- 234 -
Аналогічно обчислюються коефіцієнти
b :
∫
π
−
=π=
3
.
)1(
8sin)(
k
xdxkxfb
k
k
Одержимо розкладання в ряд Фур'є:
∑
=
π
π
−
π
π
−+=
22
)3;1(
2
.
sin
2
cos
)1(4
3
13
k
k
xk
k
xk
x
Скориставшись значенням суми
∑
=
π
=
2
2
6
1
k
,
одержимо, наприклад, при
суму ряду Фур'є, яка дорівнює 5:
∑
=
=+=
π
⋅
π
+=
π
π−
+=
2
222
,5
3
2
3
13
6
4
3
13cos)1(
4
3
13
)1(
k
k
k
S
що збігається з середнім арифметичним односторонніх границь:
.5)91(
2
1
3
2
1
2
2
1
=+=
+
==
xx
xx
11.5.4. Розкладання в ряд Фур'є функцій, заданих на відрізку
l0,
При практичному використанні рядів Фур'є як проміжок, на якому нас
цікавить поводження функції, зручно взяти
l,0 , тобто
.
Поставимо задачу побудови ряду Фур'є для функції, заданої на
l,0 .
Поза відрізком
l,0 поводження функції для нас не має значення.
Таким чином, проміжок
l,0 можна вважати періодом, проте в цьому
випадку необхідно обчислювати коефіцієнти
a і
b , тобто будувати повний
ряд Фур'є.
Задачу розкладання в ряд Фур'є можна розв’язати і так: виберемо
довільну функцію на відрізку
0,l
і визначимо на всьому відрізку
ll,
деяку функцію
[
)
−∈
=
0
0
,),(
,),(
)(
lxxg
lxxf
xF .
Функція
xF визначена в інтервалі завдовжки
; розкладається у свій ряд
Фур'є на відрізку
ll,
, за винятком, можливо, точок
і точок
розриву функцій
xf і
xg .
Однак перевага віддається найчастіше парному або непарному
продовженню функції на проміжок
0,l
, коли утворюється розкладання в
неповний ряд Фур'є.