Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут»
І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей,
О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ
ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
ПРАКТИКУМ
Київ — 2011
Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум. (І курс
І семестр) / Уклад.: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова. — К:
НТУУ «КПІ», 2011. — 180 с.
Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ»
(протокол № 5 від 22.01.2009)
Навчальне видання
Диференціальне та інтегральне числення
функцій однієї змінної
Практикум
для студентів І курсу технічних спеціальностей
Укладачі: Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц.
Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц.
Відповідальний
редактор
В. В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, професор
Рецензенти: С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц.
В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц.
Зміст
Теоретична частина
Вступ ........................................................................................................................ 4
Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ ............................. 5
Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ ....................................... 13
Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ........................................................................... 42
Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ .......... 53
Практична частина
Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1. Множини. Функції ......................................................................................... 61
2. Границя послідовності ................................................................................... 68
3. Границя функції ............................................................................................. 76
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції ......................................... 84
5. Неперервність функції. Точки розриву функції ........................................... 91
Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
6. Похідна. Техніка диференціювання .............................................................. 99
7. Застосування похідної .................................................................................. 110
8. Похідні вищих порядків ............................................................................... 115
9. Правило Бернуллі — Лопіталя .................................................................... 118
10. Тейлорова формула .................................................................................... 123
11. Дослідження функцій за допомогою похідних ......................................... 128
12. Побудова графіків функцій ........................................................................ 134
Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
13. Інтегрування внесенням під знак диференціала ....................................... 145
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами .......................... 153
15. Інтегрування дробово-раціональних фунцій ............................................ 159
16. Інтегрування тригонометричних виразів .................................................. 168
17. Інтегрування ірраціональних виразів ........................................................ 172
Список використаної і рекомендованої літератури ...................................... 179
Вступ
Практикум з вищої математики «Диференціальне та інтегральне числення функцій
однієї змінної» є складовою навчального комплекту з вищої математики, який
містить: конспект лекцій, практикум, збірник індивідуальних домашніх завдань,
збірник контрольних та тестових завдань.
Практикум складено на основі багаторічного досвіду викладання матема-
тики в НТУУ «КПІ», його зміст відповідає навчальним програмам з вищої ма-
тематики всіх технічних спеціальностей НТУУ «КПІ» денної та заочної форм
навчання і містить такі розділи дисципліни «Вища математика»:
— множини;
— границя функції і неперервність;
— похідна й диференціал;
— техніка диференціювання;
— правило Бернуллі — Лопіталя і формула Тейлора;
— повне дослідження функцій та побудова їхніх графіків;
— первісна й інтеграл;
— основні методи інтегрування;
— інтегрування деяких класів функцій.
Практикум містить розгорнутий довідковий матеріал, якого потребує свідо-
ме розв’язування задач, широкий спектр розв’язаних навчальних задач, які дос-
татньо розкривають відповідні теоретичні питання, сприяють розвиткові прак-
тичних навичок і є зразком належного оформлення розв’язань задач для самос-
тійної роботи, задачі для самостійної роботи в аудиторії та домашнього завдан-
ня з відповідями.
Метою практикуму є:
допомогти опанувати студентам основ математичного аналізу;
розвинути логічне та аналітичне мислення;
виробити навички вибору ефективного методу розв’язання задач.
Самостійне розв’язання задач, яке формує основу математичного мислення,
передбачає активну роботу з теоретичним матеріалом, використанням конспек-
ту лекцій, посібників та підручників. Деякі з них подано у списку рекомендова-
ної літератури.
У практичній частині використано такі позначення:
[A.B.C] — посилання на клітинку С, у якій вміщено теоретичний факт або
формулу, таблиці A.B. з теми А;
, , ,...
— посилання у навчальній задачі на коментар, який вміщено пі-
сля її розв’язання.
Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ
МАТЕМАТИКИ
0.1. Модуль, ціла та дробові частини дійсного числа
Модуль дійсного числа. Модулем
(абсолютною величиною) дійсного
числа
x
називають число
, 0,
, 0
x x
x
x x
Властивості модуля.
;
x y x y
0;
x
;
x x x
;
x x
;
xy x y
x
x
y y
Геометричний зміст модуля.
Віддаль між точками
( )
A a
та
( )
B b
числової прямої дорівнює
.
b a
Ціла частина числа. Цілою
частиною числа
x
називають
найбільше ціле число, яке не
перевищує числа
,
x
і позначають
[ ].
x
Дробова частина числа. Дробовою
частиною числа
x
називають число
{ } [ ].
x x x
Середнє арифметичне. Середнім
арифметичним чисел
1 2
, ,...,
n
a a a
називають число
1 2
...
