Бухенский К.В., Елкина Н.В., Маслова Н.Н., Ципоркова К.А. Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

191

()

′

∂

Т. к., с другой стороны,

−=

∂

то имеем следующее уравнение для определения

(

)

222

yxyx −=

′

, или

(

)

yy −=

′

Отсюда находим

∫∫

−=⇒−=⇒−=

∂

222

dyyddyydy

ϕϕ

то есть

()

+−=

, (48)

где

– произвольная константа. Подставляя (48) в (47), имеем

семейство функций

()

yxyxU

+−= ,

для которых левая часть данного уравнения является полным

дифференциалом. Т. о., наше уравнение можно записать в виде

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

yxd

откуда его общий интеграл есть

yx =−

.►

Обобщим сведения о дифференциальных уравнениях 1 по-

рядка в табл. 4.

192

Таблица 4

Решение уравнений первого порядка

№

п/п

Вид уравнения

Тип

уравнения

Метод решения

0)()(

dyyQdxxP

С разде-

ляющимися

переменны-

ми

Непосредствен-

ное интегрирова-

ние

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

Однородное

uxuy

uxy

′

== ,,

111

⎟

⎠

⎞⎛

′

Cybxa

⎜

⎝

bxa

где

≠

Обобщенное

однородное

Cba

′

⎩

⎨

⎧

=+β+α

⎩

⎨

⎧

β+=

α+=

;

111

222

)()( xqyxpy

′

)(xy

Линейное

по

а) метод Бернул-

ли

vuvuy

uvy

′

б) метод вариа-

ции (Лагранжа)

)()( yqxypx

′

Линейное

по

)(yx

vuvu

′

193

Окончание таблицы 4

yxqyxpy )()( =+

′

Бернулли

uvy

или

−

Уравнение

в полных

дифферен-

циалах

Интегрирование

системы

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∂

),(

),,(

yxN

yxM

0),(

0),(),(

∂

yxdU

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков

2.1. Основные понятия

Опр. 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением -

го порядка называется уравнение

(

)

(

)

0,...,,,, =

′′′

yyyyxF (49)

или, в разрешенном относительно старшей производной

(

)

y ,

виде

(

)

(

)

(

)

,...,,,,

−

′′′

yyyyxfy . (50)

Опр. 2. Всякая функция )(xyy

, имеющая непрерывные

производные до порядка и удовлетворяющая уравнению (49)

или (50), называется решением (частным решением) этого урав-

нения.

Опр. 3. Задача нахождения решений дифференциального

уравнения называется задачей интегрирования дифференциаль-

ного уравнения.

Опр. 4. Задачей Коши для дифференциального уравнения

(50) называется задача отыскания решения

(

)

xy , удовлетво-

ряющего начальным условиям

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

000

,...,,

−−

′

yxyyxyyxy , (51)

где

(

)

000

,...,,

−

′

yyy – заданные числа.



194

Опр. 5. Общим решением уравнения (49) или (50) называет-

ся такая функция,

(

)

CCCxy ,...,,,

, которая при любых

допустимых значениях параметров является реше-

нием этого дифференциального уравнения, и для любой задачи

Коши с условиями (51) найдутся постоянные , оп-

ределяемые из системы уравнений

CCC ,...,,

001

(1) (1)

001

(,,, ),

..................................

(, , , ).

yxCC

xC C

−−

⎧

⎪

′′

⎪

′′ ′′

⎨

⎪

⎩

Опр. 6. Уравнение

,0),,,,(

CCyx K

определяющее общее решение уравнения (49) или (50) как неяв-

ную функцию, называется общим интегралом дифференциаль-

ного уравнения.

Пример 1. Показать, что функция ,

eCy

= R

∈

, CC ,

является решением дифференциального уравнения .

yyy

′

′′

⋅

◄ Найдем

′

и y

′

: , . Под-

ставив выражения для

eCCy

⋅=

′

eCCy

⋅=

′′

yyy

′

,, в данное уравнение, получим

тождество

(

)

112 12

Cx Cx Cx

Ce C C e CCe⋅⋅ ≡

Сл–но, функция есть решение данного уравне-

ния.►

eCy

Опр. 7. Решение уравнения (49) или (50), в каждой точке

которого нарушается единственность решения задачи Коши,

называется особым решением.

