Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Следствие I. Если функции, связанные усланными уравне-

ниям» (Х.47), не имеют общих аргументов, то веса функции должны

вычисляться по обычной формуле теории ошибок

~ = —а?! ц та;.'/! +

•

-г Яп

(Х.66)

н прн уравнивании эти функции можно рассматривать как резуль-

таты измерений.

Действительно, в атом случае все неквадратнчные коэффициенты

в выражении (Х.60) равны пулю и матрица ()' становится диагональ-

ной, т. е.

'[да\] 0 ... О

<Г--|

И]'"

о о . . .

Па основе следствия 1 легко показать правомерность раздель-

ного уравнивания многократных измерении отдельных величин н

средних весовых, что сделано другим путем в § 56. Из этого же след-

ствия вытекает правомерность раздельного уравнивания станций н

сети, поскольку уравненные, на разных станциях угловые и линей-

ные величины не имеют общих аргументов.

Следствие 2. Если уравниваемые фупкцнн взаимно ортогональны,

го прп равноточных измерениях веса функций можно вообще не учи

тывать. так как в этом случае

(>' = а<?а

= аа

—

/:,

где Е — единичная .матрица и, следовательно,

СС

=АА

. (Х.07)

В некоторых случаях может оказаться целесообразным постро-

ение специальной системы взаимно ортогональных функций.

Стедствпе 3. Пусть имеются две группы измеренных значений

величин и поправок к ним

и}

и V]. Предположим далее, что функции,

входящие в систему (Х.4С), зависят только от аргументов норной

группы, тогда функции результатов измерений можно уравнивать

сов.честпо с измеренными значениями величин, относящимися ко

второй группе, иод условием (/^'б

! -{- \рV"~\ = тт. Это следует

из доказанной эквивалентности выражений \Р'6

| = ннп н =

= 11111».

Покажем теперь, что доказанную теорему легко обобщить па слу-

чай с/южных функций (т. е. функций от функций). Пусть имеются

матричные равенства

1Х.0Ч

ру I

В которых величины 7л связаны системой условных уравнелии

А2-ИУ«=0, (Х.09)

или, с учетом выражении (Х.С8),

драУ-г^-О.

(X .70)

Уравнивание под условием = т"ш приведет к системе нор-

мальных уравнении коррелат

(Лрсс)'/(Лр а)

А-Ч-И'^0

пли

Л рада

рЛ

к , И=0. (Х/П>

Выполним теперь уравнивание под условием 1Р

6г) = гтп, где

— поправки в сложную функцию г {«/ (г)}. Для ЭТОГО в соответ-

ствии с доказанной теоремой построим весовые матрицы

(X .72)

<?*=Ш

Система нормальных уравнений, соответствующая системе ус-

ловных уравнений (Х.С9), примет вид

Л<?

*+И

=°. (ХЛЗ)

Подсгавнм в ])авенство (Х.ТЗ) выражения ()

и (),, из равенств

(Х.72). Тогда

Л(?,Л

к +

И*

Лр<?^р

А:

И'

= Лрада

А'+И' =0. (Х.7'.)

Последнее равенство тождественно совпадает с равенством (Х.71),

что и требовалось доказать.

23 Заказ II >0

П р п л о ж е п и е

е«

1 _ —5"

Значения фуикп""

11><М

-а

<•<<)

-й

Ф СО

Ч=(0

0,00

0.10

0.20

0,30

0,399

397

391

381

1,00

1,10

1,20

1,30

0,242

218

194

171

2,00

2,10

2,20

2,30

0.054

044

036

028

3,00

3,10

3,20

3,30

0,004

003

002

0,40

368

1,40

150

2,40

022

3,40

001

0,50

352

1,50

130

2,50

018

3,50

]

001

0,60 333

1,60

111

2,60

014

| 3,60

0,001

0,70

312

1,70

094

2,70

010

1 3,70

с *

0,80

290

1,80

079

2,80

008

0,90

266

1,90

066

2,90

ООО

1,00

242

2,00

054

3,00

004

(А)

»{>

(I) (II,

= «-т-'-

"--г-

334

Вероятности

ф(I)

Р к л

о ж е

н и

с 2

-I

% У I»

= р),

' ГУ1

^-злдаш.ые „редели изменен»»

ФС)

<мо

а |

ф<0

ф<«)

