Бухенский К.В., Елкина Н.В., Маслова Н.Н., Ципоркова К.А. Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
201
тождество , причем хотя бы один из постоянных
коэффициентов
11 2 2
0yyα+α ≡
1
α
и
2
α
не равен нулю.
Теорема 1. (необходимое и достаточное условие линейной
зависимости решений). Равенство нулю определителя
Вронского
12
(, )
y
y
Δ
является необходимым и достаточным
условием линейной зависимости решений
1
y
и
2
y
, т.е. два
решения
1
y
и
2
y
уравнения (56) линейно независимы тогда и
только тогда, когда определитель Вронского
12
(, )
y
y
Δ
отличен от нуля.
Теорема 2. Если
1
y
и
2
y
– два линейно независимых
решения уравнения (56), то формула
11 2 2
y
Cy Cy
=
+ ,
где и – произвольные постоянные, дает все решения
этого уравнения.
1
C
2
C
Опр. 6. Определителем Вронского (вронскианом) системы
функций
12
( ), ( ),..., ( )
n
y
xyx yx называется определитель
12
12
(1) (1) (1)
12
() () ... ()
() () ... ()
() .
... ... ... ...
() () ... ()
n
n
nn n
n
y
xyx yx
y
xyx yx
Wx
y
xy x y x
−− −
′′ ′
=
(58)
На решения
12
, ,...,
n
y
yy уравнения (55) распространяются
определения линейной зависимости (независимости) и теорема
о необходимом и достаточном условии линейной зависимости
решений.
Пример 1. Исследовать на линейную зависимость системы
функций:
1)
1
x
y
e
−
= и
3
2
x
y
e= ;
2)
1
y
x= ,
2
0y
=
,
3
x
y
e
=
.
◄ 1) Составим и вычислим определитель Вронского по
формуле (57):
202
()
()
(
)
() ()
()
3
12
33
3
12
22 2
yy
3
yy
3
340.
xx
xxx x
xx
xx x
xx
ee
Wx e e e e
xx
ee
ee e
−
−−
−
===⋅−
′′
−
=+=≠
−=
Так как
() 0Wx
≠
, то система функций
1
x
y
e
−
= и
3
2
x
y
e=
линейно независима.
2) Составив и вычислив вронскиан по формуле (58)
0
() 1 0 0,
00
x
x
x
xe
Wx e
e
=
=
получим, что система функций
1
y
x
=
,
2
0y
=
,
3
x
ye
=
линейно
зависима.►
Опр. 7. Всякая система из линейно независимых
решений
n
12
( ), ( ),..., ( )
n
y
xyx yx уравнения (55) называется фун-
даментальной системой решений этого уравнения.
Если известна фундаментальная система решений
уравнения (55), то общее решение этого уравнения имеет вид
11 2 2
() () () ... ()
nn
y
xCyxCyx Cyx
=
+++, (59)
где – произвольные постоянные.
12
,,,
n
CC CK
Пример 2. Функции
1
cos
()
x
yx
x
= ,
2
sin
()
x
yx
x
= образуют
фундаментальную систему решений уравнения
2
0yyy
x
′′ ′
++=
. Найти общее решение этого уравнения.
◄ По формуле (59) имеем
12
cos sin
()
x
x
yx C C
x
x
=+
, где
– произвольные постоянные.►
12
,CC
3.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
(ЛНДУ) второго порядка
Опр. 8. ЛНДУ второго порядка называется уравнение вида
203
() () ().
y
pxy qxy f x
′
′′
+
+= (60)
Решение уравнения (60) будем рассматривать на
промежутке непрерывности функций
(), (), ().
p
xqx fx
Уравнение
0() ()ypxyqxy
′
′′
+
+= (56)
называется ЛОДУ, соответствующим уравнению (60).
Пусть
1
y
,
2
y
– два линейно независимых решения (56),
11 2 2
y
Cy Cy=+ – общее решение (56),
y
%
– частное решение
ЛНДУ (60).
Общее решение ЛНДУ второго порядка равно сумме
общего решения соответствующего однородного уравнения и
какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Т. о., формула общего решения уравнения (60) имеет вид
11 2 2
y
yyCyCy y
=
+= + +
%%
.
Заметим, что это свойство годится для ЛНДУ любого
порядка.
