- 245 -
( )
( )
( )
1 2
3/ 4
7/4
0 1
2
2 2 2
3
∫ ∫
( ) ( )
11/4 7/4
2 2
1 1
y y
= + − − − = − + =
12.1.3. Заміна змінних у подвійному інтегралі
Обчислення
подвійних
інтегралів
іноді
вдається
спростити
,
зробивши
заміну
змінних
.
Нехай
x=x(u,v), y=y(u,v) ―
взаємно
однозначне
відображення
деякої
області
σ
площини
uov
на
область
D
площини
X0Y.
Тоді
,
в
припущенні
неперервності
частинних
похідних
функцій
x(u,v)
і
y(u,v)
по
u
і
по
v ,
має
місце
формула
( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )
D
f x y dxdy f x u v y u v I u v dudv
σ
=
∫∫ ∫∫
, (12.1. 5)
яка
називається
формулою
заміни
змінних
у
подвійному
интегралі
.
Якобіан
перетворення
має
вигляд
:
x x
u v
I
y y
u v
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
.
Зокрема
,
у
полярних
координатах
формула
12.1.5
має
вигляд
:
( , ) ( cos , sin )
D
σ
= ⋅ ⋅
∫∫ ∫∫
, (12.1. 6)
де
x=ρcos
ϕ
, y=ρsin
ϕ
, I(ρ,
ϕ
)=ρ―
якобіан
переходу
до
полярних
координат
.
Розміщення
меж
при
обчисленні
подвійного
інтеграла
в
полярних
координатах
можна
робити
,
використовуючи
зображення
області
D
на
площині
XOY.
Якщо
область
D
обмежена
двома
кривими
,
полярні
рівняння
яких
ρ=ρ
1
(
ϕ
)
і
ρ=ρ
2
(
ϕ
)
(
ρ
1
(
ϕ
)≤ρ
2
(
ϕ
))
і
променями
ϕ
=
ϕ
1,
ϕ
=
ϕ
2
,
то
2 2
1 1
( )
( )
( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin )
D
ϕ ρ ϕ
σ ϕ ρ ϕ
ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ
= ⋅ ⋅ =
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
.
Якщо
область
містить
початок
координат
,
то
( )
2
0 0
( , ) ( cos , sin )
D
ρ ϕ
π
=
∫∫ ∫ ∫
,
де
ρ=ρ(
ϕ
) -полярне
рівняння
кривої
,
що
обмежує
область
D.
ρ
0
ρ
=
ρ
2
(
)
ϕ
1
ϕ
2
ρ
=
ρ
1
(
)
Рис
.12.5.