Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
8. Комплексні числа 131
[2.19.4]
2
sin 2 2 sin 1 cos 1
arg arctg arctg arctg tg 1 1.
1 cos 2
2 cos 1
z
[2.19.1]
2 cos 1 (cos 1 sin 1) 2 cos 1 .
i
z i e
8.4.1. Знайти алгебричну форму числа
12
( 1 3) .
i
Розв’язання.
[2.19.8.]
[Записуємо число
1 3
z i
у тригонометричній формі [2.19.1].]
2 2
1 0, 3 0
( 1) ( 3) 4 2;
3 2
arg arctg .
1 3 3
x y
z
z
число розташоване у 3-й чверті
[Застосовуємо формулу піднесення до степеня.]
[2.19.8]
12 12
12 12 12
2 2
2 cos 12 sin 12
3 3
2 (cos( 8 ) sin( 8 )) 2 (cos 0 sin 0) 2 4096.
z i
i i
модуль підносимо до степеня, аргумент множимо на степінь
8.4.2. Знайти алгебричну форму числа
4
((1 3)(2 2 )) .
i i
Розв’язання.
[Записуємо числа
1
1 3,
z i
2
2 2
z i
у тригонометричній формі.]
1 1
2 2
1 1
1
2 2
2 2
2
2
2
Re 1 0, Im 3 0;
1 ( 3) 2; arctg 3 ;
3
2 cos sin .
3 3
Re 2 0, Im 2 0;
2 ( 2) 2 2;
2
arctg ;
2 4 4
2 2 cos sin .
4 4
z z
z
z i
z z
z
z i
[Обчислюємо добуток
1 2
z z
у тригонометричній формі.]
[2.19.5]
1 2
2 cos sin 2 2 cos sin
3 3 4 4
z z i i
модулі перемножуємо, аргументи додаємо
132 Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
4 2 cos sin 4 2 cos sin .
3 4 3 4 12 12
i i
[Застосовуємо формулу піднесення до степеня.]
4
[2.19.8]
4
4
((1 3)(2 2 )) 4 2 cos sin
12 12
4 4
(4 2) cos sin 1024 cos sin
12 12 3 3
1 3
1024 512 512 3 .
2 2
i i i
i i
i i
8.4.3. Знайти алгебричну форму числа
10
1 3
.
2 2
i
i
Розв’язання.
[2.19.7.]
[Використовуємо тригонометричну форму чисел
1 3
i
та
2 2
i
із зад.
8.4.2. Ділимо комплексні числа у тригонометричній формі.]
Користуючись результатом попереднього пункту, маємо
[2.19.7]
3 3
1
2
4 4
2 cos sin
2 2 cos sin
1 1 7 7
cos sin cos sin .
3 4 3 4 12 12
2 2
i
z
z
i
i i
[Застосовуємо формулу піднесення до степеня.]
10
10
[2.19.8]
1 3 1 7 7
cos sin
2 2 12 12
2
1 70 70 1 3
cos sin cos sin .
32 12 12 32 6 6 64 64
i
i
i
i
i i
8.5.1. Знайти всі значення
4
1
і зобразіть їх на комплексній площині.
Розв’язання.
[2.19.10.]
[Записуємо число
1
у тригонометричній формі.]
1 cos sin .
i
[Записуємо спільну формулу для значень кореня.]
[2.19.10]
4
2 2
1 cos sin , 0, 3.
4 4
k
k k
i k
[Виписуємо всі окремі значення кореня.]
8. Комплексні числа 133
0
1
2 2
cos sin ;
4 4 2 2
3 3 2 2
cos sin ;
4 4 2 2
i i
i i
2
3
5 5 2 2
cos sin ;
4 4 2 2
7 7 2 2
cos sin .
4 4 2 2
i i
i i
[Зображуємо знайдені значення на комплексній площині,
використовуючи полярну систему координат.]
Рис. до зад. 8.5.1
8.5.2. Знайти всі значення
5
i
і зобразіть їх на комплексній площині.
Розв’язання.
