Бейли Н. Математика в биологии и медицине

Подождите немного. Документ загружается.

РОЛЬ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ 111

ность можно

значительной мере исключить путем хорошего про-

граммирования.

Как мы

видели,

обычной настольной счетной

машине

также имеются очень большие возможности появления

ошибок

при

повторных вычислениях.

При

этом только крупные

ошибки

выявляются сразу,

а для

того, чтобы предупредить

накопление

небольших ошибок, требуется проводить тщательные

проверки

на

всех

этапах. Эти проверки составляют важную часть

всей последовательности вычислений.

Но

ведь такие

же про-

верки

составляют неотъемлемую часть программы электронной

вычислительной машины. Вследствие своего большого быстродей-

ствия электронная вычислительная машина позволяет осуществить

значительно больше арифметических проверок,

чем

настольная

счетная машина. Следовательно,

при

хорошо составленной

про-

грамме электронная вычислительная машина обеспечивает вовсе

не

меньшую,

значительно большую надежность результатов.

Выше

шла

речь

об

ошибках, появляющихся из-за недостаточ-

ного контроля

за

операциями, выполняемыми вычислительной

машиной;

но

возможны также ошибки, обусловленные повреж-

дениями

электронной схемы. Для выявления таких ошибок можно,

например,

предусмотреть автоматическую остановку вычисли-

тельной машины при появлении ошибок, обнаруживаемых

так на-

зываемой проверкой

на

четность.

большинстве машин числа

хра-

нятся

двоичной записи

как

последовательность нулей

единиц.

Можно

приписать дополнительную цифру, равную нулю или еди-

нице,

зависимости

от

того, четной или нечетной является сумма

единиц

каждом хранящемся числе.

определенные моменты

времени,

например

при

считывании числа

из

запоминающего

устройства, приписанную цифру можно сверить

самим числом.

Такую

схему

проверки нельзя, конечно, считать абсолютно надеж-

ной,

так как

могут

возникать компенсационные ошибки;

но она

все

же

очень полезна

тем, что

привлекает внимание

ошибкам,

вызываемым неполадками

электронной схеме.

Таковы некоторые основные идеи, связанные

применением

электронных вычислительных машин. Широкое распространение

вычислительной техники радикально повлияло

на

наши вычисли-

тельные возможности,

на

масштабы обработки данных

и в

итоге

—

на

общее направление научно-исследовательских работ

выбор

методов

их

осуществления.

этому аспекту

мы еще

вернемся

разд.

5.5 и 5.6, а

пока более внимательно рассмотрим некото-

рые основные задачи,

для

решения которых целесообразно приме-

нение

вычислительных машин,

методы, позволяющие исследо-

вателям использовать преимущества этой новой техники.

Прекрасным

пособием

для

знакомства

вычислительными

методами может служить недавно вышедшая книга Холлингдейла

Тутилла

[35].

112

ГЛАВА

5.2. НАУЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И

ЧИСЛЕННЫЙ

АНАЛИЗ

Как

уже было сказано, одно из важнейших достоинств элек-

тронной

вычислительной машины — ее способность выполнять

с большой скоростью огромное множество арифметических дей-

ствий.

Поэтому естественно, что вычисления, выполнявшиеся ра-

нее на настольных счетных машинах, в настоящее время все чаще

производят на электронных вычислительных машинах. Кроме

того, теперь стало возможным численное решение многих задач,

которые ранее считались слишком сложными или громоздкими.

Мы

уже говорили о том, что если программы вычислительных

машин

надлежащим образом испытаны и предусматривают

выполнение

необходимых проверок, то повышается не только ско-

рость вычислений (на несколько порядков), но и их точность,

а также значительно увеличивается

охват

материала и гибкость

программы. Тем не менее необходимо соблюдать известную осто-

рожность, чтобы некоторые трудности, характерные для настоль-

ных счетных машин, не проявились здесь в еще более резкой форме.

Решение

огромного множества научных задач, требующее спе-

циальных вычислений, связано с областью математики, обычно

называемой

численным

анализом.

