Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики

Подождите немного. Документ загружается.

Ï.Â. ×ÓËÊÎÂ

Óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà

â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè

Ëåêöèè 14

Ìîñêâà

Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò

«Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ»

2006

Ëåêöèÿ 1

Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ,

íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ

Êðàòêîå ââåäåíèå

Ïðåäëàãàåìûé ìàòåðèàë èìååò, ïðåæäå âñåãî, ïðàêòè÷åñêóþ

íàïðàâëåííîñòü.

Â ñâÿçè ñ ýòèì â òåêñòå ëåêöèé ñîäåðæèòñÿ áîëüøîå êîëè÷å-

ñòâî çàäà÷, íåêîòîðûå èç íèõ  ñ ðåøåíèÿìè. Ïðåæäå ÷åì èçó-

÷àòü ýòè ðåøåíèÿ, æåëàòåëüíî ðåøèòü çàäà÷ó ñàìîñòîÿòåëüíî,

ñðàâíèòü ïîëó÷åííûé îòâåò, à çàòåì è ñàìî ðåøåíèå ñ ðåøåíèåì,

ïðèâåäåííûì â êîíöå ëåêöèè.

Ëåêöèÿ 1. Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ, íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòå-

ìàõ. Ðàâíîñèëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà. ÎÄÇ. Îáùèå ìåòîäû ðå-

øåíèÿ óðàâíåíèé. Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ïðèìåðû

Ëåêöèÿ 2. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâ. ×èñëîâûå íåðàâåíñòâà è èõ

ñâîéñòâà. Äðîáíî-ðàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà. Ìåòîä èíòåðâàëîâ è ñâîé-

ñòâà íåïðåðûâíîñòè

Ëåêöèÿ 3. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé. Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâ-

íåíèÿ è èõ ñèñòåìû. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè ïðè ðåøåíèè ñèñòåì óðàâíå-

íèé. Ñèììåòðè÷åñêèå è îäíîðîäíûå ñèñòåìû.

Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1

Ëåêöèÿ 4. Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà. Ìåòîäû ðåøå-

íèÿ èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ è èõ ñèñòåì. Óðàâíåíèÿ è

íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëåì

Ëåêöèÿ 5. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà. Ìåòîäû ðå-

øåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ è èõ ñèñòåì

Ëåêöèÿ 6. Ëîãàðèôìè÷åñêèå è ïîêàçàòåëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà.

Ìåòîäû ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ è ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé è íåðà-

âåíñòâ è èõ ñèñòåì.

Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 2

Ëåêöèÿ 7. Íåñòàíäàðòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ.

Èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâ ôóíêöèé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ.

Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîäñòàíîâêè. Âåêòîðû â àëãåáðå

Ëåêöèÿ 8. Óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà ñ ïàðàìåòðîì. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ

óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ ñ ïàðàìåòðîì. Ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåðïðåòàöèè.

Èòîãîâàÿ ðàáîòà

Ó÷åáíûé ïëàí êóðñà

¹ áð.

Íàçâàíèå ëåêöèè

Ïàâåë Âèêòîðîâè÷ ×óëêîâ

Ìàòåðèàëû êóðñà «Óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè» :

Ëåêöèè 14.  Ì. : Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ», 2006.  88 ñ.

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå

Ðåäàêòîð È.Ì. Áîêîâà

Êîððåêòîð Ë.À. Ãðîìîâà

Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Ä.Â. Êàðäàíîâñêàÿ

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 20.06.2006.

Ôîðìàò 60×90

. Ãàðíèòóðà «SchoolBook». Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Ïå÷. ë. 5,75

Òèðàæ ýêç. Çàêàç ¹

Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ»,

óë. Êèåâñêàÿ, ä. 24, Ìîñêâà, 121165

http://edu.1september.ru

 Ï.Â. ×óëêîâ, 2006

 Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ», 2006

Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ, íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ

Ëåêöèÿ 1

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçëîæåíèÿ ìàòåðèàëà íåñêîëüêî îòëè÷íà îò

øêîëüíîé, ïîñêîëüêó ëåêöèè ðàññ÷èòàíû íà ó÷èòåëåé óæå íåîäíî-

êðàòíî «ïðîõîäèâøèõ» øêîëüíûé êóðñ ìàòåìàòèêè. Óêàçàííîå îá-

ñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü íåêîòîðûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ

õîðîøî èçâåñòíûìè.

Íàïðèìåð, ðàññìàòðèâàÿ â ïåðâîé ëåêöèè óðàâíåíèÿ, ìû áó-

äåì ïî÷òè áåç âñÿêèõ îãîâîðîê ïðåîáðàçîâûâàòü èõ â òàê íàçûâà-

åìûå ñìåøàííûå ñèñòåìû, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñîáñòâåííî ñèñòå-

ìû óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ áóäóò ðàññìîòðåíû ïîçäíåå.