[9.4.1, 9.4.8.]
[Записуємо число
i
у тригонометричній формі [2.19.1].]
2 2
Re 0, Im 1 0.
0 1 1; arg ;
2
z z
z z
cos sin .
2 2
i i
[Записуємо спільну формулу для значень кореня.]
[2.19.10]
5
cos sin
2 2
2 2
cos sin , 0, 4.
10 5 10 5
k
i
k k
i k
[Виписуємо всі окремі значення кореня.]
0 1
2
cos sin , cos sin ,
10 10 2 2
9 9
cos sin ,
10 10
i i
i
3
4
13 13
cos sin ,
10 10
17 17
cos sin .
10 10
i
i
[Зображуємо знайдені значення на комплексній площині, ви-
користовуючи полярну систему координат.]
Рис. до зад. 8.5.2
y
x
O
1
0
2
3
y
x
O
0
w
3
w
1
w
4
w
2
w
1
134 Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
8.6.1. Зобразити на площині
множини точок, що справджують умову
1 3.
z
Розв’язання.
[2.16.1, 2.19.3.]
[
Використовуємо геометричний зміст умови.
]
| 1 3
z z
— множина точок, віддалених від то-
чки
1
z
на віддаль 3 — це коло з центром у точці
1
z
і
радіусом
3
.
[Зображуємо розв’язок.]
Рис. до зад. 8.6.1
8.6.2. Зобразити на площині
множини точок, що справджують умову
.
z i z i
Розв’язання.
[2.16.1, 2.19.3.]
І спосіб (геометричний).
[Використовуємо геометричний зміст умови.]
|
z z i z i
— множина точок рівновіддале-
них від точок
1
z i
та
2
z i
— пряма, яка перпендику-
лярна до відрізка
1 2
z z
і проходить через його середину.
[Зображуємо розв’язок.]
ІІ спосіб (аналітичний).
Рис. до зад. 8.6.2
Нехай
, , .
z x iy x y
[2.19.2]
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( 1) ( 1) ;
( 1) ( 1) .
( 1) ( 1)
( 1) ( 1) 0.
z i x i y x y
z i x i y x y
z i z i x y x y
x y x y y
[Зображуємо розв’язок.]
8.6.3. Зобразити на площині
множини точок, що справджують умову
( 1) arg .
3 2
z z
Розв’язання.
[2.19.4.]
[
Використовуємо геометричний зміст умови.
]
| 1 arg
3 2
z z z
множина точок, роз-
ташованих усередині круга з межею
1
z
:
2 2
1
x y
між променями
3
та
.
2
Рис. до зад. 8.6.3
Im
z
Re
z
O
1
3
2
Im
z
Re
z
O
i
i
Im
z
Re
z
O
1
8. Комплексні числа 135
8.7. З’ясувати геометричний зміст співвідношень:
1)
0
;
z z a
2)
0
;
z z a
3)
0
;
z z a
4)
arg ;
z
5)
Re ;
z a
6)
Im .
z b
Розв’язання.
[2.16.1, 2.19.3, 2.19.4.]
1) Множиною точок, віддаль яких від точки
0
z
дорівнює
,
a
є коло з центром у
точці
0
z
радіусом
a
.
2) Нерівність описує внутрішність круга з центром у точці
0
z
радіусом
a
.
3) Нерівність описує зовнішність круга з центром у точці
0
z
радіусом
a
.
Рис. до зад. 8.7.1) Рис. до зад. 8.7.2) Рис. до зад. 8.7.3)
4) Рівняння задає промінь, що виходить з початку координат під кутом
з до-
датним напрямом дійсної осі.
5) Вертикальна пряма
.
x a
6) Горизонтальна пряма
.
y b
8.8. Розв’язати рівняння
3
2 0
z z
( ).
z
Розв’язання.
[Підбираємо дійсний корінь рівняння.
]
Число
1
z
— корінь рівняння.
[Застосовуємо схему Горнера.
