Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА 41
2.19. Дії над комплексними числами у тригонометричній
і показниковій формах
Тригонометрична (показникова)
форма комплексного числа
(cos sin )
i
z i e
Ейлерова
формула
cos sin
i
e i
1 0
i
e
Модуль комплексного числа
2 2
z x y
2
zz z
Аргумент комплексного числа
Arg arg 2 ,
z z k k
arg
z
— головне значення
Arg ;
z
arg ( ; ]
z
Добуток комплексних чисел
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( )
1 2
(cos( ) sin( ))
i
z z
i
e
Спряження комплексного числа
(cos( ) sin( ))
i
z i e
Частка комплексних чисел
1 2
1 1
1 2 1 2
2 2
( )
1
2
(cos( ) sin( ))
i
z
i
z
e
Натуральний степінь
комплексного числа
(cos sin )
,
n n
n in
z n i n
e n
Муаврова формула
(cos sin ) cos sin
n
i n i n
Корінь з комплексного числа
2
2 2
cos sin ,
0, 1
k
i
n
n
n
k
n
z e
k k
i
n n
k n
Всі значення
n
z
розташовані у
вершинах правильного
n
-кутника
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
3.1. Рівняння ліній і поверхонь
Рівняння лінії на площині
L
:
1) неявне
( , ) 0,( ; ) ;
F x y x y D
2) явне
( ), [ ; ];
y f x x a b
3) параметричні
( ),
[ ; ];
( )
x x t
t
y y t
4) векторне параметричне
( ), [ ; ].
r r t t
( ; ) {( ; ) | ( , ) 0}
M x y L x y F x y
Точка перетину ліній
1
2
( , ) 0,
( , ) 0
F x y
F x y
Рівняння поверхні
:
1) неявне
( , , ) 0;
F x y z
2) явне
( , );
z f x y
3) параметричні
( , ),
( , ), ( ; )
( , ),
x x u v
y y u v u v D
z z u v
( ; ; )
{( ; ; ) | ( , , ) 0}
M x y z
x y z F x y z
Лінія перерізу поверхонь
1
2
( , , ) 0,
( , , ) 0
F x y z
F x y z
Деякі типи поверхонь:
1) поверхні обертання
2 2
( );
z f x y
Рівняння лінії може задавати також точку, частину площини і порожню множину.
Рівняння поверхні може задавати також точку, частину простору і порожню множину.
x
z
y
O
0
M
O
x
y
z
( ; ; )
M x y z
O
x
y
( , )
M x y
L
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ 43
Поверхня утворена обертанням кривої
( )
z f y
навколо осі
Oz
2) циліндричні поверхні
( , ) 0;
F x y
— напрямна
лінія
L
— твірні
O
— вершина
конуса
3) конічні поверхні
( , , ) ( , , ) 0
q
F tx ty tz t F x y z t
Рівняння лінії у просторі
L
:
1) переріз двох поверхонь
1
2
( , , ) 0,
( , , ) 0;
F x y z
F x y z
2) параметричні
( ),
( ), [ ; ];
( )
x x t
y y t t
z z t
3) векторне параметричне
( ), [ ; ]
r r t t
x
z
y
O
x
z
y
O
L
x
y
z
O
M
r
44 Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
3.2. Перетворення систем координат
Паралельне перенесення
, ,
x x a x x a
y y b y y b
Повертання
cos sin ,
sin cos
cos sin ,
sin cos
x x y
y x y
x x y
y x y
Переорієнтування
, ,
x x x x
y y y y
Загальне перетворення
cos sin ,
sin cos
x x y a
y x y b
O
x
y
M
i
O
x
y
i
j
j
O
,
x x
y
M
i
y
j
j
O
x
y
M
y
x
i
i
j
j
O
x
y
M
i
O
x
y
j
i
j
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ 45
3.3. Пряма у просторі
Пряма у просторі. Пряму
L
повністю визначає точка
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
цієї прямої і ненульовий вектор
,
l
s m
n
що паралельний прямій і який
називають напрямним вектором
прямої
.
L
0 0
( ; ) ,
M L M s M M ts t
Векторне параметричне рівняння
прямої
0
,
r r ts t
Параметричні рівняння прямої
0
0
0
,
,
,
x x lt
y y mt t
z z nt
Канонічні рівняння прямої
0 0 0
x x y y z z
l m n
Векторне рівняння прямої
0
[ , ] 0
r r s
Рівняння прямої, що проходить
через дві точки
1 1 1 1
( ; ; )
M x y z
та
2 2 2 2
( ; ; )
M x y z
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
Загальні рівняння прямої
1 1 1 1
2 2 2 2
0,
0
a x b y c z d
a x b y c z d
Умова колінеарності векторів
0
M M
та
.
s
Пряму задано перетином двох площин
1 2
( ).
n n
r
s
0
r
0
M
O
M
L
46 Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
3.4. Площина
Площина. Площину
P
повністю
визначає точка
0
M
цієї площини і
пара неколінеарних векторів
u
та
,
v
які паралельні площині
.
