Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств
Подождите немного. Документ загружается.
Ψ = Ψ
T
∈
R
n×n
P ∈ R
l×n
Q ∈ R
k×n
P = r
P
< n
Q = r
Q
< n
Θ ∈ R
k×l
W
T
P
ΨW
P
< 0 , W
T
Q
ΨW
Q
< 0 ,
W
P
P
W
Q
Q
W
T
P
W
P
W
T
Q
W
Q
R
n
R
n
= {N(P )\[N(P )
T
N(Q)]} ⊕ [N(P )
T
N(Q)]⊕
⊕{N(Q)\[N(P )
T
N(Q)]} ⊕ M ,
N(P ) N(Q) P Q M N(P ) ⊕N(Q)
R
n
P Q
P = (0 0 P
1
P
2
) , Q = ( Q
1
0 0 Q
2
) .
Ψ Ψ = (Ψ
ij
) i, j = 1, 2, 3, 4
W
P
W
Q
W
P
=
I 0
0 I
0 0
0 0
, W
Q
=
0 0
I 0
0 I
0 0
,
Ψ
11
Ψ
12
Ψ
T
12
Ψ
22
!
< 0 ,
Ψ
22
Ψ
23
Ψ
T
23
Ψ
33
!
< 0 .
Θ
Ψ
11
Ψ
12
Ψ
13
+ K
11
Ψ
14
+ K
12
Ψ
T
12
Ψ
22
Ψ
23
Ψ
24
Ψ
T
13
+ K
T
11
Ψ
T
23
Ψ
33
Ψ
34
+ K
T
21
Ψ
T
14
+ K
T
12
Ψ
T
24
Ψ
T
34
+ K
21
Ψ
44
+ K
22
+ K
T
22
< 0 ,
Ψ + P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP < 0
K
ij
= Q
T
i
ΘP
j
i, j = 1, 2
Q
T
1
Q
T
2
Θ (P
1
P
2
) =
K
11
K
12
K
21
K
22
Θ
Y Z
Q
T
1
Q
T
2
Y =
K
11
K
12
K
21
K
22
, Z (P
1
P
2
) =
K
11
K
12
K
21
K
22
.
(k ×r
Q
) (Q
1
Q
2
) r
Q
≤ k (l ×r
P
)
(P
1
P
2
) r
P
≤ l
K
ij
, i, j = 1, 2 Θ
Π =
Ψ
11
Ψ
12
Ψ
13
+ K
11
Ψ
T
12
Ψ
22
Ψ
23
Ψ
T
13
+ K
T
11
Ψ
T
23
Ψ
33
(3×3)
Π < 0 , (Ψ
44
+ K
22
+ K
T
22
) −
Ψ
14
+ K
12
Ψ
24
Ψ
34
+ K
T
21
T
Π
−1
Ψ
14
+ K
12
Ψ
24
Ψ
34
+ K
T
21
< 0 .
K
11
, K
12
, K
21
K
22
Π < 0 K
11
Π x = (x
1
, x
2
, x
3
)
x
T
Πx = (x
2
+ Ψ
−1
22
Ψ
T
12
x
1
)
T
Ψ
22
(x
2
+ Ψ
−1
22
Ψ
T
12
x
1
)+
+x
T
1
(Ψ
11
− Ψ
12
Ψ
−1
22
Ψ
T
12
)x
1
+ 2x
T
1
(Ψ
13
+ K
T
11
)x
3
+ 2x
T
2
Ψ
23
x
3
+ x
T
3
Ψ
33
x
3
=
= (x
2
+ Ψ
−1
22
Ψ
T
12
x
1
+ Ψ
−1
22
Ψ
23
x
3
)
T
Ψ
22
(x
2
+ Ψ
−1
22
Ψ
T
12
x
1
+ Ψ
−1
22
Ψ
23
x
3
)+
+x
T
1
(Ψ
11
− Ψ
12
Ψ
−1
22
Ψ
T
12
)x
1
+ x
T
3
(Ψ
33
− Ψ
T
23
Ψ
−1
22
Ψ
23
)x
3
+
+2x
T
1
(Ψ
13
+ K
T
11
− Ψ
12
Ψ
−1
22
Ψ
23
)x
3
.
