируемых параметров n

p

в каналах оди-

наково, т.е., n

p1

=n. Тогда

F B B K Q K Q

p p

i

n k

p

m

i

k

p

= + + + −

−

=

−

∑

1 2

1

min(

Q D L Q L

n l p l

p

m

p1

2

1

−

=

− −

∑

)

(5.24)

Минимум по K

i

легко находится из выражения (5.24)

127

K

n k

k

Q

i

k

n k

p

m

n k

n

k

p

=

−













−

=

−

∑

1

( )

. (5.25)

При отыскании L

jopt

следует учесть то обстоятельство, что обычно на практи-

ке L<D

p2

, поскольку совмещенный блок как эталон для измерений представляет

собой задающий генератор, или стандарт частоты и т.п. Таким образом

L

Q

D

jopt

l

n l

p

m

p2

≅













−

=

∑

2

1

2

. (5.26)

Точнее L

iopt

можно определить из кубического уравнения

( )

L

Q

D D

L

Q

D

Q

n l

p p

n l

p

l

p

m

p

m

p2 p2

3

2 2 2

11

0

− −

==

+ − =

∑∑

( )

,

пользуясь решением Кардана. Минимальные ассигнования на совмещенную сис-

тему определяются из (5.24) с учетом (5.25, 5.26)

F B B

Q Q

d d

p p

k

d

n l

d

d d

p2

= + +

−

∑

1 2

1

( )

Q D

Q

D

Q Q

Q

D

n l p

n l

pi

l

p

m

l

n l

p

m

p2

−

=

−

=

∑ ∑

∑

− +

2

2 2

1

2

1

( )

.

(5.27)

Оптимальные технические

параметры находятся в следующем порядке.

Сначала определяются оптимальные параметры совмещения K

i

и L

j

,а затем

параметры совмещенной части системы по формулам (5.11, 5.12). Определив от-

ношение

D

K

p

i

2

, по тем же формулам легко определить остальные технические па-

раметры группы i, а зная разность

D L

p j2

−

, можно определить остальные техни-

ческие параметры группы j. По формулам (5.24) - (5.26) определяются также оп-

тимальные ассигнования на блоки системы. Если оптимальные параметры вышли

за пределы ограничений (5.22), то они фиксируются и задача решается снова для

128

остальных параметров. Для случая, когда n

н

=n

2i

=n

p1

, оптимальную величину па-

раметра K

i

совмещения группы i можно определить по итерационной формуле

K

Q

n k

K

n

n k

i q

k

n k

p

i q

p

m

p2

[ ]

( )

+

−

=

− −

∑

1

2

1

, (5.28)

где q -шаг итерации,

K

n k Q

kQ

i

p k

n k

p

[ ]

( )

.

1

=

−

Для лучшей сходимости при первом шаге целесообразно нумеровать кана-

лы в порядке убывания

Q

n k

p

p2

−

2

.

Далее можно определить оптимум F для р каналов, вводя ограничение

D

p1

+D

p2

≤

D

p

.

Очередными шагами несложно отыскать оптимум F также для всех ранее не-

оптимизируемых параметров, заложенных в коэффициенты Ар.

5.4. Обсуждение результатов

Как видно из приведенных выражений, параметрический синтез совмещен-

ных систем возможен для произвольного числа независимых измеряемых пара-

метров, каналов и ограничений. Полученные оптимальные решения могут позво-

лить оценивать оптимальные технические параметры и минимальные ассигнова-

ния на оптимизируемую часть системы в некоторой области

r

X

p

i j,

, если целевая

функция в (5.9) близка к гиперплоскости. При использовании решений в качестве

итерационных формул, если регулировать шаг приближения в зависимости от

кривизны ограничений

C X X

p pi pj

i j,

( , )

r r

оптимум определяется последовательно

для произвольных выпуклых ограничений, а также для выпукло-вогнутых и во-

гнутых функций, удовлетворяющих условиям (6.30). Среднее геометрическое уг-

ловых коэффициентов линий регрессии стоимости на параметры совмещенных

блоков обозначим C

1

oc

, а несовмещенных блоков - С

1

opн

, то

′

C

oc

=

′

=

∏

C

oi

i

k

1

,

′

=

′

=

−

∏

C C

opн opi

i

n k

1

,

Тогда нетрудно (5.24) заметить, что

129

F n C C

oc opa p

n

p

m

1

1 1

1

1=

′

+ −

′

− −

=

∑

exp[ ln ( )ln ]( )

( )

α α ε

α α

, (5.29)

где С

1

opa

- среднеарифметическое значение C

1

opн

по всем p

каналам

α =

k

n

,

ε

p

п ед

p

opн opa

opa

D

C C

C

= −

′ ′

′

−р

( ).