Сюда относятся методы интер-

поляции,

сглаживания (подбора) кривых, численное дифференци-

рование и численное интегрирование, суммирование рядов, реше-

ние

алгебраических и трансцендентных уравнений, обыкновенных

дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений

частных производных, вычисление коэффициентов корреляции

коэффициентов множественной регрессии, статистическая обра-

ботка экспериментальных результатов и т. д. При решении

всех

этих задач весьма возможно появление ошибок, если вычисления

производят лица, не имеющие хотя бы минимальной математиче-

ской

подготовки. Вопрос о том, какой именно уровень подготовки

нужно установить, служит предметом бурных споров. В прошлом

очень многие ученые, обладавшие умеренными математическими

познаниями,

умели выполнять все виды

трудных

числовых расче-

тов для собственных нужд, не получая слишком неблагоприятных

отзывов о своей работе со стороны профессиональных математиков.

Однако с появлением больших дорогостоящих электронных вычис-

лительных машин и возникновением крупных вычислительных

лабораторий занятый здесь персонал нередко принимает большое

личное участие в численных расчетах и проявляет к ним профес-

сиональный

интерес. При этом затушевывается тот факт, что при

выполнении

сложных численных расчетов независимо от того,

используется настольная счетная машина или же автоматическое

вычислительное устройство,

существует

реальная опасность появ-

ления

ошибок.

РОЛЬ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ ИЗ

Пусть, например, принято допущение (вероятно, ошибочное),

что для решения некоторой практической научной задачи необ-

ходимо просуммировать бесконечный ряд

, i_ 1 1

' 2 ' 3 ' Т' *

Исследователь нематематик, которому неизвестны строгие усло-

вия

сходимости рядов такого типа, естественно, решит, что нужно

последовательно суммировать члены ряда до тех пор, пока не ока-

жется, что добавление новых слагаемых мало меняет

сумму.

Вначале ряд сходится довольно медленно. Если взять первые сто

членов, то сумма их составит около 5,19, и при этом последний

член

будет

равен всего 0,01. Добавление еще 10 членов, каждый

из

которых не превышает 0,01, увеличит

сумму

почти на 0,1. При

выполнении

этих вычислений на настольной счетной машине (до-

вольно трудоемкая работа) наблюдательный исследователь легко

придет к выводу, что здесь что-то не так. Обратившись за консуль-

тацией к математику, он сразу узнает о том общеизвестном факте,

что в действительности этот ряд расходится и в зависимости от

числа членов сумма его может оказаться сколь угодно большой.

Это,

вероятно, заставит его сделать вывод, что первоначально при-

нятое

допущение в чем-то ошибочно и его необходимо тщательно

исследовать и изменить. Посмотрим теперь, что произойдет, если

для суммирования такого ряда

будет

запрограммирована вычис-

лительная машина. Обычно в учебниках рекомендуется прекра-

щать вычисления, если последнее слагаемое меньше некоторого

произвольно выбранного малого числа. Но это правило может ока-

заться неудовлетворительным

даже

для абсолютно сходящихся

рядов (если ряд сходится очень медленно), не говоря уже о расхо-

дящихся. Однако вычислительная машина и в этом

случае

все же

выдаст конечное число и, следовательно, допустит

грубую

ошиб-

ку, поскольку конечного результата здесь вообще не

существует.

Обычно ряды, подлежащие суммированию, сходятся довольно

быстро, и никаких трудностей не*возникает. Например, никаких

"' л л л

затруднений не вызывает ряд 1,—о"

-Q-

»—4~ ' """ " ^°

иног

опшбка

такого рода может быть допущена как раз

тогда,

когда

решается какая-то важная задача.

В такие по

существу

математические ловушки исследователь

может попасть из-за отсутствия необходимых математических зна-

ний

или неумения применять их на практике. Можно привести

множество

других,

более сложных примеров. Например, стандарт-

ные

формулы для численного интегрирования определенной функ-

ции

могут

оказаться непригодными, если в области интегрирова-

ния

функция имеет особенность. Часто эту трудность можно обой-

ти с помощью каких-либо преобразований, сделанных перед нача-

114

ГЛАВА

лом вычислений. Аналогичные проблемы часто возникают и при

решении

дифференциальных уравнений.

Другой возможный источник ошибок заключается в том, что

машине числа приходится представлять в виде десятичных

дробей с точностью, зависящей от емкости ее запоминающего

устройства. Это приводит к ошибке округления, достигающей

иногда половины единицы последнего десятичного разряда. Округ-

ление любых отдельно взятых чисел, особенно чисел, представляю-

щих собой исходные значения или данные, может не иметь суще-

ственного значения, однако округления в процессе последующих

расчетов

могут

привести к серьезной погрешности. Многим извест-

но

об опасностях, связанных с вычитанием одного числа из очень

близкого к нему

другого

числа. Так, если числа

100,02

100,03

заданы с точностью до пяти значащих

цифр,

то разность

между

ними

0,01 может содержать ошибку до единицы второго десятич-

ного разряда и вообще не иметь точных значащих

цифр.

