Алешин Г.В. Оценка качества информационно-измерительных систем
Подождите немного. Документ загружается.
131
информации при существенном ограничении на стоимость системы и при поли-
номиальных зависимостях стоимости элементов от их параметров. Указанный
класс зависимостей является достаточно широким для практических применений.
Решение задач таким методом особенно эффективно при небольшом числе
оптимизируемых параметров. Хотя геометрическое программирование и упроща-
ет решение, представляя задачу в двойственном виде и сводя решение к решению
системы линейных уравнений, увеличение числа переменных приводит к росту
размерности матрицы веса, которую необходимо обращать.
Для задач большей степени трудности (по Зенеру) решение может быть по-
лучено лишь приближенно, но принципиально техническая задача всегда имеет
решение и его единственность для выпуклых ограничений показана [20] Кроме
того, решение может быть получено лишь в численном виде. Такое положение
нас бы устраивало, если бы полностью исключалась возможность получения ре-
шения в общем виде. Однако, такая возможность есть даже для геометрического
программирования. Для этого также необходима линеаризация ограничений по
стоимости в окрестности оптимального решения, что настолько упрощает задачу
(сводя ее к нулевой степени трудности), что решение также может быть получено
в общем виде.
Итак, проиллюстрируем решение рассмотренной задачи сепарабельного про-
граммирования методом геометрического программирования, что позволит нам
не только убедиться в справедливости полученного решения, но и взглянуть на
проблему с другой стороны, которая может иметь свои возможности в изучении
задач синтеза. Линеаризация ограничений хотя и ограничивает класс задач функ-
ционалами специального вида, но это более широкий класс, чем выпуклое про-
граммирование. Кроме того, линеаризация дает законченный результат в виде
формул и программ со всеми известными параметрами.
Итак, как и ранее (подраздел 5.2), предполагаем, что ограничение на ассиг-
нования существует и имеет смысл, поскольку имеется высокая корреляция
стоимости РГС и ее технических параметров, от которых зависят качественные
показатели РТС, в данном случае вектор дисперсий
r
D
p
ошибок оценки парамет-
ров и вероятностей ошибок передачи информации. Рассмотрим сначала однокри-
териальную задачу. В этом случае в соответствии с разделом 4
min min∆C C X
i i
i
n
=
′
=
∑
1
1
(5.32)
при
1 0
1
1
1
1
1
≥ >
−
=
∏
A
D
X X
i
i
n
i
, ,
(5.33)
132
где
∆C C C X
o oi oi
i
n
= −
′
=
∑
1
1
- приращение ассигнований на рассматриваемую часть
системы; Со - ассигнования на РТС, соответствующие вектору технических пара-
метров
X
o
;
′
=
=
C
C X
X
oi
i
X X
i oi
∂
∂
( )
/ ;
r
n
1
-число технических параметров
r
X
o
; A
1
, D
1
- постоянный коэффициент и дис-
персия оценки измеряемого параметра.
Формулы (5.32 - 5.34) описывают прямую задачу (5.32), вынужденные (5.33)
и естественные ограничения (5.34). Преддвойственная функция
∆С
∂
будет иметь
вид
∆ ∆С С
C A
D
X X
i
i
i
i
n
i
o
i
n
i
n
i
i
o
≥ =
′
−
= ==
∏ ∏∏
∂
δ
δ
λ
λ
δ
λ λ( ) ,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(5.35)
где
δ
- векторное переменное, или веса
λ λ δ δ
0 1 1 1
1= =
+
, ( ) .
n
Условия ортогональности определятся из (5.35) векторным уравнением
D a= δ
, (5.36)
или
D a
j ij i
i
n
=
=
∑
δ
1
1
,
(5.37)
где
a
ij
- матрица экспонент прямой программы.
Условие нормализации,
λ
0
1≡
, имеет вид
δ
i
i
n
=
=
∑
1
1
1
.