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

Îïðåäåëèì óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé êàê ðàâåíñòâî âèäà

)

(

)

(

xgxf

, ãäå

)

(

)

(

 íåêîòîðûå ôóíêöèè.

Ïðè ýòîì:

(1.1.)

Ðåøåíèåì (ëó÷øå  êîðíåì) óðàâíåíèÿ íàçûâàþò òî

çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì äàííîå óðàâíåíèå îáðàùàåòñÿ

â âåðíîå ðàâåíñòâî.

(1.2.) Ðåøèòü óðàâíåíèå  çíà÷èò íàéòè âñå êîðíè óðàâíåíèÿ

èëè äîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé.

(1.3.) Îáëàñòüþ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé óðàâíåíèÿ (ïðèíÿòîå

ñîêðàùåíèå  ÎÄÇ) íàçûâàþò ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì

îïðåäåëåíû îáå ôóíêöèè

)

(

)

(

Ïîíÿòèå íåðàâåíñòâà è ñîïóòñòâóþùèå åìó ïîíÿòèÿ (ðåøåíèå

íåðàâåíñòâà, ðàâíîñèëüíûå íåðàâåíñòâà è ò.ä.) îïðåäåëÿþòñÿ

àíàëîãè÷íî.

Ýòè ïîíÿòèÿ ìû ïîäðîáíåå ðàññìîòðèì âî âòîðîé ëåêöèè, îä-

íàêî ïîëüçîâàòüñÿ íåêîòîðûìè èç íèõ áóäåì óæå â ïåðâîé.

Ïðèìåð 1. Íàéäèòå ÎÄÇ óðàâíåíèÿ

−

=−

Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ

)

(

−=

xxf

îïðåäåëåíà ïðè

2≥

, ôóíê-

öèÿ

)

(

−

 ïðè

3≠

Îòâåò:

[

2; 3

)(

)

∪+∞.

Òàêæå ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî:

(1.4.) Äâà óðàâíåíèÿ ðàâíîñèëüíû íà ìíîæåñòâå, åñëè îíè èìåþò

îäíè è òå æå êîðíè, ïðèíàäëåæàùèå äàííîìó ìíîæåñòâó. Ñëåäî-

âàòåëüíî, åñëè óðàâíåíèÿ íå èìåþò êîðíåé íà äàííîì ìíîæåñòâå,

òî îíè ðàâíîñèëüíû íà íåì.

Ïåðåõîä ê ðàâíîñèëüíîìó óðàâíåíèþ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü

çíàêîì «⇔».

(1.5.) Äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íåêîòîðîãî äðó-

ãîãî óðàâíåíèÿ, åñëè êàæäûé êîðåíü äðóãîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ

êîðíåì äàííîãî. Åñëè óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, òî èç íåãî ñëå-

äóåò ëþáîå äðóãîå óðàâíåíèå.

Ïåðåõîä ê óðàâíåíèþ-ñëåäñòâèþ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü çíàêîì«⇒».

Ïðèìåð 2. Âåðíî ëè, ÷òî óðàâíåíèå

ðàâíîñèëüíî óðàâ-

íåíèþ

2105 =

íà ìíîæåñòâå à) äåéñòâèòåëüíûõ; á) ðàöèîíàëü-

íûõ ÷èñåë?

Ðåøåíèå. à) Íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ïåðâîå óðàâíå-

íèå èìååò êîðíè

22±

, à âòîðîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííûé

êîðåíü

. Óðàâíåíèÿ íå ðàâíîñèëüíû.

á) Èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî íà ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ

÷èñåë îáà óðàâíåíèÿ êîðíåé íå èìåþò. Óðàâíåíèÿ ðàâíîñèëüíû.

Îòâåò: à) íåò; á) äà.

Ïðèìåð 3. Âåðíî ëè, ÷òî óðàâíåíèå

ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâè-

åì óðàâíåíèÿ

102 =

íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë?

Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå

102 =

èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü 5,

êîòîðûé òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ

Ñëåäîâàòåëüíî,

102 =x

⇒

Îòâåò: äà.

Êàê ìû ðåøàåì óðàâíåíèÿ? Ïðèìåðíî òàê: ïðîâîäèì íåêîòî-

ðûå ïðåîáðàçîâàíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ è ïîñòåïåííî ïðèõîäèì

ê íåêîòîðîìó óðàâíåíèþ, êîðíè êîòîðîãî óìååì íàõîäèòü. Êîðíè

ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ è çàïèñûâàåì â îòâåò.