Особое решение не может быть получено из общего ни при

каких значениях

Ñ (включая и

∞



195

2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три наиболее распространенных вида диффе-

ренциальных уравнений -го поряда, допускающих понижение

порядка.

1. . (52)

)(

xfy

2. . (53)

0),,,(

)()(

yyxF K

3. . (54)

0),,(

)(

′

yyyF K

Общее решение уравнения (52) получается с помощью -

кратного интегрирования

CxCxCxCdxxfdxdxy +++++=

−

−−

∫

∫∫

)( KK ,

т.е. общий интеграл уравнения (52) есть сумма какого-либо ча-

стного решения этого уравнения и многочлена

)1(

−

n -ой степе-

ни с произвольными постоянными коэффициентами.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

cos

′′

его частное решение, удовлетворяющее условиям

2ln

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

y .

◄ Интегрируя первый раз, получим

cos

y +==

′

∫

. После повторного интегрирования бу-

дем иметь

(

)

∫

=+=+= dxCxdxdxCxy

tgtg

sin (cos )

cos cos

ln cos .

xdx d x

Cdx CxC

xCxC

=+=− ++

∫∫∫

=− + +

Сл-но,

ln cosу xCxC

−++ – общее решение.

2) Чтобы найти частное решение, подставим в полученное

общее решение и в выражение для первой производной



196

значения

= ;

ln 2

у =

и 1y

′

, получим систему двух

уравнений с неизвестными и :

ln 2

ln cos ,

244

11 ,

⎧

ππ

=− + +

⎪

⎨

⎪

⎩

⇔

ln 2 1

⎧

=− + +

⎪

⎨

⎪

⎩

⇔

ln 2 ln 2 ,

−−

⎧

−=−++

⎪

⎨

⎪

⎩

⇔

⎧

−⋅

⎪

⎨

⎪

⎩

⇔

⎧

⎨

⎩

Подставив найденные и в общее решение получим

искомое частное решение

ln cos

x=− .►

Уравнение (53) не содержит функции и ее нескольких

последовательных производных

′

′′

,...,

()

−

. С помощью

замены понизим порядок уравнения на единиц:

()

zy= k

(

)

( , , ,..., ) 0

Ф xzz z

−

′

Предположим, что для полученного уравнения общее

решение имеет вид:

( , , ,..., )

zxCCC

−

Тогда искомая функция

()

x получается с помощью -

кратного интегрирования функции

( , , ,..., )

xC C C

−

Пример 3. Найти общее решение уравнения

21xy xy

′′′ ′′

◄ Данное уравнение не содержит и

y y

′

. Положим

, тогда

′′

= z

′′′

и уравнение будет иметь вид:

dz dz

xxz z

dx dx x x

+=⇔+=



197

Это линейное уравнение первого порядка. Его общее

решение имеет вид

−+. Так как ,zy

′

то для

отыскания искомого общего решения надо проинтегрировать

уравнение

′′

=− +

Т. о.,

32 2

dx y C

xx x x

⎛⎞

′′

=−+ ⇒= −+

⎜⎟

⎝⎠

∫

тогда

Cdx

⎛⎞

=−+

⎜⎟

⎝⎠

∫

Сл-но,

y C xCxC

−− + +

, где – произ-

вольные постоянные, является общим решением заданного

уравнения.►

123

,,CCC

Уравнение (54) не содержит явно независимую переменную

. В этом случае примем за независимую переменную и

введем новую функцию

()

′

. Считая, что

есть функция

от

, а

зависит от

и, применяя правило

дифференцирования сложных функций, получим для

производных от

по

выражения

dp dp dy dp

dx dy dx dy

′′

=⋅=⋅

d dp d dp dy d dp

pp p

dx dy dy dy dx dy dy

dp dp

dy dy

⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞

′′′

=⋅=⋅=⋅⋅

⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠

⎛⎞

=⋅+ ⋅

⎜⎟

⎝⎠

аналогично вычисляются

(

)

(

)

(

)

45 1

, ,..., .

yy y

−



198

Подставляя в уравнение (54) вместо

(),

′

′′

т.д., увидим, что в новых переменных порядок уравнения будет

, т.е. на единицу ниже.