Рассмотрим уравнение вида:
12
() () () ()
y
pxy qxy f x f x
′
′′
+
+=+. (61)
Теорема 3 (принцип суперпозиции). Если правая часть
ЛНДУ (61) есть сумма двух функций
12
() () ()
f
xfxfx
=
+ и
1
y
x
′
() – частное решение уравнения
1
() () ()
y
pxy qxy f x
′
′′
+
+=,
а
2
y
x()
%
– частное решение уравнения
2
() () ()
y
pxy qxy f x
′
′′
+
+=,
то сумма
12
() () ()
y
xyxyx
=
+
%% %
есть некоторое частное
решение уравнения (61).
Если известно общее решение
11 2 2
y
Cy Cy=+ уравнения
(56) соответствующего уравнению (60), то для определения
частного решения уравнения (60) можно воспользоваться
методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
()yx
%
204
Рассмотрим уравнение (60). Пусть
)(
~
xy
– какое-либо ре-
шение уравнения (60), а
1
y
,
2
y
– линейно независимые решения
соответствующего однородного уравнения (56), тогда формула
yyCyCy
~
2211
++=
, где
21
,CC
– произвольные постоянные,
дает общее решение уравнения (60).
При этом, если
1
y
,
2
y
известны, то решение уравнения (60)
может быть получено по формуле:
,)()(
~
2211
yxCyxCy +=
где
)(),(
21
xCxC
определяются из системы уравнений первой
степени
=
′′
+
′′
=
′
+
′
).()()(
,0)()(
2211
2211
xfyxCyxC
yxCyxC
(62)
Система (62) имеет единственное решение
)()(),()(
21
xxCxxC
ψϕ
=
′
=
′
, так как ее определитель – это опре-
делитель Вронского
0
21
21
≠
′′
yy
yy
. Т. о.,
∫
=
′
dxxxC )()(
1
ϕ
,
∫
=
′
dxxxC )()(
2
ψ
.
Для ЛНДУ
n
-го порядка
),()()(
)1(
1
)(
xfyxpyxpy
n
nn
=+++
−
где
)(),(,),(
1
xfxpxp
n
– непрерывные на
),( ba
функции,
общее решение имеет вид
nn
yxCyxCyxCy )()()(
2211
+++=
,
где
n
yy ,,
1
– линейно независимые решения ЛОДУ, соответ-
ствующего данному ЛНДУ, а
)(,),(
1
xCxC
n
– функции, про-
изводные которых удовлетворяют системе уравнений:
205
11 2 2
11 2 2
(2) (2) (2)
11 2 2
(1) (1) (1)
11 2 2
... 0,
... 0,
..........................................
... 0,
... ( ).
nn
nn
nn n
nn
nn n
nn
Cy Cy Cy
Cy Cy Cy
Cy Cy Cy
Cy Cy Cy f x
−− −
−− −
⎧
′′ ′
+++=
⎪
′′ ′′ ′′
+++=
⎪
⎪
⎨
⎪
′′ ′
+++=
⎪
⎪
′′ ′
+++=
⎩
Пример 3. Функции
1
()
x
y
xe
−
= ,
3
2
()
x
y
xe= образуют
фундаментальную систему решений уравнения
. Найти общее решение уравнения
23yyy
′′ ′
−−=0
23
x
y
yye
′′ ′
−−=.
◄ Общее решение соответствующего однородного
уравнения записывается в виде
3
12
()
x
x
y
xCe Ce
−
=+. Ищем
частное решение уравнения
23
x
y
yye
′′ ′
−
−= по формуле
3
12
() ()
x
x
y
Cxe Cxe
−
=+
%
. Для определения ,
составим систему вида (62)
1
Cx()
2
Cx()
3
12
3
12
() () 0, (*)
()( ) ()(3 ) . (**)
xx
xxx
Cxe Cxe
Cx e Cx e e
−
−
′′
⎧
+=
⎪
⎨
′′
−+ =
⎪
⎩
Сложив уравнения (*) и (**), получим,
2
22
3
22
22
1
() ()
44
11
() .
48
x
x
x
x
x
e
Cx Cx e
e
dC e dx C x e
−
−−
′′
=⇒ = ⇒
⇒= ⇒ =−
Подставив найденное в (*), будем иметь
2
()Cx
23 2 2
11
11
() 0 () () .
44
1
1
8
x
xx x x
Cxe e e dCx edx Cx e
−−
′
+⋅=⇒ =− ⇒=−
206
Итак,
223
11 1
.