Íî ìîæíî ëè áûëî òàê ïîñòóïàòü? Äðóãèìè ñëîâàìè, ìîæåì

ëè ìû áûòü óâåðåíû â òîì, ÷òî êîðíè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿ-

þòñÿ êîðíÿìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ? Òî åñòü ñîâïàäàþò ëè ìíî-

æåñòâà êîðíåé ïðåîáðàçîâàííîãî è èñõîäíîãî óðàâíåíèé? Êàê ìû

Òàê ìû áóäåì íóìåðîâàòü îïðåäåëåíèÿ. (1.1.) îçíà÷àåò  ïåðâîå îïðåäåëå-

íèå èç ïåðâîé ëåêöèè.

Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ, íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ

Ëåêöèÿ 1

óâèäèì â äàëüíåéøåì, ýòî íå âñåãäà òàê, äàæå åñëè ïðîâåäåííûå

ïðåîáðàçîâàíèÿ íå ñîäåðæàò âû÷èñëèòåëüíûõ îøèáîê. Íàïðèìåð,

ïðè ïðèâåäåíèè ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ, ïðè äåëåíèè îáåèõ ÷àñòåé

óðàâíåíèÿ íà íåêîòîðîå âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå ïåðåìåííóþ,

êîðíè ìîãóò áûòü «ïîòåðÿíû», à ïðè âîçâåäåíèè îáåèõ ÷àñòåé

óðàâíåíèÿ â êâàäðàò, íàîáîðîò, ìîãóò ïîÿâèòüñÿ òàê íàçûâàåìûå

«ïîñòîðîííèå êîðíè». Òî åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèé ïðåäïîëàãàåò

íå òîëüêî ïîñëå íåêîòîðûõ (âîçìîæíî, íåïðîñòûõ) ïðåîáðàçîâà-

íèé ïîëó÷èòü ñòàíäàðòíîå óðàâíåíèå è «íàéòè õ», íî òàêæå äîêà-

çàòü, ÷òî ðåøåíî èìåííî èñõîäíîå óðàâíåíèå èëè íåðàâåíñòâî, à

íå òî ñòàíäàðòíîå óðàâíåíèå, êîòîðîå ìû ïîëó÷èëè â ðåçóëüòàòå

ïðåîáðàçîâàíèé.

Ïîýòîìó, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî íàéäåíû âñå êîðíè èñõîäíîãî

óðàâíåíèÿ, íåîáõîäèìî ëèáî ñëåäèòü, ÷òîáû ïðè êàæäîì èç ïðî-

âîäèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àëèñü óðàâíåíèÿ

(èëè ñìåøàííûå ñèñòåìû) ðàâíîñèëüíûå èñõîäíîìó óðàâíåíèþ,

ëèáî, ïîëó÷èâ öåïî÷êó ñëåäñòâèé èç èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, çàòåì

ñäåëàòü ïðîâåðêó, ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå êîðíè â èñõîäíîå óðàâ-

íåíèå.

Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ðàâíîñèëüíîñòè óðàâíåíèé.

Òåîðåìà 1. Åñëè ê îáåèì ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ ïðèáàâèòü îäíî è

òî æå âûðàæåíèå, îïðåäåëåííîå íà ÎÄÇ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî

ïîëó÷èì óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíîå äàííîìó óðàâíåíèþ.

Èëè â âèäå ñõåìû:

ÎÄÇ.

()+ ()= ()+ (),

()= ()

fx px gx px

fx gx

⇔

∈







Â ÷àñòíîñòè, åñëè ïåðåíåñòè ñëàãàåìîå èç îäíîé ÷àñòè â äðó-

ãóþ, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå èñõîäíîìó óðàâíåíèþ.

Òðåáîâàíèå

ÎÄÇx ∈ â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû ñóùåñòâåííî. Åñëè

ôóíêöèÿ

)

(

îïðåäåëåíà íå äëÿ âñåõ x èç ÎÄÇ, òî ðàâíîñèëü-

íîñòü, âîáùå ãîâîðÿ, íàðóøàåòñÿ, è ïðåîáðàçîâàíèå ìîæåò ïðèâå-

ñòè ê ïîòåðå êîðíåé.

Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ

−

íå ðàâíî-

ñèëüíû, ïîñêîëüêó âòîðîå óðàâíåíèå êîðíåé íå èìååò, òàê êàê

ôóíêöèÿ

)

(

−

íå îïðåäåëåíà ïðè

Òåîðåìà 2. Åñëè îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ óìíîæèòü íà îäíî

è òî æå íå ðàâíîå íóëþ âûðàæåíèå, îïðåäåëåííîå íà ÎÄÇ èñõîäíî-

ãî óðàâíåíèÿ, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.