]
1 0 1 2
1 1 1 2 0
1
2
2
1,
( 1)( 2) 0
2 0.
z
z z z
z z
[Розв’язуємо квадратне рівняння.]
0
z
Re
z
O
a
Im
z
0
z
Re
z
O
a
Im
z
0
z
Re
z
O
a
Im
z
136 Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
2
2,3
2 0;
1 8 7;
2 2
7 7(cos sin ) 7 cos sin , 0,1;
2 2
1 7
7 7 .
2
z z
D
k k
i i k
i
i z
[Записуємо відповідь.]
1 2,3
1 7
1, .
2
i
z z
Коментар.
Кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами завжди має принай-
мні один дійсний корінь, який є дільником вільного члена рівняння.
Або ділимо многочлен
3
2
z z
на многочлен
( 1)
z
у стовпчик.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
8.9. Знайдіть дійсні числа
x
та
y
з рівняння:
1)
(2 ) ( 3 ) 3 ;
x y x y i i
2)
( 5 ) ( 2 ) 17 8 .
x y x y i i
8.10. Знайдіть
1
1 2 1 2 2 1
2
, , , ,
z
z z z z z z
z
якщо
1
2 3 ,
z i
2
2 3 .
z i
8.11. Обчисліть:
1)
(1 5 )( 2 3 );
i i
2)
2
(1 2 ) ;
i
3)
1 2
;
1 2
i
i
4)
4
.
2
i
i
8.12. Зобразіть комплексні числа точками комплексної площини:
1)
2 ;
i
2)
2 ;
i
3)
3 2 ;
i
4)
2 3 ;
i
5)
1 0 ;
i
6)
0 3 .
i
8.13. Назвіть комплексне число, спряжене з заданим. Зобразіть задане та
спряжене числа точками площини:
1)
1 ;
i
2)
5;
3)
2 ;
i
4)
2 3 ;
i
5)
5 4;
i
6)
0.
8. Комплексні числа 137
8.14. Обчисліть:
1)
3
1
;
i
2)
4 14 24 34 44
;
i i i i i
3)
2 3
... , 4;
n
i i i i n
4)
2 3 50
.
i i i i
8.15. Запишіть число у тригонометричній і показниковій формах:
1)
1;
2)
1;
3)
;
i
4)
;
i
5)
1 ;
i
6)
1 ;
i
7)
1 ;
i
8)
1 ;
i
9)
3 ;
i
10)
1 3
;
2 2
i
11)
cos sin ;
7 7
i
12)
1 cos sin ;
i
13)
sin cos .
i
8.16. Обчисліть:
1)
5(cos10 sin10 ) 2(cos 80 sin 80 );
i i
2)
6 6
2 cos sin 6 cos sin ;
7 7 7 7
i i
3)
cos140 sin140
;
cos50 sin 50
i
i
4)
5(cos109 sin109 )
.
3(cos 49 sin 49 )
i
i
8.17. Зобразіть на площині множини чисел, модуль
та аргумент
яких
справджують умову:
1)
1, ;
3
2)
3;
3)
3;
4)
3;
5)
2 3;
6)
;
4
7)
0 ;
6
8)
0 .
138 Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
8.18. Зобразіть на площині множини чисел, які справджують умову:
1)
Re 0;
z
2)
Im 2;
3)
Re 1;
z
4)
Im 2;
z
5)
1;
z
6)
3 2 1;
z i
7)
1 1 ;
z z
8)
1 1 ;
z z
9)
1 ;
z z i
10)
1 .
z z i
8.19. Обчисліть:
1)
25
(1 ) ;
i
2)
200
3 1
;
2 2
i
3)
20
1 3
;
1
i
i
4)
24
1 3
.
1
i
i
8.20. Знайдіть усі значення коренів:
1)
3
1;
2)
4
;
i
3)
3 4 ;
i
4)
3
2 2 ;
i
5)
6
1
;
3
i
i
6)
4
1
.