x
T
Πx = (x
2
+ Ψ
−1
22
Ψ
T
12
x
1
+ Ψ
−1
22
Ψ
23
x
3
)
T
Ψ
22
(x
2
+ Ψ
−1
22
Ψ
T
12
x
1
+ Ψ
−1
22
Ψ
23
x
3
)+
+
x
T
1
x
T
3
Ψ
11
− Ψ
12
Ψ
−1
22
Ψ
T
12
Ψ
13
+ K
T
11
− Ψ
12
Ψ
−1
22
Ψ
23
(Ψ
13
+ K
T
11
− Ψ
12
Ψ
−1
22
Ψ
23
)
T
Ψ
33
− Ψ
T
23
Ψ
−1
22
Ψ
23
x
1
x
3
Ψ
22
< 0
K
11
Ψ
13
+ K
T
11
− Ψ
12
Ψ
−1
22
Ψ
23
= 0 ,
x
Θ
Ψ − µP
T
P < 0 , Ψ − µQ
T
Q < 0 ,
µ > 0
P = P
L
P
R
Q = Q
L
Q
R
r
P
r
Q
P Q
j
Ψ + P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP < 0
P P
L
j P
R
P
T
L
P
L
P
R
P
T
R
Q
T
L
Q
L
Q
R
Q
T
R
Ψ = Ψ
T
∈
R
n×n
P ∈ R
l×n
Q ∈ R
k×n
P = r
P
< n
Q = r
Q
< n
W
T
P
ΨW
P
< 0 , W
T
Q
ΨW
Q
< 0 ,
W
P
P
W
Q
Q
Z L kLk < 1
µ > 0
Θ = (Q
T
L
)
+
KP
+
L
+ Z − (Q
T
L
)
+
Q
T
L
ZP
L
P
+
L
,
K = µS
1/2
L(P
R
ΦP
T
R
)
−1/2
− µQ
R
ΦP
T
R
(P
R
ΦP
T
R
)
−1
,
Φ = (µQ
T
R
Q
R
− Ψ)
−1
> 0 ,
S = µ
−1
I − Q
R
[Φ − ΦP
T
R
(P
R
ΦP
T
R
)
−1
P
R
Φ]Q
T
R
,
+
Θ
K = Q
T
L
ΘP
L
Ψ + P
T
R
K
T
Q
R
+ Q
T
R
KP
R
< 0 ,
µ > 0
Ψ + P
T
R
K
T
Q
R
+ Q
T
R
KP
R
+ µ
−1
P
T
R
K
T
KP
R
< 0 .
µ(µ
−1
KP
R
+ Q
R
)
T
(µ
−1
KP
R
+ Q
R
) + (Ψ − µQ
T
R
Q
R
) < 0 ,
µQ
T
R
Q
R
−Ψ = Φ
−1
x
T
Ψx < 0 x
N(Q) Q N(Q) = N(Q
T
Q)
x
T
Q
T
R
Q
T
L
Q
L
Q
R
x = 0 Q
T
L
Q
L
Q
R
x = 0 x
T
Ψx < 0 x
Q
R
x = 0
µ > 0 Ψ − µQ
T
R
Q
R
< 0 Φ
Φ > 0
µ
−1
I µ
−1
KP
R
+ Q
R
(µ
−1
KP
R
+ Q
R
)
T
Φ
−1
> 0 ,
µ
−1
I > (µ
−1
KP
R
+ Q
R
)Φ(µ
−1
KP
R
+ Q
R
)
T
.
[µ
−1
K + Q
R
ΦP
T
R
(P
R
ΦP
T
R
)
−1
](P
R
ΦP
T
R
)[µ
−1
K + Q
R
ΦP
T
R
(P
R
ΦP
T
R
)
−1
]
T
<
< µ
−1
I − Q
R
[Φ − ΦP
T
R
(P
R
ΦP
T
R
)
−1
P
R
Φ]Q
T
R
.
¯
L = µ
−1
K + Q
R
ΦP
T
R
(P
R
ΦP
T
R
)
−1
,
S = µ
−1
I − Q
R
[Φ − ΦP
T
R
(P
R
ΦP
T
R
)
−1
P
R
Φ]Q
T
R
,
¯
L(P
R
ΦP
T
R
)
¯
L
T
< S .
S > 0
µ
−1
I − Q
R
[Φ − ΦP
T
R
(P
R
ΦP
T
R
+ ν
−1
I)
−1
P
R
Φ]Q
T
R
> 0
ν > 0
µ
−1
I > Q
R
(Φ
−1
+ νP
T
R
P
R
)
−1
Q
T
R
.