Èëè â âèäå ñõåìû:

{

ÎÄÇ.

() ()

() () () ()

() 0

fx gx

fx px gx px

⋅=⋅

⇔

≠

∈







Â ÷àñòíîñòè, åñëè ïîìåíÿòü çíàêè â îáåèõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ

(òî åñòü óìíîæèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà

)

(

−=

)

, òî ïîëó÷èò-

ñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå èñõîäíîìó óðàâíåíèþ.

Òðåáîâàíèÿ

ÎÄÇx ∈

)

(

≠

â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû ñóùå-

ñòâåííû. Â ÷àñòíîñòè, åñëè

)

(

ïðè íåêîòîðîì

ÎÄÇx ∈

, òî

ïðåîáðàçîâàíèå ìîæåò ïðèâåñòè ê ïîÿâëåíèþ ïîñòîðîííèõ êîðíåé.

(Ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð ïðèäóìàéòå ñàìîñòîÿòåëüíî.)

Òåîðåìà 3. Åñëè îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ ðàçäåëèòü íà

îäíî è òî æå íå ðàâíîå íóëþ âûðàæåíèå, îïðåäåëåííîå íà ÎÄÇ

èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàí-

íîìó.

Èëè â âèäå ñõåìû:

ÎÄÇ.

() ()

()

fx gx

px px

px x

=⇔

≠∈











Êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, íàðóøåíèå òðåáîâàíèé

ÎÄÇx ∈

)

(

≠

ìîæåò ïðèâåñòè ê íåðàâíîñèëüíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì.

Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 13 ñëåäóþò èç î÷åâèäíûõ ñâîéñòâ ÷èñ-

ëîâûõ ðàâåíñòâ. (Ïðîâåäèòå èõ ñàìîñòîÿòåëüíî.)

Íåñêîëüêî ñëîâ îá ÎÄÇ

Ìû âèäåëè, ÷òî ÎÄÇ ìîæåò áûòü ïîëåçíî ïðè îáîñíîâàíèè ðàâ-

íîñèëüíûõ ïåðåõîäîâ, íî îáÿçàòåëüíî ëè ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé

è íåðàâåíñòâ íàõîäèòü ÎÄÇ?

Èíîãäà ðåêîìåíäóþò ðåøàòü óðàâíåíèÿ (íåðàâåíñòâà, ñèñòåìû

óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ) ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:

1) Íàéòè ÎÄÇ, òî åñòü ðåøèòü ñîîòâåòñòâóþùèå íåðàâåíñòâà è

âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå, íà êàêîì ÷èñëîâîì ìíîæåñòâå èìååò ñìûñë

äàííîå óðàâíåíèå.

2) Ðåøèòü óðàâíåíèå ñ ïîìîùüþ òåõ èëè èíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.

Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ, íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ

Ëåêöèÿ 1

3) Ïðîâåðèòü, ïðèíàäëåæàò ëè êîðíè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÎÄÇ.

Ïîïðîáóåì îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ðàññìîòðåâ íåñêîëüêî

ïðèìåðîâ. Ìîæåò ëè òàêîé ñïîñîá ðåøåíèÿ ïðèâåñòè ê ïîòåðå

êîðíåé èëè ïîÿâëåíèþ ïîñòîðîííèõ êîðíåé?

Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå

+=++−

xxx

Ðåøåíèå. ÎÄÇ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ:

−−≤

. Òàêîå íå-

ðàâåíñòâî ìîæíî ðåøèòü òîëüêî ïðèáëèæåííî. Íî åãî è íå íóæíî

ðåøàòü. Ìîæíî ïîñòóïèòü èíà÷å:

+=++−

xxx

⇔











≥+

+=++−

)

(

225

xxx

⇔











−≥

,02

⇔











−≥

)

(

Îòâåò: 0.

Êîììåíòàðèé. Âîçìîæíîñòü ïåðâîãî ðàâíîñèëüíîãî ïåðåõî-

äà ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ àðèôìåòè÷åñêîãî êâàäðàòíîãî êîð-

íÿ. Òàêîãî ðîäà ðàâíîñèëüíîñòè ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå â ëåê-

öèè 4.

Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå

−=−12

Ðåøåíèå. ÎÄÇ ïîëó÷èì èç óñëîâèÿ

012 ≥−

. Òî åñòü

≥

Âîçâåäåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ â êâàäðàò:

=−

012

=+−

. Ïîëó÷åííûé êîðåíü âõîäèò â ÎÄÇ, íî, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, íå

ÿâëÿåòñÿ êîðíåì äàííîãî óðàâíåíèÿ.