(5.38)
Для задачи (5.35, 5.36, 5.38) система линейных уравнений D
j
=0. Тогда (5.36)
и (5.37, 5.38) предстанет в виде
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
1 1 1 0 0
1 2 1 1 1
1 2 1 1 1
1 2 1 1 1
1 2 1 1 1
⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ =
⋅ + ⋅
+ + ⋅ − ⋅ =
⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ =
⋅ + ⋅
+ + ⋅ − ⋅ =
+
+
+
+
δ δ δ δ
δ δ δ δ
δ δ δ δ
δ δ δ δ
... ,
... ,
..
...................
..................
.............
... ,
.
.. .
n n
n n
n
n
n n
(5.39)
Из (5.39) следует, что
133
δ δ δ
i i n
= =
− +1 1 1
,
т.е.
δ λ
i
n n
= =
1
1
1
1
1
, .
Отсюда определится двойственная функция
∆С
∂
min max ( ) ;∆ ∆C C
A
D
C
i
n
i
n
= =
′
=
∏
∂
1
1
1
1
1
1
(5.40)
X
A
C D
C
iopt
in
i
i
n
n
=
′
′
=
∏
1
1 1
1
1
1
1
( ) .
(5.41)
Решение (5.41) пригодно для выпуклых функций
С X( )
r
, если формулу (5.41)
использовать как итерационную, а также для вогнутых, удовлетворяющих усло-
вию (раздел 6).
Рассмотрим задачу оптимизации совмещенной РТС по критериям точности и
по критериям вероятности ошибок передачи информации.
Задача формализуется аналогично предыдущей.
∆С C X
ik ik
i
n
k
p
k
=
′
==
∑∑
11
,
(5.42)
1
1
1
≥
−
=
∏
A
D
X
k
k
ik
i
n
k
;
k p=1, ;
(5.43)
X
ik
>0. (5.44)
Если нет совместных (общих) технических параметров хотя бы для двух ка-
налов, то задача распадается на p более простых, уже решенных задач (5.32, 5.33,
5.34).
Пусть число совместных параметров - n
0
. Запишем вынужденные ограниче-
ния (5.43) в виде
1
1
1
1
1
1
0 0
≥
−
=
−
=
−
∏ ∏
A
D
X X
k
k
oi
i
n
l
l
n n
k
,
(5.45)
Преддвойственная функция имеет вид
∆C
A
D
C C C
k
k l k
i
i
i
i
i
i
i n m
n m
i n
n m
i
n
k
p
l k i i i
o
≥
′
+
= + +
+
= +
+
==
+
∏∏∏∏
( ) ( ) ( ) ( )
δ δ δ δ
δ δ δ δ
0
0
0
0
1 1
2
1
1
11
134
( ) ...
C
X X X
i
i
i i
i
n
i
i n
n m
t
p
i
l
i n m
n m
i
i l t i
p
p
χ
δ
δ δ δ−
= = +
+
=== + +
+
+
−
∏ ∏∏∏∏
1 1
1
111
0
0
0
0 1
0
X
i
t
t
p
i n m
n m
i t
p
o p
δ λ
λ
== + +
+
∏∏
11
0
,
,mnl
p
1k
k0
∑
=
+=
l n m
k
k
p
= +
=
∑
0
1
,
(5.46)
где
λ δ
t l t
t
p
=
+
=
∑
1
, в данном случае
λ δ
t l t
=
+
.
Рассмотрим случай, когда m
k
=m
k-1
. Тогда уравнения ортогональности
∑
+
=
δ=
p
1i
iojij
aD
будут иметь вид
...........................................................................................................
.01001100X
..................................................................................................................
;00100100X
.................................................................................................................................
;00010100X
;00010100X
.....................................................................................................................
;00010100X
.............................................................................................
;0111010X
.............................................................................................
;0111001X
p211n1
p21m2nn1m2n
p211mnn11mn
p21mnn1mn
p211nn11n
p21n1n
p21n11
0
000
000
000
000
00
0
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅+δ⋅++δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅+δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅
+++−
+++++
+++++++
+++++
+++++
+++
+++
Условие нормализации в этом случае запишется как
∑
=
=δ
0i
i
1
(5.48)
Отсюда
∑
=
−−
=δ=δ=δ
p
1j
0j1ii
n,1i для
, (5.49)
135
( )
p,1k и
kmnim1kn для
00ki
=
+≤≤−+δ=δ
++
(5.50)
При этом n
0
=pl=l.