При пла-

нировании

вычислений необходимо проявлять большую осторож-

ность,

чтобы избежать потери значащих цифр на промежуточных

этапах, ибо при длительных вычислениях ошибка, накапливае-

мая

результате

округления, может иметь катастрофические

последствия. При выполнении вычислений на настольной счет-

ной

машине внимательный и опытный оператор

сумеет

заметить

основные

источники неполадок в

случае

их появления и либо при-

мет необходимые меры, либо обратится за консультацией к соста-

вителю задачи. Однако операторов требуемой квалификации часто

не

хватает,

и, кроме того, при длительной работе человек может

устать

тогда

внимание его ослабевает. При автоматических

вычислениях, как уже было сказано, невозможно исследовать про-

межуточные этапы, и поэтому в программу необходимо вводить

соответствующие операции, предупреждающие появление ошибок.

Во многих случаях составить программу, надежно защищенную

от ошибок, бывает довольно трудно и это

требует

много времени;

но

если такая программа уже составлена, то ее можно использовать

сколь

угодно часто, не опасаясь возникновения ошибки.

Необходимость отбрасывать большое число десятичных разря-

дов иногда может приводить к результатам, которые менее оче-

видны на практике, но

могут

иметь серьезные последствия.

Возьмем, например, многочлен

Его нулями являются целые числа 1, 2, 3, . . ., 20. Поэтому при

любом математическом методе нахождения нулей многочлена

записанного

в правой части равенства, должны быть получены

именно

эти числа (во всяком случае, если вычисления

могут

быть

выполнены

с абсолютной точностью). Но допустим, что

коэффи-

РОЛЬ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ 115

циент

при втором члене определен с небольшой погрешностью

вместо 210 мы имеем 210 + 2~

. Если мы теперь начнем искать

нули этого видоизмененного многочлена, снова предполагая, что

вычисления

производятся с абсолютной точностью, то естественно

ожидать, что новые нули не

будут

в точности равны первоначаль-

ным,

но что различия

будут

весьма невелики. Однако полной

неожиданностью для нас явится тот факт, что первоначальные

целочисленные нули 16 и 17 в действительности заменяются парой

сопряженных комплексных чисел, приближенно равных 16,7 ±

2,8i, где мнимая часть довольно значительна. Если иметь

виду,

что в большинстве вычислительных машин все

коэффи-

циенты

вычисляются с небольшими погрешностями, величина

которых зависит от того, как был получен многочлен, то понятно,

что в отдельных случаях небольшие ошибки

могут

увеличиться

до огромных размеров. При этом

следует

учесть, что для упроще-

ния

мы пренебрегли ошибками округления, появляющимися в про-

цессе вычитания чисел.

Неустойчивость может быть также связана с применяемым

методом вычислений, а не с характером самой задачи, как в описан-

ном

только что случае. Поэтому к выбору метода вычислений необ-

ходимо подходить с большой осторожностью. Часто для получения

достаточно точных результатов необходимо вычислять нули много-

члена в определенном порядке. Известный метод Рунге — Кутта,

используемый для интегрирования обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений некоторых типов, также может оказаться ненадеж-

ным,

когда решение содержит показательные функции с отрица-

тельными показателями степени или четные тригонометрические

функции.

Возможны также некоторые

другие

виды неустойчи-

вости, и, только обладая достаточными знаниями в области числен-

ного анализа, можно определить, удастся ли избежать^неустойчи-

вости при решении определенной задачи с помощью надлежащим

образом выбранного метода.

Ясно,

что в идеале любые вычисления, выполняемые как на

настольной счетной машине, так и на электронной вычислитель-

ной

машине, должны были бы подвергаться тщательному иссле-

дованию, выполняемому квалифицированным специалистом в об-

ласти численного анализа, но это, к сожалению, осуществимо

далеко не всегда. Решение проблемы, по-видимому, заключается

том, чтобы все научные работники, как самостоятельно выпол-

няющие

свои вычисления, так и составляющие программы для

вычислительных машин, приобрели хотя бы такие познания в мате-

матике,

чтобы отчетливо понимать, в каких случаях им нужно

обратиться за советом к специалисту.

