Арефьев К.П., Нагорнова А.И. и др. Высшая математика. Часть 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференцирование функции одной переменной: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

К.П. Арефьев, А.И. Нагорнова,

Г.П. Новоселова, Ю.И. Галанов,

С.В. Рожкова, О.В. Рожкова, А.И. Харлова

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ЧАСТЬ 1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

Рекомендовано в качестве учебного пособия

редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета

для студентов специальностей

280202 – инженерная защита окружающей среды;

080505 – управление персоналом

Издательство

Томского политехнического университета

2011

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Глава 1. Элементы линейной алгебры

УДК 517 А 80

Арефьев К.П.

Высшая математика. Часть 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналити-

ческая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференцирование функ-

ции одной переменной: Учеб. Пособие/ К.П. Арефьев, А.И. Нагорнова,

Г.П. Новоселова, Ю.И. Галанов, С.В. Рожкова, О.В. Рожкова, А.И. Харлова.– Томск:

Изд-во Томского политехнического университета, 2009. – 271 с.

Учебное пособие включает пять разделов высшей математики. Первая часть:

линейная алгебра (определители, матрицы, системы уравнений). Вторая часть: век-

торная алгебра (операции с векторами, системы координат). Третья часть: аналити-

ческая геометрия (уравнения прямых и плоскостей, кривые второго порядка). Чет-

вертая часть: введение в анализ бесконечно малых (предел последовательности и

функции, точки разрыва и непрерывность функции). Пятая часть: Дифференцирова-

ние функции одной переменной (понятие производной, дифференцируемость, пра-

вила дифференцирования, дифференциал и его применение, исследование функ-

ций). Пособие подготовлено на кафедре высшей математики ТПУ и предназначено

для студентов специальностей 280202 – «Инженерная защита окружающей среды»,

080505 – «Управление персоналом» Института дистанционного образования.

Рецензенты:

Профессор кафедры прикладной математики ТГУ, д.ф.-м.н.;

Н.С. Дёмин

Доцент кафедры математического анализа ТГУ, к.ф.-м.н.

С. А. Копанев

Арефьев К.П., Нагорнова А.И., Новоселова Г.П., Галанов Ю.И., Рожко-

ва С.В., Рожкова О.В, Харлова А.И, 2009

Томский политехнический университет, 2009

Оформление. Издательство Томского политехнического университета,

2009

1.3.

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Главная задача при изучении материала данного раздела – научиться

решать системы линейных уравнений. В связи с этим нам понадобится изу-

чить свойства таких математических объектов как матрицы и определители.

Определители используются при решении систем линейных уравнений по

правилу Крамера, а матрицы – по методу Гаусса.

Изучение матриц необходимо

ещё и потому, что матричный язык, мат-

ричные обозначения и вычисления широко используются в современной

математике и ее приложениях: в линейной алгебре, математическом анали-

зе, теории вероятностей, механике, теоретической электротехнике, кванто-

вой механике и др.

1.1. Матрицы. Определения и классификация

Определение 1.1. Прямоугольная таблица, составленная из ка-

ких-либо элементов, имеющая m

строк и n столбцов, называется

матрицей размера m

Приняты следующие обозначения матриц:

()

321

2232221

1131211

mnmmm

aaaa

A =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛







321

2232221

1131211

mnmmm

aaaa

A ==







где a

i j

называются элементами матрицы; это могут быть числа, функ-

ции, векторы и т. д. Первый индекс i

– номер строки (i = 1, 2, …, m), второй

– номер столбца (j = 1, 2, …, n).

Пример 1. Укажите размерность матриц:

1.1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0139

3412

3011

;

1.2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

αα

−

tgsin

sincos

Глава 1. Элементы линейной алгебры

Решение. 1.1.

Матрица имеет 3 строки и 4 столбца, значит, − это

матрица размерности (3×4), элементами которой являются действительные

числа.

1.2. Матрица имеет 2 строки и 2 столбца, значит, − это матрица раз-

мерности (2×2), элементами которой являются функции.

Специальные виды матриц:

1. Если m = n (т. е. число строк матрицы равно числу столбцов), то мат-

рица

А называется квадратной порядка n:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

nnnn

aaa







22221

11211

Элементы

, i = j, а именно

aaa ,,,

2211

… , образуют так называемую

главную диагональ матрицы.

Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю

(т. е. a

i j

= 0 при i ≠ j ), то такая матрица называется диагональной:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛



000

Диагональная матрица, у которой

⎩

⎨

⎧

≠

, при0

, при1

называется еди-

ничной и обозначается Е

(на множестве матриц играет роль единицы):

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1000

0100

0010

0001







Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы,

стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

aaa

aaaa







000

333

22322

1131211

– верхняя треугольная матрица,

1.1. Матрицы

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

nnnnn

aaaa

aaa







321

333231

2221

000

– нижняя треугольная матрица.

Матрица, у которой только один столбец, называется столбцовой

(матрица-столбец):

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛



Матрица, у которой только одна строка, называется строчной (матри-

ца-строка

(

)

njn

aaaa

1111211

)(

 .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой (на

множестве матриц играет роль нуля).

1.2. Линейные операции над матрицами

К линейным операциям над матрицами относятся: сложение, вычита-

ние матриц и умножение матрицы на число.

Определение 1.2. Суммой (разностью) двух матриц А и В оди-

накового размера (m

n) называется матрица С того же размера,

элементы которой c

равны сумме (разности) соответствующих эле-

ментов матриц А и В:

(

)

(

)

jiji

bac

××

Определение 1.3. Произведением матрицы А на число

назы-

вается матрица В, которая получается из матрицы А умножением на

всех её элементов, т. е.

где

ij ij

⋅ .

Определение 1.4.

Матрицы А и В одного размера т

п назы-

ваются равными (А = В), если каждый элемент

a матрицы А равен

соответствующему элементу матрицы B

( , 1, 2, , ; 1, 2, , ).

ij ij

abi mj n== =……

Глава 1. Элементы линейной алгебры

Свойства суммы матриц.

Переместительный закон

если А и В – матрицы одного размера m × n.

Сочетательный

)()(

Добавление нулевой матрицы не меняет матрицы А:

Существует единственная матрица

−

⋅

−

)1( такая, что

0)(

−

При умножении матрицы на константу, равную нулю, получим нуле-

вую матрицу

0=⋅β

, если 0

Произведение суммы матриц на число равняется сумме произведений

каждой матрицы на это число:

+β )(

const

Пример 2. Найти матрицу Q = 2А − 3В + 5,

если

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

103

142

013

A и

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

154

312

107

B .

Решение. На множестве матриц роль единицы играет единичная мат-

рица, следовательно,

Q = 2А

−

3В + 5 = 2А

−

3В + 5E:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

103

142

013

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

−

154

312

107

)3(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

100

010

001

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

206

284

026

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−−−

−

31512

936

3021

500

050

005

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++−+−

+−+−+−

++++−+−

53201500126

092538064

0300025216

= .

10156

7102

3210

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

1.3. Произведение матриц

Определение 1.5. Если матрица А имеет размеры (т

р) и

матрица В имеет размеры (р

п), то произведением матрицы А на

матрицу В называется матрица С(т

п), элементы которой

2211

∑

=+++=

kjikpjipjijiij

babababac 

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Обозначается:

nppmnm

BAC

×××

⋅

Таким образом, чтобы получить элемент

c матрицы С, необходимо

найти сумму произведений элементов i-той строки матрицы А на соответст-

вующие элементы j–го столбца матрицы В, т. е. умножение матриц возмож-

но тогда, и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу

строк матрицы В.

Пример 3. Найти произведение А

⋅

В, если

101

132

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0120

4231

3112

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Решение. Проверяем размерность матриц:

32 ×

A ,

43 ×

B ⇒ можно пе-

ремножать. Умножаем элементы первой строки матрицы А на элементы

первого столбца матрицы В, сложив результаты, получаем элемент с

= 2 ⋅

2 + 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 = 7.

Затем снова первую строку матрицы А умножаем на следующий (вто-

рой) столбец матрицы В поэлементно, вычисляем

= 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 = 13.

Снова первую строку матрицы А умножаем на третий столбец матрицы

В: с

= 2(−1) +3(−2) + 1⋅ 1 = −7.

Наконец, чтобы получить с

, находим сумму произведений элементов

той же, первой, строки матрицы А на элементы четвёртого столбца матрицы

В: с

= 2(−3) +3 ⋅ 4 + 1⋅ 0 = 6.

Таким же образом вычисляем элементы второй строки матрицы С, а

именно, перемножая элементы второй строки матрицы А поочерёдно на

элементы столбцов матрицы В, пока не переберём все столбцы матрицы В:

= −1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 = −2,

= −1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 = 1,

= −1 ⋅ (−1) +0 ⋅ (−2) + 1⋅ 1 = 2,

Глава 1. Элементы линейной алгебры

= −1 ⋅ (−3) +0 ⋅ 4 + 1⋅ 0 = 3.