1

При увеличении

α

, или числа параметров совмещенных блоков k, ассигно-

вания F

1

, как и следовало ожидать, уменьшаются, поскольку

ε

p

<1 и экспоненци-

альный множитель также уменьшается при

′

≤

′

C C

oc opa

. Если же

′

C

oc

>

′

C

opa

, то

экспоненциальный множитель при увеличении

α

увеличивается. В этом случае

может существовать оптимальное число

α

, или число параметров совмещенных

блоков k. Оптимальный параметр

α

можно определить из уравнения

A x

p

x

p

x

p

x

p

m

p

m

ε ε ε+ =

==

∑∑

ln ,0

11

(5.30)

где

x

n

A

C

oc

opн

=

−

=

′

1

1( )

, ln .

α

Разлагая

ε

p

в ряд Тейлора в окрестности

δ

p

=1

для высококачественных

систем и оставляя лишь члены второго порядка малости, получим

x

A

B A

A

opt

m

opt

mn

=

+

= −

+

( )

,

( )

,

1

α

где

B

p

m

=

∑

ln .

1

ε

Оптимум имеет место для

A

B

mn B

≥

−

.

Таким образом, для исследования вопросов оптимальности совмещенных

систем большое значение имеет метод анализа эффективности совмещения. При-

мененный в работе метод определения оптимальности совмещения имеет то пре-

имущество, то он органически связан с параметрическим синтезом системы и

может дать практические рекомендации по более общим вопросам оптимизации

совмещенных систем.

130

В результате решения общей задачи оптимизации совмещенной системы

можно сделать следующие выводы:

- параметрический синтез совмещенной системы можно производить для ти-

повых многокритериальных систем с произвольным числом технических пара-

метров и независимых каналов измерения параметров движения и передачи ин-

формации;

- для каждой задачи параметрического синтеза, отличающейся хотя бы одним

ограничением или критерием, как численно, так и качественно, т.е. составом ог-

раничений, существуют свои оптимальные значения параметров, или оптималь-

ные решения, которые обращают целевую функцию (стоимость) в минимум;

- в случае, когда среднее геометрическое производных от стоимости по па-

раметру для совмещенных блоков меньше или равно среднему геометрическому

таких же производных для несовмещенных блоков, число совмещенных блоков

целесообразно по возможности увеличить, поскольку стоимость системы при

этом монотонно падает. В противном случае может иметь место определенный

выше оптимум числа параметров совмещенных блоков;

- в случае, когда число оптимизируемых параметров во всех каналах одина-

ково, задача имеет каноническое решение в аналитическом виде. В противном

случае решение для параметров совмещения отыскивается численными методами

по полученным итерационным формулам;

- полученные оптимальные решения позволяют производить инженерные

расчеты технических параметров системы при минимально необходимых ассиг-

нованиях на системы. Решения верны для достаточной близости линейных огра-

ничений реальным линиям регрессии стоимости на параметры;

- результаты решения можно использовать для произвольных ограничений,

если использовать применяемый в разделе 4 метод последовательных приближе-

ний для функций регрессии, удовлетворяющих условиям (6.30);

- решение задачи аналогично для оптимизации совмещенных двусторонних

систем, использующих простые и сложные сигналы, либо для систем другого

класса, если показатели качества систем формализуются таким же образом;

- задача вообще допускает поэтапное определение оптимальных параметров.

5.5. Оптимизация совмещенных радиотехнических систем по основным

тактико-техническим требованиям методом геометрического

программирования при полиномиальных зависимостях

стоимости от параметров

Рассмотрим вопросы оптимизации РТС по множеству критериев точности

измерений параметров движения летательных аппаратов, либо ошибок передачи

Алешин Г.В. Оценка качества информационно-измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.