Вполне вероятно, что в реальной научной работе такие дейст-

вительно сложные проблемы возникают не столь часто, как это

116

ГЛАВА

склонны

считать математики, хорошо знакомые с такими печаль-

ными

примерами. На основе статистики можно показать, что, как

правило,

накапливаемая ошибка округления

будет

приводить к не-

допустимой погрешности довольно редко. Кроме того, появление

чрезвычайно неточных результатов вследствие, например, возник-

новения

различных видов неустойчивости часто легко обнару-

живается по их явному несоответствию физическим или биологи-

ческим особенностям исходной задачи. Часто практическая интуи-

ция,

основанная на хорошем знании исследуемого реального

явления,

позволяет предвидеть характер возможных математиче-

ских затруднений. Не

следует

недооценивать значения общей

научной интуиции. Именно ей мы обязаны, по-видимому, тем, что

ученые допускают

грубые

числовые ошибки не так уж часто, как

этого можно было бы ожидать. Но если ученый имеет возможность

работать в тесном сотрудничестве с профессиональным матема-

тиком,

для которого исследуемая проблема также представляет

определенный интерес, то это, конечно, в высшей степени полезно.

Хорошим введением в элементы численного анализа, где спе-

циально

рассматривается использование вычислительных машин

в научных исследованиях, может служить книга Хемминга [33].

5.3. ОБРАБОТКА ДАННЫХ

В разд. 5.1 мы уже указывали, что электронная вычислитель-

ная

машина способна не только выполнять с огромной скоростью

арифметические действия, но и хранить огромное количество дан-

ных. Это привело к развитию новой широкой области математики,

связанной

обработкой

данных.

Эта область в значительной сте-

пени

отличается от численного анализа, хотя обе они, безусловно,

взаимосвязаны

и дополняют

друг

друга.

В большинстве научных дисциплин, а также в области права,

торговли, промышленности, государственного управления и т. д.

непрерывно

накапливается огромное количество все более слож-

ных данных, зафиксированных в виде записей. В сфере админи-

стративного управления записи используются для установления

различных правил и предписаний, в сфере науки — для формули-

ровки

и проверки научных гипотез. Как показано в гл. 2, в

неко-

торых случаях удобно обобщать большое количество численных

данных путем применения соответствующего статистического

метода. Если вычислены надлежащие статистические показатели,

то они

могут

использоваться и при последующих численных рас-

четах,

и при этом не возникает необходимости снова детально

изучать исходный материал. Однако нередко исходные данные

необходимо сохранять почти полностью в их первоначальном

виде — как для проверки различных методов исследования, так

РОЛЬ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ 117

потому, что некоторые из них

могут

иметь особо важное зна-

чение.

В простейшем

случае

регистрация данных связана с хранением

исходных документов — семантической информации или результа-

тов количественных измерений. Если документов очень много,

то их необходимо расклассифицировать и хранить по определен-

ной

системе; при этом нужна специальная картотека, позволяю-

щая

быстро найти любой требуемый материал. Огромное мно-

жество историй болезни в больницах и в поликлиниках хранится

именно

в такой форме. В этом

случае

можно сравнительно быстро

найти

истории болезни отдельных больных, но когда требуется

получить сводные данные в виде таблиц, показывающих частоту

появления

тех или иных событий или связь

между

различными

аспектами материала, обычно возникают почти непреодолимые

трудности, если только не принимаются специальные меры,

облегчающие такой анализ. При небольшом числе факторов удобно

проводить текущие проверки соответствующих вопросов по мере

накопления

записей. Например, больных, поступающих в боль-

ницу

на стационарное лечение, можно регистрировать в специаль-

ной

книге, где записывается возраст, пол, диагноз, длитель-

ность пребывания в больнице, фамилия лечащего врача и т. д.,

а затем каждую неделю или каждый месяц составлять специальные

таблицы, отражающие их состояние вплоть до выписки. Выпол-

нение

такого рода исследований обычными канцелярскими мето-

дами

требует

больших затрат

труда

и времени, нередко бывает

неточным,

значительно ограничивает объем материала, который

можно обработать, и позволяет применять лишь ограниченное

число методов анализа.