0,00

0,000

1,00

0,683

2,00

0,955

3,00

0,997

0,10

0,080

1,10

0,729

| 2,10

0,964

3,10

0,998

0,20

0,159

1,20

0,770

2,20

0,972

3,20

0,999

0,30

0,236

; 1,30

0,806

2,30

0,979

3,30

0,999

0,40 0,311

1,40

0,838

2,40

0,984

3,40

0,999

0,50

0,383

1,50

0,866

2,50

0,988

3,50 1,000

0,60

0,451

1,60

0,890

2,60

0,991

0,70

0,516

1,70

0,911

2,70

0,993

0,80

0,576

1,80

0,928

2,80

0,995

0,90

0,632

1,90

0,943

2,90

0,996

1,00

0.683

2,00

0,955

3,00

0,997

23*

355

Значении

т!

Приложение

'°

(распределение Нуаесонл)

и»

да 0,1

а _ 0,2

«=0.3

а=0,4

а = 0,в о = 0.7 |

а = 8,8

«=0.9

0.9048

0,8187 0.7408

0.6703 0.6065

0.5488

0.4966

0,4493 0,4060

0.0905 0.1638

0.2222

0.2681

0.3033 0.3293

0,3476 0,3595'

0.3659

0.0045 0,0164

0,0333

0,0536

0,0758 0.0988

0.1217

0.1438

0.1647

0,0002

0.0010

0.0033

0.0072

0,0126

0,0108 0.0284

0.0383

0.0494

0,0002

0,0001

0,0002

0,0007

0.0016

0,0030

0.0050

0,0077

0.0111

0,0002

0.0001

0,0002

0.0004 0.0007

0.0012 0.0020

0.0001

0,0002

0.0001

0.0002

0.0003

о =

о = 2

о = 3

а = 4

о = 5

а-6

Ое"

о = 8 |

а=э|

о—10

0,3679

0.1353

0.0498

0.0183 0.0067

0.0025 0.0009

0.00031 0,0001

0.0000

0.3679

0,2707

0,1494

0.0733 0.0337

0.0149 0,0004 0.0027 0.0011

0.0005

0,1839

0.2707 0.2240 0,1465

0.0842 0.0446

0.0223 0,0107

0.0050

0.0023

0.0613

0,1804 0.2240

0.1954

0.1404

0.0892

0.0521

0.0286

0.0150

0.0076

0.0153

0.0902

0.1680

0.1954

0.1755

0.1339

0,0912

0.0572

0.0337

0.0189

0.0031 0.0301

0,1008

0.1563

0.1755

0.1606

0.1277

0.0916

0.0607

0,0378

Г»

0.0005

0.0120

0.0504

0.1042 0.1462

0.1606

0.1490

0.1221

0.0911

0.0631

0.0001

0.0037

0.0216

0.0595

0,1044

0.1377

0,1490

0.1396

0.1171 0.0901

0.0001

0.0009 0.0081 0.0298

0,0653

0.1033 0.1304 0,1396

0,1318

0.1126

0,0002

0,0027

0.0132

0.0363

0,0088

0.1014

0.1241

0.1318

0,1251

0.0008

0.0053

0,0181

0.0413 0.0710 0,0993

0.1186

0.1251

0.0002

0.0019

0.0082

0.0225 0.0452

0.0722 0,0970 0,1137

0.0001

0.0006

0.0034

0.0126

0.0263

0,0481

0.0728 0.0948

0.0001

0.0002 0.0013

0.0052 0.0142

0.0296

0.0504

0.0729

0.0001

0,0005

0.0022

0,0071

0,0169

0.0324

0.0521

0.0002

0,0009

0,0033

0.0090

0.0194 0.0347

0.0003

О-0014

0.0045

0.0109

0.0217

0.0001

0.0006

0.0021

0.0058

0.0128

0.0002

0.0009

0.0029

0.0071

0,0001

0.0004

0.0014

0,0037

0.0002

0.0006 0.0019

0.0001 0.0003

0.0009

0,0001

0.0004

0.0002

0.0001

Обозначения

таблице соответствуют следующим обозначениям

§ 15:

т = к, с = А

, Рт— Р{к)

•

Таблица заимствована

из

книги

Е. С.

Всптцеиь «Теория вероятностей».

М.,

«Наукал,

1964. 576 с.

356

' ' ГО

.-•ооюсооооо^; лсч

—>

о со о

оёс'РПЙСЮСЙ

СО СС СО 00

Ч-М

^—,

—>

г\)

оо

о гм о

сс >5

гс

—

с-.

