Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут»
І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей,
О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова
ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
ПРАКТИКУМ
Київ — 2011
Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Практикум. (І курс І семестр) / Уклад.: І. В. Алєксєєва,
В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова. — К: НТУУ «КПІ», 2011. — 184 с.
Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ»
(протокол № 5 від 22.01.2009)
Навчальне видання
Лінійна алгебра та аналітична геометрія.
Практикум
для студентів І курсу технічних спеціальностей
Укладачі: Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц.
Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц.
Відповідальний
редактор
В. В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, професор
Рецензенти: С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц.
В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц.
Зміст
Теоретична частина
Вступ ........................................................................................................................ 4
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.............................................................................. 5
Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА ....................................................................... 24
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ ............................................................. 42
Практична частина
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1. Матриці ........................................................................................................... 63
2. Визначники ..................................................................................................... 76
3. Ранг матриці ................................................................................................... 87
4. Системи лінійних алгебричних рівнянь ........................................................ 92
Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
5. Вектори ......................................................................................................... 105
6. Скалярне множення векторів ....................................................................... 115
7. Векторне множення векторів ....................................................................... 123
8. Комплексні числа ......................................................................................... 130
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
9. Геометрія прямої і площини ........................................................................ 141
10. Задачі на прямі й площини ........................................................................ 150
11. Пряма на площині ...................................................................................... 169
12. Криві 2-го порядку ..................................................................................... 174
13. Поверхні 2-го порядку ............................................................................... 179
Список використаної і рекомендованої літератури ...................................... 183
Вступ
Практикум з вищої математики «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» є
складовою навчального комплекту з вищої математики, який містить: конспект
лекцій, практикум, збірник індивідуальних домашніх завдань, збірник контрольних
та тестових завдань.
Практикум складено на основі багаторічного досвіду викладання
математики в НТУУ «КПІ», його зміст відповідає навчальним програмам з
вищої математики всіх технічних спеціальностей НТУУ «КПІ» денної та
заочної форм навчання і містить такі розділи дисципліни «Вища математика»:
— матриці та визначники;
— системи лінійних алгебричних рівнянь;
— векторна алгебра;
— комплексні числа;
— геометрія прямої і площини;
— криві 2-го порядку;
— поверхні 2-го порядку.
Практикум містить розгорнутий довідковий матеріал, якого потребує
свідоме розв’язування задач, широкий спектр розв’язаних навчальних задач, які
достатньо розкривають відповідні теоретичні питання, сприяють розвиткові
практичних навичок і є зразком належного оформлення розв’язань задач для
самостійної роботи, задачі для самостійної роботи в аудиторії та домашнього
завдання з відповідями.
Метою практикуму є:
допомогти в опануванні студентами основ математичного апарату
лінійної алгебри та аналітичної геометрії;
розвинути логічне та аналітичне мислення;
виробити навички вибору ефективного методу розв’язання задач.
Самостійне розв’язання задач, яке формує основу математичного мислення,
передбачає активну роботу з теоретичним матеріалом, використанням
конспекту лекцій, посібників та підручників. Деякі з них подано у списку
рекомендованої літератури.
У практичній частині використано такі позначення:
[A.B.C] — посилання на клітинку С, у якій вміщено теоретичний факт або
формулу, таблиці A.B. з теми А;
, , ,...
— посилання у навчальній задачі на коментар, який вміщено
після її розв’язання.
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1.1. Матриці
Матриця. Матрицею
A
розміром
m n
називають прямокутну таблицю
дійсних чисел (елементів матриці)
, 1, , 1, ,
ij
a i m j n
розташованих у
m
рядках та
n
стовпцях і позначають
( ) .
m n ij m n
A a
Матриця-рядок
1 2
n
a a a a
Матриця-стовпець
1
2
m
a
a
a
a
Нульова матриця
Квадратна матриця
n
-го порядку
Нижня трикутна матриця
11
12 22
1 2
0 0
0
n n nn
a
a a
a a a
Верхня трикутна матриця
11 12 1
22 2
0
0 0
n
n
nn
a a a
a a
a
Елемент
ij
a
матриці
A
розташований в
i
-му рядку і
j
-му стовпці.