.
n
a a a
n
Середнє геометричне.
Середнім
геометричним чисел
1 2
, ,...,
n
a a a
називають число
1 2
... .
n
n
a a a
0.2. Деякі важливі нерівності
Нерівності з модулем
x y x y
(нерівність
трикутника);
x y x y x y
Нерівність Коші
1 2
1 2
...
...
n
n
n
a a a
a a a
n
Нерівність Бернуллі
(1 ) 1 , 1,
n
h nh h n
b
x
a
b a
A
B
6 Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
0.3. Степені, корені, логарифми
Степені.
разів
( );
n
n
x x x x n
0 1
1 ( 0); ;
1
( 0, )
a
a
x x x x
x x a
x
Властивості степенів.
;
a b a b
x x x
;
a
a b
b
x
x
x
( ) ;
a b ab
x x
( )
a a a
xy x y
Арифметичний корінь
n
-го
степеня. Арифметичним коренем
n
-
го степеня з невід’ємного числа
x
називають таке невід’ємне число
,
n
a x
що
.
n
a x
Для від’ємних чисел
x
:
не існує;
2
2 1 2 1
.
n
n n
x
x x
Властивості коренів.
;
n
n
a a
, , ;
m n
n
m
a a m n
2
2
, ;
n
n
a a n
2 1
2 1
,
n
n
a a n
Логарифми. Логарифмом
додатного числа
x
за основою
( 0, 1)
a a a
називають показник
степеня, до якого потрібно піднести
число
,
a
щоб одержати число
,
x
і
позначають
log .
a
x
log .
b
a
x b a x
log 1 0, log 1.
a a
a
10
log lg
x x
— десятковий
логарифм;
log ln
e
x x
— натуральний
логарифм.
Властивості логарифмів. Для
, 0
x y
правдиві співвідношення:
log ( ) log log ;
a a a
xy x y
log log log ;
a a a
x
x y
y
log log ;
r
p
a
a
p
x x
r
log
log ; , 0;
a
x
x
a
a x a x x
log
log ;
log
b
a
b
x
x
a
1 ln lg
log ;
log ln lg
a
b
b b
b
a a a
log
, 0
a
x
x a x
Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ 7
0.4. Многочлени
Многочлен
n
-го степеня.
1
0 1 1
( ) ... .
n n
n n n
P x a x a x a x a
0 1 2
, , ,...,
n
a a a a
— коефіцієнти
многочлена;
0
n
a x
— старший член многочлена;
0
a
— старший коефіцієнт;
n
a
— вільний член многочлена.
Число
0
x
називають коренем
многочлена
( ),
n
P x
якщо
0
( ) 0.
n
P x
0 0
( )
P x a
— стала;
1 0 1
( )
P x a x a
— лінійний двочлен;
2
2 0 1 2
( )
P x a x a x a
—
квадратний тричлен.
Властивості многочленів.
Два многочлени
( )
n
P x
та
( )
m
Q x
тотожно рівні, якщо вони:
1) однакового степеня
( );
n m
2) мають рівні коефіцієнти при
однакових степенях.
Цілі корені многочлена з цілими
коефіцієнтами можуть бути лише
дільниками його вільного члена.
Теорема Безу.
Остача від ділення
многочлена
( )
n
P x
на двочлен
x a
дорівнює значенню цього
многочлена
для
x a
:
1
( ) ( ) ( ) ( ).
n n n
P x x a Q x P a
Якщо
0
x x
— корінь многочлена
( ),
n
P x
то
0 1
( ) ( ) ( ).
n n
P x x x Q x
Квадратний тричлен
2
+ +
ax bx c.
2
4
D b ac
— дискримінант;
1 2
,
x x
— корені многочлена.
Вилучення повного квадрату.
2
2
.
2 4
b D
ax bx c a x
a a
Корені.
не має
коренів
1,2
0 0
2
D D
b D
x
a
Розклад на множники.
2
1 2
( )( ),
ax bx c a x x x x
1 2
,
x x
— корені многочлена.
Теорема Вієта.
1 2
1 2
;
b
x x
a
c
x x
a
8 Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
0.5. Тригонометричні функції
Синус. Синусом числа
t
називають
ординату точки
t
P
одиничного кола і
позначають
sin .
t
sin( 2 ) sin , ;
sin( ) sin
t k t k
t t
Косинус. Косинусом числа
t
називають абсцису точки
t
P
одиничного кола і позначають
cos .
t
cos( 2 ) cos , ,
cos( ) cos
t k t k
t t
Тангенс. Тангенсом числа
t
називають ординату точки перетину
прямої
1
x
(осі тангенсів) із
променем
t
OP
.
tg( ) tg , ;
sin
tg ; tg( ) tg
cos
t k t k
t
t t t
t
Котангенс. Котангенсом числа
t
називають абсцису точки перетину
прямої
1
y
(осі котангенсів) із
променем
t
OP
.
ctg( ) ctg , ;
cos
ctg ; ctg( ) ctg
sin
t k t k
t
t t t
t
«Стандартні» значення.