зо оо « ^

ос

1-. 3 О О с й й

1ЛI.'.

М1С-О.Г!

оо

оооооооооо

СС Г— О 1П V- ^г СП (М

Пт-^-ООСООИ

СО СО СО

СО

Г- 1--

I— I—

Г- «"» Г- I—

I- «-

г—

Г- О О

-с- >г чг го

л оос^гсгососсстгосо'о

—• — —• —

о оооооооооо

го

—10с50сс1~оло

Э Л Л 1.Т Л Л

1Л о

ООООООООО©

«я оо об

55 СО

ОО М

О Л

1Л Ч-"

^Г^Е-ООООООО ОЮЛЮ^ЙОЮЮШ

» 00

СС

00 СО

СС 00 СС 00 ОС «5 00 ОС СС 00 оо

СО «3

2 ^Л^П-оосс

г-2^ Эслсскос.сокйсо

ООШЙ

— "

ОО

00 со

ООО

чомо»,- -пя^сег-тзсээ ^.м^^юо^оооо

—•

—

„ „ „

^Ч]

МММИМММЯМ^

Г-1 С". Г^ С". 1-- — СЧ

— СС

ЕЙ.С1

00,О О. 1С О Х О О О.

ГО

СГ

Ч- V-1-.• & С-«Т IС^ —_СО О

ОО_

со I-

с. — сч

ед

со

сч го

1-;* со --«л о

г^сс'о —"сч

—Л ^) Г)

л] Л]

—^

т; д ^ >5»

со еч.о с^сч сс с_м

о ос

— со ьо

ос ст.

ом

со V?

сс са г.

—-

•-М'МЙЗсГо~'сч"«.-"ла

СЧ СЧ СЧ ГО го

то л л со

Г^- -г-

О?

эс СЧ

О 00

••« ?Ч СЧ М СЧ —

л^сяо-яо^л о о -Ч ~ I ьо ь

—"м?:

— сч^?

о ососГо

— с-Гсо чг

1-"оо

сГо — ^»со о

—

—< —•

— — — сч N

г»

г?

сч

м м

го со го

те 2

ьО СО

с.

1Л 00

1Л

Ю «гг -Г «г ^ ^Г

V»

ч? ЧГ

СО

со ГО СО СО ГО СО СО СО СОСОСССОГОСОСОСОГОСОГОГОГОГОСОГОГОСОСО

сГ—•

го">г 1/5

о I-

со

сГо

— м'со'ч- 1гГо г»-'«Гсг сГ— сч"со «г ко

г-^эс сГ

—1 —• —

—. -

— — СЧ СЧ СЧ СЧ СМ СЧ П СЧ СЧ

Ю с;

ОчГО^ТЧП—СЧДСОООО'-'СОГ-

—• Ю О О С-1 ОС ЧГ

СЮ

--Г СЧ

_ о

О^ООСООООьО с

О —- С^Гг^СО

о"г- СО

~ —.

~ —"

о-*-«в-что

-«осо-О^сл--

У»

3 о юо^-ом

осЧГ

ссм. Ой.

счсс «д гч Хъо гч е»

1- э оЪ'о'с'с -'и м

м к

гг

ч-л

1м-.'ес

« = I.