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n n
n n nn
a a a
a a a
A A
a a a
головна діагональ
побічна діагональ
0 0 0
0 0 0
0 0 0
m n
O
рядків
m
стовпців
n
11 1 1
1
1
j n
i ij in
m mj mn
a a a
a a a
A
a a a
-й рядок
:
i
i a
-й стовпець
:
j
j a
6 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
Діагональна матриця
11
22
0 0
0 0
0 0
nn
a
a
a
Одинична
матриця
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n
E
2
1 0
,
0 1
E
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
E
Матриця є стовпцем своїх рядків і
рядком своїх стовпців.
1
2
1 2
( ... )
m n n
m
a
a
A a a a
a
1.2. Лінійні дії над стовпцями (рядками)
Рівність стовпців. Два стовпці
x
та
y
називають рівними, якщо вони мають:
1) однакову висоту;
2) рівні відповідні елементи.
1 1
2 2
,
, 1,
i i
m k
x y
m k
x y
x y i m
x y
Додавання (віднімання) стовпців.
Сумою (різницею) двох стовпців
x
та
y
заввишки
m
називають стовпець
x y
заввишки
,
m
кожен елемент якого
дорівнює сумі (різниці) відповідних
елементів стовпців
x
та
.
y
( ) ( ) ( )
i m i m i i m
x y x y
1 1 1 1
2 2 2 2
m m m m
x y x y
x y x y
x y x y
Множення стовпця на число.
Добутком стовпця
x
заввишки
m
на
дійсне число
називають стовпець
x
заввишки
,
m
кожен елемент якого
дорівнює відповідному елементу
стовпця
,
x
помноженому на це число.
( ) ( )
i m i m
x x
1 1
2 2
m m
x x
x x
x x
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА 7
1.3. Лінійні дії над матрицями
Рівність матриць. Дві матриці
A
та
B
називають рівними, якщо вони:
1) однакового розміру;
2) мають рівні відповідні елементи.
, ;
, 1, , 1,
m n k l
ij ij
A B
m k n l
a b i m j n
Додавання (віднімання) матриць.
Сумою матриць
A
та
B
однакового
розміру називають матрицю
A B
того самого розміру, елементи якої
дорівнюють сумі відповідних
елементів матриць
A
та
.
B
Різницею матриць
A
та
B
однакового
розміру називають матрицю
A B
того самого розміру, елементи якої
дорівнюють різниці відповідних
елементів матриць
A
та
.
B
ij ij ij ij
m n m n m n
a b a b
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1
21 22 2
1 2
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
n
n
m m mn
n
n
m m mn
n n
n n
m m m m mn mn
a a a
a a a
a a a
b b b
b b b
b b b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
Множення матриці на число.
Добутком матриці
A
на число
називають матрицю
,
A
елементи якої
дорівнюють добутку елементів
матриці
A
на число
.
ij ij
m n m n
a a
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
Властивості додавання матриць.
;
A B B A
( ) ( ) ;
A B C A B C
;
m n
A O A
( )
m n
A A O
Властивості множення матриці
на число.
1 ;
A A
( ) ;
A A A
( ) ;
A B A B
( ) ( )
A A
8 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1.4. Множення матриць
Узгоджені матриці. Матрицю
A
називають узгодженою з матрицею
,
B
якщо кількість стовпців матриці
A
дорівнює кількості рядків матриці
B
(«довжина» матриці
A
дорівнює «висоті» матриці
).
B
Добуток рядка на стовпець.
Добутком рядка
( )
j n
x x
завдовжки
n
на стовпець
( )
i n
y y
заввишки
n
називають число
,
x y
яке дорівнює
сумі добутків елементів рядка на
відповідні елементи стовпця.
1
2
1 2
1 1 2 2
...
n
n
n n
y
y
x x x
y
x y x y x y
Множення матриць. Добутком
матриці
m l
A
на матрицю
l n
B
називають матрицю
C AB
розміром
,
m n
кожний елемент
ij
c
якої дорівнює добуткові
i
-го рядка
матриці
A
на
j
-й стовпець матриці
.