88 4
x
xxx x
y
ee e e e
−−
=− − =−
%
Общее решение
уравнения имеет вид
3
12
1
,
4
x
x
yyyCe Ce e
−
=+= + −
%
x
где
– произвольные постоянные.►
12
,CC
3.3. ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Общий вид линейного дифференциального уравнения
порядка с постоянными коэффициентами есть
n
(
)
(
)
1
11
... 0,
nn
nn
yay ayay
−
−
′
+
++ + = (63)
где
(1,R
i
ai∈=)n
.
Опр. 9. Уравнение
(
)
(
)
1
11
... 0,
nn
nn
aaa
−
−
λ
+λ ++ λ+ = (64)
полученное заменой производных
(
)
(0,
k
yk n= ) искомой функ-
ции степенями
k
λ
, называется характеристическим уравнением
для уравнения (63).
Каждому действительному корню
λ
уравнения (64) крат-
ности соответствуют линейно независимых решений
уравнения (63)
r r
2
, , ,..., ,
1
x
xxr
exexe xe
x
λ
λλ −λ
(65)
а каждой паре комплексных корней
1,2
i
λ
αβ
=
±
кратности
соответствуют пар линейно независимых решений:
s
s
1
1
cos , cos ,..., cos ,
sin , sin ,..., sin .
xxsx
xxsx
exxexxe
exxexxe
−
−
⋅
⋅
αα α
αα α
x
x
β
ββ
β
ββ
(66)
Запишем общее решение для случая
2n
=
. Рассмотрим
уравнение
0,ypyqy
′
′′
+
+= (67)
где
p
,
q
.
R∈
Характеристическое уравнение для (67) имеет вид
2
0.pq
λ
+λ+= (68)
207
Если квадратное уравнение (68) имеет два различных дей-
ствительных корня
1
λ
и
2
λ
, то согласно (65) имеем два линейно
независимых решения уравнения (67)
12
12
,.
x
x
ye ye
λλ
==
Общее решение имеет вид
1
12
,
2
x
x
y
Ce Ce
λλ
=+ (69)
где – произвольные постоянные.
12
,CC
Если квадратное уравнение (68) имеет комплексные корни
12
,ii=+ =−
αβλα
(0)
β
β
λ
≠
, тогда согласно (66) имеем два
линейно независимых решения уравнения (67)
12
cos , sin .
xx
ye xye x=⋅ =⋅
αα
β
β
Общее решение имеет вид
(
)
12 12
cos sin cos sin .
xxx
y
Ce xCe xe C xC x=+= +
ααα
ββ ββ
(70)
Если квадратное уравнение (68) имеет два равных
действительных корня
12
,
λ
=λ =λ , то согласно (69) имеем два
линейно независимых решения уравнения (67).
12
,.
x
x
y
eyxe
λ
λ
==
Общее решение уравнения имеет вид
(
)
12 12
.
xxx
y
Ce C xe e C C x
λλλ
=+ = + (71)
Примеры
Найти общее решение уравнений:
1. ;
32yyy
′′ ′
++=
0
0
.
0
2. ;
25yyy
′′ ′
++=
3.
33 0yyyy
′′′ ′′ ′
−+−=
◄ 1. Для уравнения
32yyy
′
′′
+
+=
характеристическое
уравнение имеет вид:
2
320
λ
+λ+ = , корни которого равны
Запишем фундаментальную систему решений
12
1, 2.λ=− λ=−
2
12
,.
x
x
y
eye
−
==
−
Сл-но, общее решение имеет вид
2
12
.
x
x
yCe Ce
−−
=+
208
2. Для уравнения
25yyy0
′
′′
+
+= характеристическое
уравнение имеет вид
2
250
λ
+λ+ =
, его корни
1,2
12.i
λ
=− ±
Сл-но, функции
12
cos 2 , sin 2
xx
y
exye
−−
==x составляют фун-
даментальную систему решений, а общее решение имеет вид
()
12
cos 2 sin 2 .
x
y
eC xC x
−
=+
3. Уравнение
32
3310
λ
−λ+λ−= является характеристи-
ческим для
33yyyy
′′′ ′′ ′
0,
−
+−=
его решением является 1
λ
=
кратности Поэтому фундаментальная система решений
имеет вид
3.r =
2
12 3
,, .
x
x
yey xey xe== =
x
Сл-но, общее решение
исходного уравнения имеет вид:
()
2
12 3
.
x
y
CCxCxe=++ ►
3.4. ЛНДУ с постоянными коэффициентами
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэф-
фициентами
(
)
()
(), 0,ypyqyfxfx
′′ ′
++= ≠
(60)
где
,
p
q R∈ .