Îòâåò: íåò êîðíåé.

Çíà÷èò ëè ýòî, ÷òî íàõîæäåíèå ÎÄÇ â ïðèìåðå 5 ñîâñåì áåñïî-

ëåçíî? Íåò. Íåñêîëüêî èçìåíèì ðàññóæäåíèÿ: ïîñêîëüêó 2x1 ≥0,

òî

<−≤−

, ñëåäîâàòåëüíî,

210

−<

, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îï-

ðåäåëåíèþ àðèôìåòè÷åñêîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ.

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå

)

2lg

(

−+−=−

xxx

Ðåøåíèå. ÎÄÇ äàííîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè

3≥

≥3

, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå, óäîâëåòâîðÿ-

þùåå ÎÄÇ,

Ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî õ = 3  êîðåíü óðàâíåíèÿ.

Îòâåò: 3.

Âûâîäû:

1) Èíîãäà íàéòè ÎÄÇ òðóäíåå, ÷åì ðåøèòü óðàâíåíèå, à ìîæåò

áûòü, è âîâñå íåâîçìîæíî (ñì. ïðèìåð 4).

2) Òî, ÷òî íàéäåííûå êîðíè âõîäÿò â ÎÄÇ, âîâñå íå ãàðàíòèðó-

åò, ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò èñõîäíîìó óðàâíåíèþ, äàæå åñëè âñå

ïðåîáðàçîâàíèÿ âûïîëíåíû áåç îøèáîê (ïðèìåð 5).

3) Èíîãäà èñïîëüçîâàíèå ÎÄÇ ïîëåçíî, ïîñêîëüêó äàåò âîçìîæ-

íîñòü áûñòðî ðåøèòü óðàâíåíèå (ïðèìåð 6).

Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ÷àùå âñåãî íàõîäèòü â ÿâíîì âèäå ÎÄÇ íå îáÿ-

çàòåëüíî.

Òàê êàê æå âñå-òàêè ðåøàòü óðàâíåíèÿ (íåðàâåíñòâà, ñèñòåìû

íåðàâåíñòâ)?

Óíèâåðñàëüíûõ ðåöåïòîâ íåò. Íàó÷èòüñÿ âûáèðàòü íàèáîëåå

ýôôåêòèâíûå ïóòè ðåøåíèÿ ìîæíî òîëüêî ñ îïûòîì.

Î ñèñòåìàõ è ñîâîêóïíîñòÿõ

óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ

Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàå-

ìûå ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ.

Ïóñòü äàíî äâà óðàâíåíèÿ

)

(

)

(

xgxf

)

(

)

(

xgxf

(1.6.) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàäàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ îä-

íîé ïåðåìåííîé, åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè âñå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, ïðè

êîòîðûõ îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû îáðàùàþòñÿ â âåðíûå ðàâåíñòâà.

Ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþò çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, îáðà-

ùàþùåå îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû â âåðíûå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà.

Ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå ñèñòåìû:







)

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

(1.7.) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàäàíà ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé ñ îä-

íîé ïåðåìåííîé, åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåí-

íîé, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ õîòÿ áû îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû

îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî. Ðåøåíèåì ñîâîêóïíîñòè

óðàâíåíèé íàçûâàþò çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, îáðàùàþùåå õîòÿ áû

îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî.

Ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå ñîâîêóïíîñòè:

() ()

() ().

fx gx







Ðåøèòü ñèñòåìó (èëè ñîâîêóïíîñòü) óðàâíåíèé  îçíà÷àåò íàé-

òè âñå ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà (èëè ñîâîêóïíîñòü) ðå-

øåíèé íå èìååò.

Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé ïðèìåíÿþò è áîëåå ñëîæíûå êîíñòðóê-

öèè. Íàïðèìåð, ñèñòåìû óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ, ñîâîêóïíîñòè

Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ, íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ

Ëåêöèÿ 1

ñèñòåì è òàê äàëåå. Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ, ìû â õîäå ïðåîáðàçîâàíèé

áóäåì ïîëó÷àòü íå òîëüêî óðàâíåíèÿ, íî è íåðàâåíñòâà, à òàêæå ñè-

ñòåìû (ñîâîêóïíîñòè) óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ (ñìåøàííûå ñèñòåìû).

Ïðèìåð 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå

)

(

)

(

=−++

Ðåøåíèå. Âñå ñëàãàåìûå ëåâîé ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ íå-

îòðèöàòåëüíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî âîçìîæíî, òîëüêî åñëè

êàæäîå èç ñëàãàåìûõ ðàâíî íóëþ.