3
6 4 3 2 2
1 2 3
2 2 2
1
3 2
2
2 2
1
3
1
3
0 2
sin 0 1 0 1 0
cos 1 0 1 0 1
tg 0 1 0 0
3
ctg 1 0 0
3
Формули зведення.
2 2
sin cos cos sin sin
cos sin sin cos cos
tg ctg ctg tg tg
ctg tg tg ctg ctg
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
y
x
O
1
I
II
III
IV
y
x
O
1
t
ctg
t
t
P
y
x
O
1
I
II
III
IV
y
x
O
1
t
tg
t
t
P
y
x
O
1
I
II
III
IV
y
x
O
1
t
cos
t
t
P
y
x
O
1
I
II
III
IV
y
x
O
1
t
sin
t
t
P
Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ 9
0.6. Тригонометричні формули
Основні тригонометричні
тотожності.
2 2
sin cos 1;
x x
tg ctg 1;
x x
2
2
1
1 tg ;
cos
x
x
2
2
1
1 ctg
sin
x
x
Формули додавання.
sin( ) sin cos sin cos ;
x y x y y x
cos( ) cos cos sin sin ;
x y x y x y
tg tg
tg( ) ;
1 tg tg
x y
x y
x y
ctg ctg 1
ctg( )
ctg ctg
x y
x y
x y
Формули кратних аргументів.
sin 2 2 sin cos ;
x x x
2 2
cos 2 cos sin ;
x x x
3
sin 3 3 sin 4 sin ;
x x x
3
cos 3 4 cos 3 cos
x x x
Формули зниження степеня.
2
1 cos 2
sin ;
2
x
x
2
1 cos 2
cos
2
x
x
Формули половинного аргументу
1 cos
sin ;
2 2
x x
1 cos
cos ;
2 2
x x
1 cos sin
tg ;
2 sin 1 cos
x x x
x x
2
2
sin , tg ;
2
1
t x
x t
t
2
2
1
cos , tg ;
2
1
t x
x t
t
2
2
tg , tg
2
1
t x
x t
t
Перетворення добутку
тригонометричних функцій у суму.
2 sin sin cos( ) cos( );
x y x y x y
2 cos cos cos( ) cos( );
x y x y x y
2 sin cos sin( ) sin( )
x y x y x y
Перетворення суми
тригонометричних функцій у добуток.
sin sin 2 sin cos ;
2 2
x y x y
x y
cos cos 2 cos cos ;
2 2
x y x y
x y
cos cos 2 sin sin
2 2
x y y x
x y
10 Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
0.7. Обернені тригонометричні функції
Арксинус. Арксинусом числа
x
називають число
; ,
2 2
t
синус
якого дорівнює
,
x
і позначають
arcsin .
x
arcsin sin ;
x t t x
sin(arcsin ) , [ 1;1];
arcsin( ) arcsin
x x x
x x
Арккосинус. Арккосинусом числа
x
називають число
0; ,
t
косинус
якого дорівнює
x
і позначають
arccos .
x
arccos cos ;
x t t x
cos(arccos ) , [ 1;1];
arccos( ) arccos
x x x
x x
Арктангенс. Арктангенсом числа
x
називають число
; ,
2 2
t
тангенс якого дорівнює
,
x
і
позначають
arctg .
x
arctg tg ;
x t t x
tg(arctg ) , ;
arctg( ) arctg
x x x
x x
Арккотангенс. Арккотангенсом
числа
x
називають число
0; ,
t
котангенс якого дорівнює
,
x
і
позначають
arcctg .
x
arcctg ctg ;
x t t x
ctg(arcctg ) , ;
arcctg( ) arcctg
x x x
x x
«Стандартні» значення.
3 2 1 1 2 3
2 2 2 2 2 2
2 3 4 6 6 4 3 2
5 3 2
6 4 3 2 3 4 6
1 0 1
arcsin 0
arccos 0
1 1
3 3
3 4 6 6 4 3
5 3 2
6 4 3 2 3 4 6
3 1 0 1 3
arctg 0
arcctg
Основні тотожності.
arcsin arccos
2
x x
arctg arcctg
2
x x