1 3
i
i
8.21. Розв’яжіть рівняння у множині комплексних чисел:
1)
2
2 5 0;
z z
2)
2
4 2 1 0;
z z
3)
3
6 9 0;
z z
4)
3
6 4 0.
z z
8.22. Розв’яжіть систему лінійних рівнянь:
1)
1 2
1 2
(3 ) (4 2 ) 1 3 ,
(4 2 ) (2 3 ) 7;
i z i z i
i z i z
2)
1 2
1 2
(2 ) (2 ) 6,
(3 2 ) (3 2 ) 8.
i z i z
i z i z
8.23. Перетворіть на добуток:
1)
sin sin 2 sin 3 ... sin ;
n
2)
cos cos2 cos 3 ... cos .
n
8. Комплексні числа 139
Відповіді
8.9. 1)
2, 1;
x y
2)
2, 3.
x y
8.10.
1 2 1 2
2 2, 5,
z z z z
1
2 1
2
1 2 6
2 3 , .
5
z
i
z z i
z
8.11. 1)
17 7 ;
i
2)
3 4 ;
i
3)
3 4
;
5 5
i
4)
4 8
.
5 5
i
8.14. 1)
;
i
2)
1;
3)
0,
якщо
4 ,
n k
,
i
якщо
4 1,
n k
1,
i
якщо
4 2,
n k
1,
якщо
4 3;
n k
4)
.
i
8.15. 1)
cos 0 sin 0;
i
2)
cos sin ;
i
3)
cos sin ;
2 2
i
4)
cos sin ;
2 2
i
5)
2 cos sin ;
4 4
i
6)
3 3
2 cos sin ;
4 4
i
7)
5 5
2 cos sin ;
4 4
i
8)
2 cos sin ;
4 4
i
9)
2 cos sin ;
6 6
i
10)
4 4
cos sin ;
3 3
i
11)
6 6
cos sin ;
7 7
i
12)
2 cos cos sin ,
2 2 2
i
якщо
cos 0,
2
2 cos cos sin ,
2 2 2
i
якщо
cos 0;
2
13)
cos sin .
2 2
i
8.16. 1)
10 ;
i
2)
12;
3)
;
i
4)
5 5
.
6
2 3
i
8.17. 1) точка
1; ;
3
M
2) коло радіусом
3
з центром у т.
;
O
3) круг радіусом
3
із центром у
т.
;
O
4) зовнішні точки круга; 5) кільце без своїх меж; 6) промінь із т.
;
O
7) кут; 8) верхня
відкрита півплощина.
8.18. 1) відкрита півплощина, праворуч від уявної осі;
2) півплощина, розташовану нижче горизонтальної прямої
2;
y
3) вертикальна смуга;
4) зовнішність горизонтальної смуги;
5) круг радіусом
1
із центром у т.
;
O
6) зовнішність круга радіусом
1
із центром у т.
3 2 ;
i
7) уявна вісь;
8) права півплощина;
9) бісектриса 2-ї та 4-ї чверті;
10) півплощина
0.
x y
8.19. 1)
12
2 (1 );
i
2)
1
( 1 3);
2
i
3)
9
2 (1 3);
i
4)
12
2 .
8.20. 1)
2 2
cos sin , 0,1, 2;
3 3
k k
i k
2)
1 4 1 4
cos sin , 0, 3;
8 8
k k
i k
3)
2 , 2 ;
i i
4)
8 3 8 3
2 cos sin ,
12 12
k k
i
0,1, 2;
k
5)
12
1 24 19 24 19
cos sin ,
2 72 72
k k
i
0, 5;
k
6)
8
1 13 24 13 24
cos sin ,
2 48 48
k k
i
0, 3.
k
8.21. 1)
1 2 ;
i
2)
1 3
;
4 4
i
3)
3 3
3, ;
2
i
4)
2, 1 3.
140 Розділ 2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
8.22. 1)
1 2
1, ;
z z i
2)
1
2 ,
z i
2
2 .
z i
8.23. 1)
( 1)
2 2
2
sin sin
;
sin
n n
2)
( 1)
2 2
2
sin cos
.
sin
n n