Òàêèì îáðàçîì,

)

(

)

(

=−++

⇔

(2)0,

(1)0







−=





⇔







−=

Ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà ïðîòèâîðå÷àò äðóã äðóãó, ñëåäîâàòåëü-

íî, ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé. Â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà

íåñîâìåñòíà.

Îòâåò: íåò ðåøåíèé.

Â äàëüíåéøåì ìû íå âñåãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü óêàçàííûå îáî-

çíà÷åíèÿ äëÿ ñèñòåì è ñîâîêóïíîñòåé óðàâíåíèé, â íåêîòîðûõ ñëó-

÷àÿõ ìû áóäåì çàïèñûâàòü óðàâíåíèÿ â îäíó ñòðîêó, óêàçûâàÿ ïðè

ýòîì, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà èëè ñîâîêóïíîñòü.

Â ïåðâîé ëåêöèè ìû áóäåì ãîâîðèòü î ðåøåíèè àëãåáðàè÷åñêèõ

óðàâíåíèé (öåëûõ è äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ). Èìåííî ýòîò ðàçäåë ïðåä-

ñòàâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûì äëÿ ïîíèìàíèÿ äàëüíåéøåãî.

Ýòî îáóñëîâëèâàåòñÿ ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè. Âî-ïåðâûõ, èìåííî

íà ìàòåðèàëå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ðàöèîíàëüíûõ è äðîáíî-

ðàöèîíàëüíûõ) ëåã÷å âñåãî ïðîâåñòè ïåðâîå çíàêîìñòâî ñ îñíîâíûìè

ïîíÿòèÿìè òåîðèè è âûðàáîòàòü íàâûê ðàáîòû ñ íèìè. Âî-âòîðûõ,

ðåøåíèå çàäà÷ èç äðóãèõ ðàçäåëîâ ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè (â ÷àñ-

òíîñòè, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ, ïîêàçàòåëüíûõ, ëîãàðèôìè÷åñêèõ è

äðóãèõ òðàíñöåíäåíòíûõ óðàâíåíèé, íåðàâåíñòâ è èõ ñèñòåì) ÷àùå

âñåãî ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.

Íàïîìíèì, ÷òî:

(1.8.) Óðàâíåíèå

)

(

)

(

xgxf

, ãäå

)

(

)

(

 ìíîãî÷ëåíû,

íàçûâàþò öåëûì ðàöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì. Ðàöèîíàëüíûå óðàâ-

íåíèÿ ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó

-10

++ + =0

ax a x a

Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà

axaxa

+++

íàçûâàþò ñòåïåíüþ

ðàöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Íàèáîëåå ïðèñòàëüíîå âíèìàíèå â

øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè óäåëÿþò ðàöèîíàëüíûì óðàâíåíèÿì

ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè. Â íàøåì êóðñå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü,

êàê ïðàâèëî, óðàâíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé.

(1.9.) Óðàâíåíèå,

)()( xgxf =

, ãäå

)(xf

)

(

 äðîáíûå ðàöèî-

íàëüíûå ôóíêöèè, íàçûâàþò äðîáíî-ðàöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì.

Äðîáíî-ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó

1

01

++ +

ax a x a

bx b x b

Îáùèå ìåòîäû ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé

Íàïîìíèì íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâ-

íåíèé.

Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè (ðàñùåïëåíèå óðàâíåíèé)

Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè îñíîâàí íà ñëåäóþùåé ñõå-

ìå:

ÎÄÇ.

()

() ()

()

fx gx

⋅=⇔

∈

















Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ âèäà

0)()( =⋅ xgxf

ìîæíî çàìåíèòü åãî ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ áîëåå ïðîñòûõ óðàâíå-

íèé

)

(

)

(

ïðè óñëîâèè, ÷òî êàæäîå èç íèõ ðàññìàò-

ðèâàåòñÿ íà ÎÄÇ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.

Çàìåòèì, ÷òî åñëè

)

(

)

(

 ìíîãî÷ëåíû, òî ÎÄÇ èñ-

õîäíîãî óðàâíåíèÿ è êàæäîãî èç óðàâíåíèé ñîâîêóïíîñòè ñî-

âïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïîýòîìó äëÿ ðà-

öèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñõåìà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè âû-

ãëÿäèò ïðîùå:

() 0

() () 0

() 0.

fx gx



⋅=⇔





Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå

064164

=+−−

xxx

Ðåøåíèå. Ðàçëîæèì ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íà ìíîæèòåëè ìåòîäîì

ãðóïïèðîâêè. Ïîëó÷èì:

)

(

)

(

=−−−

xxx

⇔

)

)(

(

=−−

⇔

)

(

)

(

=+−

Îòâåò:

4±

Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ, íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ

Ëåêöèÿ 1

Ïðèìåð 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå

=−

Ðåøåíèå. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå:













+=−

⇔





































−

⇔













−−













÷òî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé





−=





Îòâåò:

−

101 ±

Ïðè ðàçëîæåíèè íà ìíîæèòåëè ëåâîé ÷àñòè öåëîãî ðàöèîíàëü-

íîãî óðàâíåíèÿ ïðèìåíÿþò ñëåäóþùóþ òåîðåìó.