о оУП о ^ Ч Ч Ч ^

. Ч

. Я

:^ ш

о о о"»-~

сч с^Гсо"го ч? -<г

лйог-

оо

сп

о ~ —^

-Г-

т- ч- ч- — — СЧ СМ СЧ СЧ СЧ СЧ сч сч г» счсо

359

Прплож

е п п е 7

Значении функции

с 7

0,0

0,0000 0,0100

0,0200 0,0300 0,0400

0,0500

0,0601

0,0701

0,0802

0.0902

0,1

0 1003

0,1104

0.1206

0,1307

0,1409

0,1511 0,1614

0,1717

0,1820

0.1923

0,2

0,2027

0,2132

0,2237

0,2342

0,2448

0,2554 0,2661

0,2769 0.2877

0.2986

0,3

0,3095

0,3205

0,3316

0,3-128

0,35-И 0,3654

0,3769 0,3881

0,4001

0.4118

о,4

0.4236

0,4356

0,4477 0,4599

0.4722

0,4847

0.4973

0,5101

0,5230

0.5361

0,5

0,5493 0,5627 0,5763

0,5901

0,6042

0,6184

0!б328

0,6475 0,6625

0.6777

0,6

0,6931

0,7089 0,7250

0,7414

0,7582

0,7753

0,7928

0,8107

0.8291

0.8480

0,7

0,8673

0,8872

0,9076

0,9287

0,9505

0,9730

0,9962 1,0203

1,0454

1.071/,

0,8

1,0986

1,1270 1.1568

1,1881

1,2212 1,2562

1,2933 1,3.331

1,3758

1.4219

0,9

1,4722

1,5275 1,5890

1.6584

1,7380

1.8318

1,9459

2,0923

2,2976

2.0466

0,99

2.6466

2,6996

2.7587

2,8257

2.9031

2.9945

3.1063

3.2504

3.4534

З.*002

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л г с к я

Т. А. Теория вероятностей для астроцомов и физиков.

М., «Наука», 1974 . 264 с. с ил.

2. Большаков В. Д. Об оценке степопи приближении действитель-

ного распределения ошибок к нормальному. — «Труди Московского ян-та ин-

ясеиеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии», 1У57, вып. 27, с. 53—56 с пл.

3. Б о л ь ш а к о в 6. Д. Применение метола корреляции при оценке

точности светодалыюмеримх измерении. — Изв. иуялп, «Геодезия н аэрофото-

съемка», 1958. вып. 1, с. 21—30 с пл.

4. Б о л ь ш а к о в В. Д. Определение постоянных в эмпирических фор-

мулах методом логарифмической корреляции. — «Труды Московского ин-та

инженеров гсодезнл, аэрофотосъемки и картографии», 1Уб2, вып. 49,

с.

3—10 с ил.

5. Большаков В. Д. Теория ошибок наблюдений с основами теории

вероятностен. М., «Недра», 1965. 184 с. с ил.

6. В о

а к о

V. О. Тсогф резака ро?ша1гап)и за о5по\'ата 1еогца.

\Ч'ГО\а1посе. Вео^гаО, 1970. 189 с.

7. Бродский Д. Д., Каи В. Л. Краткий справочник по матема-

тическом обработке результатов измерений. М., Стандартгпз, 1%0. 167 с. с ил.

8. Бочаров М. К., II и к о л а с

С. А. Математико-статвстпческпо

методы в картографии. М., Геодезиздат, 1957. 158 с. с пл.

9. Бояре к и й А. Я. Теоретические исследования по статистике. М.,

«Статистика», 1974. 304 с. с ил.

10. Бурмистров Г. А. Задачник по снособу наименьших квадратов.

М., Геодезиздат, 1960. 347 с. с ил.

11. Б у р м и с т р о в Г. А. Основы способа наименьших квадратов.

М., Госгсолтехнздат. 1963. 392 с. с «л.

12. В с н г ц е л ь Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1964. 576 с.

с пл.

13. В ид у еп II. Г., Кондра Г. С. Вероятностно-статистический

анализ погрешностей измерений. М., «Недра», 1969. 320 с. с пл.

14. Г а й д а е в П. А. Уравнивание триангуляции. М., Геодезиздат,

1960. 260 с. с пл.

15. Гайдаев П. А. Вычисление геодезической сети 3 и 4 классов.

М., 1972. 184 с. с ил.

16. Гаусс К. Ф- Избранные геодезические сочнпенля. Т. 1. М., Геодез-

издат, 1957. 152 с. с ил.

17. Г м у р м а и В. Е. Введение

теорию вероятностей и математическую

статистику. М., «Высшая школа», 1966. 340 с. с пл.

18. Г м у р м « п В. Е. Руководство к решению задач по теории вероят-

ностей н математической статистике. М., «Высшая шкала», 1970. 240 с. с ил.

19. Гнедепко Б. В. Курс теории вероятностен. М., «Наука», 1969.

400 с. с пл.

20. Гордеев 10. А. Обобщение приемов оценки точности положения

пунктов плановых опорных геодезических сетей. Л.. «Морской транспорт»,

1959. 134 с. С пл.

21. Гордеев А. В..

а р у н н ч С. Г. Уравновешивание геодези-

ческих сетей. М.. Геодезиздат. 1961. 324 с. с ил.

22. Г у т о р Г. С.. О в ч и и с к н й Б. В. Элементы численного анализа

п математической обработки результатов опыта. М., Фнзматгиз, 1962. 356 с.сил.