Более совершенный метод — запись соответствующих данных

на

специальные карточки, на которых пробиваются определенным

образом расположенные отверстия, кодирующие классификацию

данных. Эти отверстия (перфорации)

могут

пробиваться у краев

карты,

как в системе Коуп-Чета и системе Макби, так что сорти-

ровку карт можно выполнять

вручную

на конторском столе с по-

мощью спицы или какого-либо

другого

инструмента. Например,

отверстие может означать отсутствие определенного фактора,

а сквозная щель или прорезь — его присутствие. Вставляя спицу

пачку карточек через отверстие, занимающее определенную пози-

цию,

и приподнимая спицу, можно отсортировать все карточки

с прорезями, соответствующие группе больных, у которых наблю-

дается данный фактор. При надлежащем выборе комбинаций

доверстий можно получить численную или алфавитную класси-

фикацию.

Еще удобнее использовать всю площадь карточки. Так, типич-

ная

перфокарта вычислительной машины IBM имеет 80 столб-

118

ГЛАВА

цов

по 12 перфорационных позиций в каждом. Это позволяет

записать значительно большее количество информации, и такие

карты можно сортировать и подсчитывать автоматически с помощью

электрического датчика, сообщающего о наличии отверстия в дан-

ной

перфорационной позиции. В настоящее время во многих

больницах помимо основных историй болезни

ведутся

записи

на

перфокартах, используемые для административных и научных

целей.

Такой метод обработки материала все же еще довольно гро-

моздок и

требует

много времени, хотя это значительный шаг вперед

по

сравнению с сортировкой карточек

вручную

на столе. Он зна-

чительно облегчает составление обычных административных отче-

тов, если только они не требуются слишком часто. Обычно нетрудно

найти

годовые или квартальные цифры, но данные за сутки

большинстве случаев получить невозможно. Составить представ-

ление об общем положении дел можно довольно быстро, но деталь-

ные

исследования, сопряженные с составлением больших много-

координатных таблиц и, главное, с проведением сложных стати-

стических вычислений,

могут

оказаться невыполнимыми.

В настоящее время электронные вычислительные машины

позволяют в огромной степени ускорить обработку таких записей.

Для

удобства

данные переносят сначала из первоначальных запи-

сей на перфокарты. Затем машина считывает информацию, записан-

ную на перфокартах, и хранит ее на магнитных дисках или магнит-

ной

ленте в очень компактной и удобной форме. Вся последующая

обработка и анализ данных выполняются машиной с очень боль-

шой

скоростью. По мере надобности данные, хранящиеся в маши-

не,

считывают с магнитного диска или магнитной ленты, но и эта

операция

производится очень- быстро. Кроме того, в

результате

однократного просмотра хранимого материала можно составить

большое число сводных таблиц или выполнить

другие

виды анали-

за. Сравним эти возможности с трудоемкой многократной сорти-

ровкой

оригинальных карточек, производимой при описанных

выше механических методах классификации. Если требуется обра-

ботать лишь несколько сотен записей, то это можно сделать на кон-

торском столе, используя оригинальные документы или их вариан-

ты на карточках с краевой перфорацией. Однако если имеется

несколько

тысяч записей, то почти всегда стоит приложить допол-

нительные усилия, чтобы передать материал на хранение в электро-

магнитное запоминающее устройство и составить соответствующие

программы для вычислительной машины, позволяющие обрабаты-

вать данные, записанные в таком виде. Это значительно повышает

скорость, точность и гибкость обработки. Вопрос повышения ско-

рости вряд ли нуждается в специальном комментарии. Точность

повышается благодаря

тому,

что вычисления производятся почти

без вмешательства человека и имеется возможность предусмо-

РОЛЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ 119

треть большое число перекрестных проверок

испытаний непро-

тиворечивости. Увеличение гибкости означает,

что

значительно

расширяется диапазон возможных видов анализа

и что

операции

сортировки

обработки данных

могут

играть роль предваритель-

ного этапа научных вычислений,

которых шла речь

предыдущем

разделе. Примерам взаимосвязи

между

обработкой данных

науч-

ными

вычислениями

будет

уделено особое внимание

в гл. 11 и 12.

Наряду

обработкой данных, компактно представленных

обычном письменном

или

печатном виде,

существует

проблема

обработки большого количества сырого материала такого типа,

как,

например, электрокардиограммы, электроэнцефалограммы

т. п.