Òåîðåìà 4. Åñëè

 êîðåíü óðàâíåíèÿ

0)( =xf

, ãäå

)(xf



ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n, òî

)

(

)

(

)

(

xgxxxf

⋅−=

, ïðè÷åì

)

(

 ìíî-

ãî÷ëåí ñòåïåíè n1.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî

)

(

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

)

(

)

(

xgxx

⋅−

Ïóñòü

()

n n

fx ax ++a x+a

 êîðåíü óðàâíåíèÿ

0)( =xf

òîãäà

)

(

, è

00010

() ( ) () ( ) ( )

n

f x f x f x a x x ++a xx

Ïîñêîëüêó

)

)(

(

−−−−

+⋅++⋅+−=−

nnnnnn

xxxxxxxxxx

òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ìîæíî âûíåñòè çà ñêîáêè âûðàæåíèå

−

, à âûðàæåíèå â ñêîáêàõ  ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n  1.

Ïðèìåð 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå

010

=−+

Ðåøåíèå. Ïîäñòàíîâêîé óáåäèìñÿ, ÷òî 2  êîðåíü óðàâíåíèÿ.

Ðàçëîæèì ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íà ìíîæèòåëè:

3322

+10

(

2

)

(

24

)

(

510

)

(

2

)

(

2

)

(

2

)(

2

)(

+2 +5

)

xx x x x x x

xx xx x x x x

Ïîëó÷èì óðàâíåíèå:

)

)(

(

=++−

xxx

⇔

250.

−=





++=



Âòîðîå óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè êîðíåé íå èìååò.

Îòâåò: 2.

Ðàöèîíàëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ

Êàêèì æå îáðàçîì ìîæíî «óãàäàòü êîðåíü»? Ìîæíî ïîïû-

òàòüñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.

Òåîðåìà 5. Åñëè

 öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ

)

(

, ãäå

f(x)  ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, ñâîáîäíûé ÷ëåí êî-

òîðîãî íå ðàâåí 0, òî

 äåëèòåëü ñâîáîäíîãî ÷ëåíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

()

n n

fx ax ++a x+a

)

(

Òî åñòü

00 10



ax a x a

+…+ =

, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

(

−

−++

)

ax a

−

+=, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî

 äåëèòåëü

Ïðèìåð 11. Íàéäèòå öåëûå êîðíè óðàâíåíèÿ

016249

=−+−

xxx

Ðåøåíèå. Äåëèòåëè ñâîáîäíîãî ÷ëåíà:

1±

2±

4±

8±

16±

Ïîäñòàíîâêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî 1 è 4  êîðíè óðàâíåíèÿ.

Îòâåò: 1; 4.

Ìîæíî äîêàçàòü è áîëåå îáùóþ òåîðåìó.

Òåîðåìà 6. Åñëè

 ðàöèîíàëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ

)

(

, ãäå

)

(

 ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, òî m 

äåëèòåëü ñâîáîäíîãî ÷ëåíà, à n  äåëèòåëü ñòàðøåãî ÷ëåíà.

Äîêàæèòå ýòó òåîðåìó ñàìîñòîÿòåëüíî.

Ïðèìåð 12. Íàéäèòå ðàöèîíàëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ

01334

=−++

xxx

Ðåøåíèå. Öåëûå è ðàöèîíàëüíûå êîðíè ñîäåðæàòñÿ ñðåäè ÷è-

ñåë:

1±

Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ, íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ

Ëåêöèÿ 1

Ïîäñòàíîâêà ïîêàçûâàåò, ÷òî åäèíñòâåííûé ðàöèîíàëüíûé êî-

ðåíü óðàâíåíèÿ

Îòâåò:

«Èçáàâëåíèå» îò çíàìåíàòåëÿ

Íåðåäêî ìîæíî óïðîñòèòü óðàâíåíèå, óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè

íà îáùèé çíàìåíàòåëü åãî äðîáíûõ ÷ëåíîâ.