Ψ + P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP < 0
Φ
−1
+ νP
T
R
P
R
− µQ
T
R
Q
R
= νP
T
R
P
R
− Ψ > 0 ,
ν > 0
L = S
−1/2
¯
L(P
R
ΦP
T
R
)
1/2
,
kLk < 1 .
K = µS
1/2
L(P
R
ΦP
T
R
)
−1/2
− µQ
R
ΦP
T
R
(P
R
ΦP
T
R
)
−1
.
K = Q
T
L
ΘP
L
P
L
Q
L
P
+
L
= (P
T
L
P
L
)
−1
P
T
L
, (Q
T
L
)
+
= Q
L
(Q
T
L
Q
L
)
−1
,
Θ = (Q
T
L
)
+
KP
+
L
+ Z − (Q
T
L
)
+
Q
T
L
ZP
L
P
+
L
Z Θ
µ > 0 µQ
T
R
Q
R
−
Ψ > 0 L kLk < 1 Z
Θ
Ψ
i
+ P
T
i
Θ
T
Q
i
+ Q
T
i
ΘP
i
< 0 , i = 1, . . . , N ,
Ψ
i
(n
i
×n
i
)
P
i
Q
i
(l ×n
i
) (k ×n
i
)
Θ (k × l )
Θ
W
T
P
i
Ψ
i
W
P
i
< 0 , W
T
Q
i
Ψ
i
W
Q
i
< 0 , i = 1, . . . , N ,
Ψ
1
=
−1 4
4 −1
, Ψ
2
=
−1 −4
−4 −1
,
P
i
= P = (0 1) , Q
i
= Q = (1 0) , i = 1, 2 .
W
P
= Q
T
W
Q
= P
T
W
T
P
Ψ
i
W
P
= W
T
Q
Ψ
i
W
Q
= −1 < 0 , i = 1, 2 .
Θ
Ψ
1
+ P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP =
−1 Θ + 4
Θ + 4 −1
< 0 ,
Ψ
2
+ P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP =
−1 Θ − 4
Θ − 4 −1
< 0 .
|Θ + 4| < 1
|Θ − 4| < 1 Θ
Ψ + P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP < 0
P
i
= P Q
i
= Q
i = 1, . . . , N
Ψ
i
+ P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP < 0 , i = 1, . . . , N ,
Ψ
0
Ψ
i
Ψ
i
= Ψ
T
i
∈
R
n×n
i = 1, . . . , N P ∈ R
l×n
Q ∈ R
k×n
P = r
P
< n Q = r
Q
< n
Θ ∈ R
k×l
Ψ
0
≥ Ψ
i
, i = 1, . . . , N
W
T
P
Ψ
0
W
P
< 0 , W
T
Q
Ψ
0
W
Q
< 0 ,
W
P
P
W
Q
Q
Θ
Ψ
0
+ P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP < 0 .
Ψ
0
≥ Ψ
i
, i = 1, . . . , N
Ψ
i
+ P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP ≤ Ψ
0
+ P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP < 0 .
Θ
ε > 0
Ψ
i
+ P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP + εI < 0 , i = 1, . . . , N .
Ψ
0
= −(P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP + εI) ,
Ψ
0
≥ Ψ
i
i = 1, . . . , N
Ψ
0
+ P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP = −εI < 0 ,
W
T
P
W
P
W
T
Q
W
Q
P
Q Q
W
T
P
Ψ
0
W
P
< 0 .
P Q
Q = I
Ψ
i
+ P
T
Θ
T
+ ΘP < 0 , i = 1, . . . , N .
Ψ
i
= Ψ
T
i
∈
R
n×n
i = 1, . . . , N P ∈ R
l×n
P = r
P
< n
Θ ∈ R
k×l
W
T
P
Ψ
i
W
P
< 0 , i = 1, . . . , N .
Ψ
i
− µ
i
P
T
P < 0 , i = 1, . . . , N
µ
i
> 0 µ = max
i
µ
i
Ψ
i
− µP
T
P < 0 , i = 1, . . . , N .
Θ = −(1/2)µP
T
Ψ
i
+ P
T
Θ
T
+ ΘP < 0 , i = 1, . . . , N .
Ψ + P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP < 0