Существуют самые различные способы анализа таких дан-

ных,

выбор какого-либо одного

из

них зависит

от

специфики кон-

кретной

задачи, стоящей перед исследователем.

Но

смысл любого

такого способа заключается

по

существу

увеличении отношения

сигнала

шуму,

с тем

чтобы более отчетливо выявить основные

характеристики формы сигнала.

Так,

усреднение реакции

дает

возможность получить более четкую картину формы повторяюще-

гося сигнала. Этот метод очень ценен, если известно,

что

опреде-

ленные формы сигнала имеют диагностическое значение. Кроме

того, можно попытаться выделить основные компоненты колеба-

ний

помощью частотного анализа.

В тех

случаях когда основной

биологический процесс имеет характер случайной функции, может

оказаться предпочтительным корреляционный подход.

настоя-

щее время

все эти

методы можно применять

реальном масштабе

времени,

когда наблюдаемые величины

виде электрических

напряжений

вводятся непосредственно

соответствующую вычис-

лительную машину.

Для

некоторых целей вполне удобна анало-

говая техника, которая часто применяется

на

первом этапе

исследований. Однако

при

использовании ряда более сложных

математических методов необходимо преобразовывать данные

цифровую форму.

Дальнейшее развитие методов обработки данных

на ЭВМ

реальном масштабе времени привело

созданию систем автома-

тического обследования больных. Сейчас разрабатываются систе-

мы,

позволяющие непрерывно регистрировать различные показа-

тели состояния больного (температура, частота пульса, кровяное

давление, частота дыхания

и т. д.).

Прежде всего, конечно, нужно

найти

удовлетворительные способы, которые позволяли

бы

непре-

рывно

измерять

регистрировать эти физиологические параметры,

надлежащим образом представлять

их

визуально, получать

сиг-

налы

наступлении тревожного

или

опасного состояния

и т. п.

без применения сложных вычислительных методов.

Но в тех слу-

чаях, когда, например, необходимо анализировать форму сигналов

на

электрокардиограммах

электроэнцефалограммах, вычисли-

120

ГЛАВА

тельные методы

могут

оказаться крайне полезными. Предпола-

гается, что в общем

случае

системы автоматического обследова-

ния

больных позволят очень быстро определить резкое

ухудшение

состояния

у тяжелых больных. При возникновении тревожных

или

опасных ситуаций медицинские сестры и врачи должны при-

нимать

соответствующие меры. Однако вполне возможно преду-

смотреть автоматическое выполнение некоторых терапевтических

приемов,

особенно в тех

случаях,

где важна быстрота.

Еще один тип обработки данных возникает в рамках задачи

распознавания

образов, например при автоматической классифи-

кации

хромосом. Для оценки фотографических данных исполь

зуются методы электронного сканирования, позволяющие перейти

от графической формы к цифровому коду и путем вычислений

произвести соответствующий анализ.

Широкое

обсуждение современных работ в области получения

обработки данных читатель может найти в опубликованных тру-

дах Рочестерских конференций [19—21].

5.4. ПРОГРАММИРОВАНИЕ

После

того как установлено, к какому общему типу относится

задача, которую требуется решить, и выбран подходящий метод

анализа (идет ли речь об обработке данных, численном анализе

или

же некоторой комбинации того и другого), вычислительная

машина

должна получить инструкцию, в какой последовательно-

сти должны выполняться вычисления. Как уже указывалось

разд. 5.1, это делается с помощью надлежащим образом состав-

ленной

программы, т. е. последовательности команд. Таким обра-

зом,

программирование составляет существенный элемент иссле-

дования,

связанного с использованием электронных вычисли-

тельных машин. Обычно составлением новых программ или пере-

делкой существующих занимаются специально подготовленные

программисты (так же как при широком использовании настольных

счетных машин целесообразно иметь квалифицированных операто-

ров).

В обоих случаях важно, однако, чтобы составитель задачи

имел определенные сведения о типе машины, которая

будет

производить вычисления, так как это может оказать решаю-

щее влияние на выбор метода анализа. Этого вопроса мы коснемся

разд. 5.5. Здесь же для тех, кто, возможно, не знаком с этим

вопросом,

будут

рассмотрены основные аспекты программиро-

вания.

Прежде всего заметим, что, хотя в большинстве электронных

вычислительных машин числа выражаются в двоичной системе

т. е. в виде определенной последовательности нулей и единиц,

для целей программирования исходные данные или числа, входя-