1(n − )

Если это преобразованное уравнение проинтегрировано и

12 1

( , , ,..., )

pyCCC

−

= – его решение, то нахождение общего

интеграла данного уравнения сводится к интегрированию

12 1

() ()

( , , ,..., )

ypy py

dy pdx y C C C dx

yC C C

−

′

=⇒=⇒

⇒= = ⇒

⇒=

Откуда получаем общее решение ОДУ (54)

12 1

( , , ,..., )

yC C C

−

∫

Одна из произвольных постоянных входит в качестве

слагаемого к

, а это означает, что всякую интегральную

кривую можно перемещать параллельно оси .

Пример 4. Найти общий интеграл уравнения

30yy y

′ ′′′ ′′

−=.

◄ Положим

(),

′

= ,

′′

dp d p

yp p

dy dy

⎛⎞

′′′

⎜⎟

⎝⎠

и подставим в исходное уравнение, тогда получим

20.

dp d p dp

pp p p

dy dy dy

dp dp

dy dy

⎛⎞

⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟

−=

⎜⎟ ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

⎝⎠

⎛⎞

⇒− =

⎜⎟

⎝⎠

⇒



199

Сократим на

, при этом учтем теряемое решение 0p

или

C= и получим

dp dp

dy dy

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

Это уравнение рассматриваемого вида, делая ту же замену

dp dz

dy dp

= придем к уравнению

pz z

⋅

−=

Сократив на

(при этом учитываем еще одно решение

== т.е.

Cx C

+ ), получим

dz dp

−

=⇒ 2

dz dp

=⋅ ⇒

∫∫

ln 2 ln lnzpC⇒= + ⇒

ln ln lnzp C−= ⇒

⇒= = ⋅p

Проинтегрировав уравнение

Cdy

= находим

,Cy C

−= +

или

Cy C

−

=+⇒

(

)

dx C y C dy⇒− = + ⇒

(

)

.dx C y C dy=− +

∫

Окончательно получим

Cy Cy C=++, где

− ;

.CC

− ►

200

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения

высших порядков

3.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

(ЛОДУ)

Опр. 1. ЛОДУ

-го порядка называется уравнение вида:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) 0.

nn n

y p xy p xy p xy

−−

+ + ++ =

(55)

Опр. 2. ЛОДУ второго порядка, называется уравнение вида

() () 0,y pxy qxy

′′ ′

+ +=

(56)

Решения ЛОДУ (55) обладают следующим свойством: их

можно умножать на произвольные постоянные и складывать,

после чего опять получается решение уравнения (55).

Заметим, что уравнения (55) и (56) всегда имеют нулевое

решение. В дальнейшем, говоря о решениях уравнения (55) или

(56) будем подразумевать, что эти решения отличны от нулево-

го.

Определитель Вронского. Необходимое и достаточное

условие линейной зависимости решений

Опр. 3. Если

()yx

– два решения уравнения (56),

то выражение, составленное из них

12 1 2 2 1

() ()

( , ) () () () () (),

() ()

yx yx

y y Wx y xyx y xy x

yx yx

′′

= = = −

′′

∆

(57)

называется определителем Вронского (вронскиан).

В дальнейшем будем рассматривать решения уравнения

(56) на промежутке

непрерывности коэффициентов

( ), ( ).px qx

Опр. 4. Два решения

уравнения (56), отличные от

нулевого, называются линейно независимыми, если тождество

11 2 2

0yyα +α ≡

для любого

из промежутка

выполняется

только, когда постоянные коэффициенты

равны 0.

Опр. 5. Два решения

уравнения (57), отличные от

нулевого, называются линейно зависимыми, если найдутся

такие, что для любого

из промежутка

выполняется