B
( ) ( ) ( ) ( )
i m j n ij m n i j m n
a b c a b
Матриці множать за правилом «рядок
на стовпець».
1
a
i
a
m
a
1
1 1 1 1
1
1
| | |
| | |
j n
j n
i i j i n
m m j m n
b b b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
Схема Фалька множення матриць
Особливості множення матриць.
множення матриць не комутативне;
добуток ненульових матриць може
бути нульовою матрицею.
1 0 0 0 0 0
;
0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0
Властивості множення матриць.
( ) ( ) ;
A B C A B C
( ) ,
C A B C A C B
( ) ;
A B C A C B C
( ) ( ) ( );
A B A B A B
;
m n n m m n
A E E A A
,
m n n l m l
A O O
l m m n l n
O A O
A
B
AB
m
n
l
l
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА 9
Переставні матриці. Якщо
матриці
A
та
B
справджують
співвідношення
,
AB BA
то їх
називають переставними.
Одинична матриця
n
E
та нульова
матриця
n
O
порядку
n
переставні з
будь-якою квадратною матрицею того
ж порядку.
n n
AE E A A
n n n
O A AO O
Натуральний степінь
k
квадратної матриці
A
розуміють як
*
разів
def
0
... ; .
k
n n n
k
A AA A A E
Матричний многочлен. Якщо
1 0
( ) ... ,
k
k
f x a x a x a
то
многочленом
( )
f A
від матриці
A
називають матрицю
1 0
( ) ... .
k
k n
f A a A a A a E
1.5. Транспонування матриць
Транспонування матриці. Заміну
рядків матриці на її стовпці, а стовпців
— на рядки, називають
транспонуванням матриці.
Матрицю, розміром
,
n m
яку
одержують з матриці
A
розміром
m n
транспонуванням стовпців
(рядків), називають транспонованою
матрицею до
A
і позначають
.
T
A
, 1, , 1,
T
ij ji
a a i m j n
1 2
| | |
| | |
T
n
a a a
1
( )
T
a
2
( )
T
a
( )
T
n
a
Властивості транспонування
матриць.
( )
T T
A A
( )
T T T
A B A B
( )
T T
A A
( )
T T T
AB B A
Симетрична і кососиметрична
матриця. Матрицю
A
називають
симетричною, якщо
,
T
A A
і кососиметричною, якщо
.
T
A A
Добуток будь-якої матриці на
транспоновану до неї матрицю є
симетричною матрицею.
*
Матрицю
A
можна помножити саму на себе тоді й лише тоді, коли вона квадратна.
10 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
1.6. Індуктивне означення визначника
Визначник матриці. Визначником
(детермінантом) квадратної матриці
A
називають число
det ,
A A
яке
обчислюють за правилом
При
1
n
:
11 11
.
a a
При
1
n
:
1
1 1
1
det ( 1) ,
n
k
k k
k
A a M
де
1
k
M
— визначник матриці порядку
( 1),
n
яку одержано з матриці
A
викреслюванням 1-го рядка та
k
-го
стовпця
.
Обчислення визначника 3-го
порядку
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2
11 11
3 4
12 12 13 13
1
1 1
a a a
a a a
a a a
a M
a M a M
Доповняльний мінор. Визначник
матриці, одержаної викреслюванням з
матриці
A
i
-го рядка та
j
-го стовпця
називають доповняльним мінором
ij
M
елемента
.
ij
a
Алгебричне доповнення. Число
( 1)
i j
ij ij
A M
називають алгебричним доповненням
елемента
.
ij
a
Визначник для неквадратних матриць не означують.
Визначник матриці порядку
n
означують
через визначники матриць порядку
( 1).
n
Визначник матриці порядку
n
є числом, що дорівнює сумі добутків з
n
елементів матриці, узятих
по одному з кожного рядка та кожного стовпця матриці з певним знаком.
11 12 13
22 23
11 21 22 23
32 33
31 32 33
11 12 13
21 23
12 21 22 23
31 33
31 32 33
11 12 13
21 22
13 21 22 23
31 32
31 32 33
;
;
.
a a a
a a
M a a a
a a
a a a
a a a
a a
M a a a
a a
a a a
a a a
a a
M a a a
a a
a a a