Из условия нормализации (5.48) следует
( )
∑
=
+
=δ+=δ+δ
P
1k
i0ki0
1mnmn
,
т.е.
0
0
i
n,1i для
mn
1
=
+
=δ
. (5.51)
Определим оптимальные значения базисных переменных
( )
P,1j
j
=δ
+
, при
которых
∂
∆=∆ CmaxC
, т.е. имеет место строгое равенство (5.46) (сильный экс-
тремум). Поскольку имеет место соотношение (5.49) и (5.51), т.е.
mn
1
0
P
1j
ij
+
=δ=δ
∑
=
+
, (5.52)
то
mn
1
при
D
A
maxC
P
1j
0
j
P
1k
k
kk
k
k
k
∑
∏
=
+
=
λ
δ
+
∂
+
=δλ
δ
=∆
+
Максимум интериантен по отношению к базисным решениям и достигается,
когда
( ) ( )
( )
mnP
1
0
opt1joptj
+
=δ=δ
−++
.
Тогда
( )
[ ]
mn
1
0
0
mnpB
+
λ
λ
+==λ
;
( )
mnp
1
0
1jj
+
=δ=δ
−++
(5.53)
( )
≤≤
+
=
δ=δ
+
in для
mnp
1
0
0
ji
Приведем поверку правильности полученных двойственных переменных δ
i
,
для чего подставим эти значения (5.53, 5.51) в условие нормализации (5.48):
( )
1
mnp
n
mn
n
1i
0
0
0
0
i
≡
+
−
+
+
=δ
∑
=
так как
mpn
0
+=
.
Вычислим двойственную функцию:
136
( )
mn
1
p
1k 1ni
p
1
i
n
1i
i
p
1
k
k
mn
m
0maxmin
0
0
0
0
CC
D
A
pmnCC
+
= +==
+
∂
′′
+=∆=∆
∏ ∏∏
.(5.54)
Оптимальный вектор технических параметров можно определить из условия
инвариантности членов прямого полинома от индекса i:
( ) ( )
δ∆=
δ
δδ∆=
∂∂
C
U
т Cu
i
i
ii
.
Отсюда
( )
0
0i
min
x
imin
opti
ni для
mnC
C
C
C
X
i
≤
+
′
∆
=
′
δ∆
=
. (5.55)
Для определения несовмещенных технических параметров X
i
, где I>n
0
, ис-
пользуем расчетное соотношение
( )
0
j
i
i
ni для u >
δλ
δ
=
Тогда
( )
( )
( )
p,1k и ,n для
C
mnC
A
D
X
1
j
XX
D
A
0i
n
min
0i
k
k
kmn
m1kni
i
j
mn
m1kni
i
n
1i
i
k
k
p
0
0
0
0
0
=>∀
∆
+
′
=
=
λ
+δ
=
∏
∏∏
+
−+=
+
−+==
Отсюда
( )
m
n
min
0i
m
1
k
k
opti
0
C
mnC
A
D
X
∆
+
=
(5.56)
для
1mnimn
1k0k0
++≥≥+
−
.
В более общем случае, когда
1kk
mm
−
≠
, преддвойственную функцию пря-
мой задачи (5.46) можно представить в виде
( )
∏ ∏ ∏∏∏∏
= =
δ−
+
==+
δ
δ
=
λ
δ
+
∂
+
−
+
δ
′
λ
δ
=∆
1i
P
1k
mn
mni
i
n
1i
i
1
i
i
i
P
1k
k
kk
k
k
k0
1k0
0
i
i
k
k
XXX
C
D
A
C
(5.57)
Условия нормализации и ортогональности имеют вид
∑
=
=δ
1i
i
1
, (5.58)
137
Из условий ортогональности следует, что
.01001000X
.................................................................................................................................
;00100100X
.............................................................................................
;00100100X
;00010100X
.............................................................................................
;00010110X
;0111010X
.............................................................................................