Итак,

3212

67137

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=⋅= BAC

Размерность матрицы С – (2 × 4).

Обратите внимание: для запоминания правила проверки размерностей

перемножаемых матриц и результирующей рекомендуем записать эти раз-

мерности рядом таким образом: 2 × 3 ⋅ 3 × 4, тогда внутренние цифры, если

они равны, доказывают возможность перемножения, а внешние (2 × 4) –

дают размер результирующей матрицы.

Из определения действия умножения видно,

что в общем случае А ⋅ В ≠

В ⋅ А. Как в приведённом примере из существования произведения А ⋅ В со-

вершенно не следует существование произведения В ⋅ А. Если же окажется,

что АВ = ВА, то матрицы А, В называются перестановочными. Например:

;

cossin

sincos

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

αα

−

;

cossin

sincos

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ββ

−

(

)

(

)

() ()

cossin

sincos

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β+αβ+α

−

== BAAB

Основные свойства произведения матриц.

1. Произведение матрицы на нулевую есть нулевая матрица:

⋅

0 = 0.

Произведение матрицы А на единичную не меняет матрицы

А: А ⋅ Е = Е ⋅ А = А.

Действие умножения подчиняется распределительному и со-

четательному законам:

•

дистрибутивность

(А + В)

⋅

С = А

⋅

С + В

⋅

С, А(В + С) = А

⋅

В + А

⋅

С;

•

ассоциативность

(А

⋅

В)

⋅

С = А

⋅

(В

⋅

С).

1.3. Произведение матриц

Определение 1.6.

Транспонированием матрицы называ-

ется операция замены строк матрицы её столбцами. Мат-

рица, полученная таким образом из матрицы А, называется

транспонированной по отношению к исходной матрице и

обозначается АТ, причём если

(

)

то

(

)

где

aa =

Например, если ,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

то .

642

531

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

Транспонированная матрица от суммы матриц равняется

сумме транспонированных матриц:

(

)

BABA +=+ .

Действия умножения матриц на число и транспонирование

матрицы перестановочны:

(

)

AA α=α .

Транспонированная матрица от произведения матриц А на В

равняется произведению транспонированных матриц

на А

(

)

ABAB ⋅= .

Определение 1.7. Степень квадратной матрицы. Так как две

любые квадратные матрицы одного размера можно перемножать,

то всякую квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т. е

найти её степень: А

⋅

А = А

– эта матрица называется квадратом

матрицы А; А

⋅

А = А

– эта матрица называется кубом матрицы А;

−

)

⋅

А = А

– эта матрица называется n-й степенью матрицы А.

Исходная матрица А называется первой степенью матрицы

Нулевая степень матрицы является единичной матрицей:

E= .

Отрицательную степень определим позже, т. к.

−1

называется обрат-

ной

матрицей и

(

)

(

)

−

−−−

=⇒=

AAAA .

Свойства операции возведения матрицы в степень.

• Возведение матрицы А в степень k + m равносильно произве-

дению матриц А

и А

, т. е.

Глава 1. Элементы линейной алгебры

mkmk

⋅

где

k, m – целые положительные числа.

• Возведение матрицы А в степень km равносильно возведению

в степень

m матрицы А

(

)

AA = .

Пример 4. Найти куб матрицы .

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Решение. Последовательно находим

(

)

()

11233113

12213211

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅−⋅⋅−⋅

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=⋅= AAA

(

)

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+⋅⋅+⋅

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=⋅=

17203710

10273017

AAA .

721

147

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Пример 5. Найти преобразование, выражающее

321

,, xxx

′

′′′′′

через

321

,, xxx .

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

++−=

′

−+=

′

+−=

′

;53

,52

,43

3213

3212

3211

xxxx

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

′

′′

′

−

′

−

′

′′

′

−

′

.47

,354

313

3212

3211

xxx

xxxx

Решение. Перейдём к матричной записи данных систем:

,AXX

′

Подставив первое равенство во второе, получаем искомое решение

,XABX

⋅

′

где ,

407

111

354

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

=B .

153

512

431

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Вычисляем:

(

)

()

145047541037342017

115141511131312111

135544531534332514

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅+⋅−⋅⋅+⋅+−⋅−⋅+⋅

⋅−⋅+⋅⋅−⋅−−⋅+⋅−⋅

⋅−⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

+⋅+⋅

=⋅ AB