P
0 0 1 2 1 2
( ; , ) , ,M P M u v M M t u t v t t
Векторне параметричне рівняння
площини
0 1 2 1 2
, ,
r r t u t v t t
Параметричні рівняння площини
0 1 2
0 1 2 1 2
0 1 2
,
, ,
,
x x
y y
z z
x x t u t v
y y t u t v t t
z z t u t v
Рівняння площини, що проходить
через точку
0
M
паралельно
векторам
u
та
v
0
( , , ) 0
M M u v
Загальне рівняння площини
0
ax by cz d
a
n b
c
— нормальний вектор
Рівняння площини, що проходить
через точку
0
M
перпендикулярно до
вектора
n
0
0 0 0
( , ) 0;
( ) ( ) ( ) 0
M M n
a x x b y y c z z
Рівняння площини у відрізках
1
x y z
a b c
Площина перетинає осі координат у
точках
( ;0;0),
A a
(0; ; 0), (0; 0; ).
B b C c
Нормувальний множник
2 2 2
sgn
d
a b c
0
M
P
u
v
n
O
i
j
x
y
a
b
c
k
P
z
O
0
M
M
y
x
z
i
k
j
P
0
r
r
u
v
n
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ 47
Нормоване
рівняння площини
cos cos cos 0
x y z p
0
cos
cos
cos
n
— орт нормального
вектора площини.
p
—
віддаль в
ід площини до початку
координат
( 0)
p
Неповні
рівняння площини (
0
означає, що відповідний коефіцієнт нульовий,
а
0
— відповідний коефіцієнт ненульовий).
Висновок
0 0 0 0
a b c d
0 0 0
P
0
0 0 0
P Oxy
0
0 0
P Oxy
0 0
0 0
P Oxz
0 0
0 0
P Oxz
0 0
0 0
Ox P
0 0
Висновок
0
a b c d
P Ox
0 0 0
0
P Oyz
0 0 0
0
P Oyz
0 0 0
0
Oy P
0 0 0
0
P Oy
0 0 0
0
Oz P
0 0 0
0
P Oz
0 0 0 O P
3.5. Пряма на площині
Векторне параметричне
рівняння
прямої
0
,
r r ts t
0
0
0
,
x l
r s
y m
Параметричні
рівняння прямої
0
0
,
.
,
x x lt
t
y y mt
Канонічне рівняння прямої
0 0
x x y y
l m
Рівняння прямої,
що проходить
через
дві точки
1 1 1
( ; )
M x y
та
2 2 2
( ; )
M x y
1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
Умова колінеарності векторів
0
M M
та
.
s
O
r
s
0
r
L
0
M
M
48 Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
Загальне рівняння прямої
0
ax by c
a
n
b
— нормальний вектор
прямої
.
L n
Рівняння прямої, що проходить
через точку
0
M
перпендикулярно до
вектора
n
0
0 0
( , ) 0;
( ) ( ) 0
M M n
a x x b y y
Рівняння прямої у відрізках
1
x y
a b
Пряма перетинає осі координат у
точках
( ; 0),
A a
(0; )
B b
Рівняння прямої з кутовим
коефіцієнтом
y kx b
tg
k
Рівняння прямої з кутовим
коефіцієнтом
,
k
що проходить через
точку
0
M
0 0
( )
y k x x y
Нормувальний множник
2 2
sgn
c
a b
⓫
Нормоване рівняння прямої
cos sin 0
x y p
0
cos cos
cos sin
n
— орт
нормального вектора прямої;
p
— віддаль від площини до початку
координат
( 0)
p
⓬
Неповні рівняння прямої
(
0
означає, що відповідний коефіцієнт
нульовий, а
0
— відповідний
коефіцієнт ненульовий)
Висновок
0 0 0
a b c
0 0
L
0
0 0
L Ox
0
Висновок
0
a b c
L Ox
0 0
0
L Oy
0 0
0
L Oy
0 0
O L
O
i
j
x
y
L
a
b
O
0
M
M
i
j
r
0
r
n
L
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ 49
3.6. Взаємне розташування прямих у просторі
Прямі
1 1 1
( ; )
L M s
і
2 2 2
( ; )
L M s
:
мимобіжні
1 2 1 2
( , , ) 0
M M s s
Через мимобіжні прямі не можна
провести площину.
перетинні
1 2 1 2
1 2
( , , ) 0,
M M s s
s s
Через перетинні і різні паралельні
прямі можна провести єдину площину.
паралельні (різні)
1 2 1 2
s s M M
Через кожну точку простору
проходить одна й лише одна пряма
паралельна заданій.
збіжні
1 2 1 2
s s M M
Рівняння задають одну й ту саму
пряму.
3.7. Взаємне розташування площин
Площини
1 1 1 1 1
: 0
P a x b y c z d
та
2 2 2 2 2
: 0
P a x b y c z d
:
перетинаються вздовж прямої
1 2
n n
перпендикулярні
1 2
n n
паралельні (різні)
1 1 1 1
2 2 2 2
a b c d
a b c d
збіжні
1 1 1 1
2 2 2 2
a b c d
a b c d
1
n
1
P
2
P
2
n
2
P
1
P
L
1
n
2
n
1
L
2
L
1
L
2
L
1
L
2
L
50 Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
3.8. Взаємне розташування прямої і площини
Площина
P n
і пряма
0
( ; )
L M s
:
перетинаються в одній точці
n s
перпендикулярні
n s
паралельні (без спільних точок)
0
,
n s M P
мають безліч спільних точок
(пряма
L
лежить у площині)
P
0
,
n s M P
n
P
L
s
0
M
n
P
L
s
0
M
n
P
L
s
M
n
P
L
s
M