;0111001X
p211n1
p21mnn1mn
p21mnn11mn
p21mnn1mn
p211nn11n
p21n1n
p21n11
0
20020
20010
10010
p00
00
p
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅+δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅+δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅
=δ⋅−−δ⋅−δ⋅−δ⋅++δ⋅++δ⋅
+++−
+++++
++++++
+++++
+++++
+++
+++
(5.59)
0
p
1k
k1ii
ni для ≤δ=δ=δ
∑
=
+−
; (5.60)
k001kk1ii
mninm для +≤≤+δ=δ=δ
−+−
. (5.61)
В соответствии с (5.60, 5.61) условие нормализации предстанет в виде
∑ ∑ ∑
= =
+
+=
+
=
δ+δ
−
p
1k
p
1k
mn
mni
ik0
1n
k0
1k0
.
Далее
( )
[ ]
1mmn
p
1k
1kk0k
=−+δ
∑
=
−+
;
или
( )( )
1mmn,
1kk0k
=−+δ
−+
. (5.62)
Отсюда следует, что при
1kk0
mmn
−
−>>
и при
),k(constmm
1kk
≈−
−
1kk
mm
−
=
. В этом случае
1kk0
p
1k
k
mmn
1
−
=
+
++
=δ
∑
. (5.63)
Тогда
( )
1kk0
k
mmnp
1
−
+
++
=δ
. (5.64)
138
Если
( )
kfmm
1kk
=−
−
, то изменением нумерации переменных f(k) всегда
можно сделать огибающую выпуклой или вогнутой функцией f(k) , после чего
для определения
k+
δ
использовать решение соответствующего (5.62) инте-
грального уравнения
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
yyfn,y
k0k
δ=+δ
.
Далее определяются значения δ
i
для
0
ni >
и
0
ni ≤
и оптимальные значения
технических параметров из системы функциональных уравнений
0ii
ni для Cu ≤δ∆=
∂
. (5.65)
и
0
k
i
i
ni для u ≥
λ
δ
=
. (5.66)
Логарифмированием левой и правой частей система (5.57) легко приводится
к линейной системе, соответствующей (5.36, 5.37)
( )
∑
=
∂
−δ⋅∆=
0
n
1i
jjiij
ClnClnXlna
. (5.67)
Из изложенного можно сделать следующие выводя:
1. Методика оптимизации радиотехнических систем может быть основана на
методе геометрического программирования, если статистические ансамбли стои-
мостей и параметров блоков системы сглаживаются полиномами. Решение наибо-
лее целесообразно, если число участвующих в оптимизации технических пара-
метров не слишком велико. В противном случае целесообразно пользоваться ли-
нейной аппроксимацией этих зависимостей. Линейное сглаживание приводит к
точному решению задачи оптимизации РТС.
2. Использование метода геометрического программирования позволяет при-
ближенно, но проще решать задачи для случаев, когда динамическая программа
(пошаговая) достаточно сложна
1kk
mm
−
≠
.
3. Имеется возможность для практически интересных случаев выполнить
геометрическую программу до конца в самом общем виде, когда линейные члены
полиномов сглаживания статистических данных являются самыми существенны-
ми.
4. Проводимая программа не ограничена числом вынужденных ограничений
и числом технических параметров в каналах.
139
5.6. Возможности учета более полного состава тактико-технических
требований к радиотехническим системам
В разделах 4 и 5 оптимизация систем производилась по указанным пока-
зателям качества. Покажем, что без существенных изменений методика оп-
тимизации систем может быть расширена на случай более полного состава
тактико-технических требований, с учетом достоверности времени оценива-
ния и скрытности. Методика учета указанных показателей качества совмест-
но с показателями точности и стоимости разработана в разделе 6. Показатель
надежности можно учесть в статистике стоимости всего резерва. Поэтому
приведенная в работе оптимизация РТС охватывает по существу основную
часть показателей качества из состава ТТТ к системе.