Общее решение этого уравнения записывается в виде
(
)
(
)()
y
xyxyx=+
%
,
где
()
y
x – общее решение соответствующего ЛОДУ (56),
()
y
x
%
– любое частное решение уравнения (60). Общее решение
ЛОДУ имеет вид:
(
)
11 2 2
y
xCyCy=+, для отыскания
(
)
y
x
%
в
общем случае используется метод Лагранжа вариации
произвольных постоянных.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального урав-
нения
tg .
y
yx
′′′ ′
+=
◄ 1. Решим ЛОДУ
0yy
′
′′ ′
+
= , соотвествующее данному
ЛНДУ. Для этого запишем характеристическое уравнение
32
010
123
0, , .ii()λ+λ= ⇒λλ+ = ⇒
λ
=λ=λ=−
209
Согласно (65), (66) фундаментальная система решений
будет иметь вид
123
1, cos , sin ,
ox
y
ey xy== = =x сл-но, общее
решение ЛОДУ имеет вид:
12 3
cos sin .
y
CC xC x
=
++
Для нахождения частного решения неоднородного
уравнения воспользуемся методом вариации произвольных
постоянных. Ищем частное решение в виде
Для определения
составим систему
12 3
() () ()cos ()sin.ux C x C x x C x x=+ +
%
123
(), (), ()CxCxCx
(
)
(
)
() ( )
() ( )
12 3
23
23
cos sin 0, *
()sin cos 0, **
( ) cos sin tg . ***
Cx C xC x
Cx xCx x
Cx xCx x x
′′ ′
++=
⎧
⎪
′′
−+ =
⎨
⎪
′′
−− =
⎩
Умножив обе части уравнения (**) на
sin
x
, (***) – на
cos
x
и сложив их, получим
22
() sin () sin.Cx x Cx x
′
′
−
=⇒ =−
Подставив
2
() sinCx x
′
=
− в уравнение (**), получим
2
2
33
sin
sin ( ) cos 0 ( ) .
cos
x
xCx x Cx
x
′′
+=⇒=−
Сложив уравнения (*) и (***) будем иметь
1
() tg.Cx x
′
=
Интегрирование дает выражения для :
123
(), (), ()CxCxCx
()
1
sin cos
tg ln cos
cos sin
xdx
Cx xdx dx x
xx
= = =− =−
∫∫ ∫
,
,
()
2
sin cosCx xdx x=− =
∫
()
22
3
sin 1 cos
cos cos
xx
C x dx dx
xx
−
=− =− =
∫∫
cos ln tg sin .
cos 4 2
dx x
x
dx x
x
π
=− + =− + +
∫∫
Итак,
210
()
1
ln cosCx x=−
,
(
)
2
cosCx x=
,
()
3
ln tg sin .
42
x
Cx x
π
=− + +
Учитывая, что
22
cos sin 1
x
x
+
=
, получим искомое
решение ЛНДУ.
12 3
cos sin ln cos sin ln tg
42
x
yyyCC xC x x x
π
=+= + + − − +
%
,
где произвольные постоянные.►
12
,,CCC
3
3.5. ЛНДУ со специальной правой частью
В зависимости от вида правой части уравнения (60) рас-
смотрим два частных случая:
1)
()
(
)
1
kx
n
f
xPxe=⋅,
где – многочлен -й степени, ;
()
n
Px n k ∈R
2)
()
(
)()
(
)
2
cos sin
x
nm
f
xePx xQx x
α
=
β
+
β
,
где ,
()
n
Px
(
)
m
Qx – многочлены степени и ,
соответственно,
n m
,
∈
α
β
R .
Частное решение
(
)
y
x
%
уравнения (60) в этих случаях
можно найти методом неопределенных коэффициентов.
Пусть правая часть имеет вид
(
)
(
)
(
)
1
kx
n
f
xfxPxe== .
Если не совпадает ни с одним корнем характеристического
уравнения, то частное решение
k
(
)
y
x
%
ищется в виде
(
)
(
)
kx
n
y
xRxe
=
⋅
%
, (72)
где
()
n
R
x – многочлен той же степени, что и
(
)
n
Px, но с неоп-
ределенными коэффициентами, которые надо найти. Для этого,
вычисляя с помощью (72)
(
)
(
)
,
y
xyx
′
′′
%%
, и подставляя в
исходное уравнение (60), сокращаем правую и левую части на
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
kx
e
x
,
получим систему уравнений для отыскания неопределенных