Динамические ошибки оценки параметров сигнала могут быть учтены
при системном анализе, когда будет исследована зависимость дисперсии ди-
намической ошибки от априорных сведений, от степени астатизма, от слож-
ности и стоимости системы. В этом случае структура задачи не изменится,
однако при поиске оптимального соотношения между флуктуационнымии
динамическими ошибками на полосу пропускания канала будет наложено
еще одно ограничение.
Ошибки оценивания параметров за счет неточного знания времени при-
вязки параметров к шкале системы единого времени могут быть учтены и
дополнены в критериях точности в совмещенных информационно-
измерительных системах. Ошибки оценивания ряда ранее независимых кана-
лов могут при этом стать зависимыми. Для прецизионных систем такую не-
существенную зависимость ошибок вторичной обработки сигналов в разных
каналах несложно учесть, особенно при независимых оценках, в виде моно-
тонных функций от дисперсий точечных оценок и объема выборки. Структу-
ра задачи при этом принципиально не изменится.
На практике встречается ряд несущественных схемных (структурных) и
параметрических решений, которые могут быть не учтены при постановке
задачи в основных критериях, например, узел компенсации нестабильности
частоты гетеродина, синтезатор частоты, развязывающие цепи, фидерные
устройства и пр. В этих случаях оптимизация подсистем производится по
более частным показателям качества системы и узлов.
Объем
( )
XV
и вес
( )
XW
аппаратуры могут оказаться существенными
показателями качества системы, особенно для бортовой части аппаратуры.
Поскольку как объем, так и особенно вес бортовой аппаратуры существенно
влияют на стоимость соответствующей части системы и такие зависимости
известны [39, 45], то стоимости функциональных элементов бортовой аппа-
ратуры всегда можно представить, в конечном счете, в виде зависимости от
технических параметров. Действительно пусть имеем
( ) ( )
XVV и XWW ==
. (5.68)
Так как
140
( )
iii
V,W,XCC
ii
δδ
=
,
то с учетом (5.67) получим
( ) ( )
[ ]
( )
iрезiiiii
XCXV,XW,XCC
iii
δδδ
==
где
( )
iрез
XC
i
δ
- результирующая зависимость стоимости функционального
элемента с учетом веса и объема от технических параметров. Зависимость
стоимости от параметров, веса и объема (5.68) может быть явно немонотон-
ной и даже полимодальной (рис. 5.2). Это обстоятельство усложняет задачу н
алгоритм оптимизации, однако не делает ее неразрешимой.
Рис. 5.2
Рассматривая внимательно зависимость
( )
iрез
XC
i
δ
(кривая АВСДЕГ),
нетрудно заметить, что значения
i
X
,.соответствующие дугам
ЕГ и ДC,AB ∪∪
, явно нецелесообразны, поскольку можно достичь малых
стоимостей, увеличивая технический параметр, улучшающий качественный
показатель системы. Ясно, что если оптимальное по условному критерию
значение
i
X
попадет в интервалы, соответствующие дугам
ЕГ и ДC,AB ∪∪
, то целесообразно выбирать значения
i
X
оптимальные
также на указанных интервалах, т.е. либо в точке В, Д, либо в точке Г.
Поскольку предложенный метод оптимизации представляет собой по
существу разновидность градиентного метода, спрямление указанных дуг
горизонтальными прямыми может останавливать вычисление оптимума,
ввиду переполнения разрядной сетки. Чтобы этого избежать, спрямлять дуги
следует прямыми линиями, имеющими такой минимальный наклон, при ко-
тором переполнения не будет, методические ошибки при сшивании кривой
могут быть достаточно малы.
Покажем теперь, как влияет на предложенный алгоритм такой показа-
тель качества системы, как скрытность. Скрытность можно описать различ-
ными критериями. Обычно различают скрытность по тем параметрам сигна-
ла, по которым может производиться поиск. Скрытность может описываться
временем поиска сигнала
0nn
TNt =
, числом комбинаций
скр
N
положений
настроек по указанным параметрам сигналов, при заданной длительности на-
блюдения Т
0
и заданной вероятности обнаружения сигнала противником при
прочих заданных данных и пр. Все критерии скрытности взаимозависимы и
при корректно поставленной задаче при равных условиях будут по-видимому