Ñõåìà ìåòîäà:







≠

⇔=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

xgxf

Ïðèìåð 13. Ðåøèòå óðàâíåíèå

+−

Ðåøåíèå.

+−

⇔











≠+−

=+−

.034

,023

Êîðíè óðàâíåíèÿ

023

=+−

Êîðåíü 1  ïîñòîðîííèé, òàê êàê

03141

=+⋅−

Îòâåò: 2.

Ïðèìåð 14. Ðåøèòå óðàâíåíèå

222

+−

−

−−

xxx

Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì çíàìåíàòåëè â ïðîèçâåäåíèå:

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

−−

−+

−

−+

xxxx

Ñîñòàâëÿåì îáùèé çíàìåíàòåëü:

)

)(

(

−−+

xxx

Ïðåîáðàçóåì:

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

(

−+−

−−+−

xxx

Óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå:











≠−

≠+

≠−

+=+−

.03

,01

,1136

xxx

⇔











≠

±≠

=+−

,0127

Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ: 4 è 3.

Êîðåíü 3  ïîñòîðîííèé, ïîñêîëüêó

3≠

Îòâåò: 4.

Çàìåíà ïåðåìåííîé â óðàâíåíèè

Ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííîé (èëè, èíà÷å, ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîãî

íåèçâåñòíîãî) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðàâíå-

íèå

)

(

)

(

xpxf

óäàëîñü ïåðåïèñàòü â âèäå

))

(

))

(

xgpxgf

. Ðåøå-

íèå óðàâíåíèÿ

)

(

)

(

xpxf

ïðîâåäåì â äâà ýòàïà:

1) Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî

uxg

)

(

, ðåøèì óðàâíåíèå

() ()

fu pu

Ïîëó÷èì: u

, u

, ..., u

 êîðíè óðàâíåíèÿ =

() ()

fu pu

2) Ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøèì óðàâíåíèÿ

)(

uxg

)(

uxg

, …,

uxg

)

(

Ïîëó÷åííûå êîðíè è áóäóò êîðíÿìè óðàâíåíèÿ

)

(

)

(

xpxf

Ñõåìà ìåòîäà:

()

(()) (())

() ,

gx u

fgx pgx

gx u





=⇔





ãäå ,,, êîðíè óðàâíåíèÿ () ().

uu u fu pu

Ââåäåíèå íîâîé ïåðåìåííîé ïîçâîëÿåò «ðàçáèòü çàäà÷ó íà ïîä-

çàäà÷è», òî åñòü âìåñòî îäíîãî ñëîæíîãî ðåøàòü íåñêîëüêî ïðî-

ñòûõ óðàâíåíèé.

Ïðèìåð 15. Ðåøèòå óðàâíåíèå

)

)(

(

=++++

xxxx

Ðåøåíèå. Ïóñòü

++=

xxu

, òîãäà èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðè-

íèìàåò âèä

)

(

, îòêóäà

012

=−+

−=

Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:

=++

=−+

, îòêóäà

−=

−=++ xx

=++

. Óðàâíåíèå êîðíåé íå èìååò.

Îòâåò: 2; 1.

Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ, íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ

Ëåêöèÿ 1

Ïðèìåð 16. Ðåøèòå óðàâíåíèå

)

(

)

(

−

Ðåøåíèå. Ïóñòü

xxu 4

+= .

Ïåðåïèøåì èñõîäíîå óðàâíåíèå â âèäå

−

. Äîìíî-

æèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà îáùèé çíàìåíàòåëü, ïîëó÷èì ñèñòåìó











−≠≠

=−+

.4,0

,054

Ðåøåíèå ñèñòåìû:

−=

Îñòàëîñü ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé







=++

=−+

.054

,014

Âòîðîå óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè êîðíåé íå èìååò, êîðíè ïåðâî-

ãî:

52 ±−

Ïðèìåð 17. Ðåøèòå óðàâíåíèå













−++

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî åñëè a  êîðåíü óðàâíåíèÿ, òî

−

òàêæå êîðåíü óðàâíåíèÿ. Â ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ ïîäñòàíîâêîé.

Â òàêèõ ñëó÷àÿõ ïîëåçíî ïîïðîáîâàòü çàìåíó:

−=

, òîãäà

−+=

+=+

. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå:

=−+

062

=−+

, êîðíè êîòîðîãî 2 è

Îñòàëîñü ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé

−=−

=−

, ÷òî ðàâíîñèëüíî:

210

2320.



+−=



−−=



Êîðíè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:

21 ±−

, êîðíè âòîðîãî: 2;

−

Îòâåò: 2;

−

;

21 ±−

Ïðèìåð 18. Ðåøèòå óðàâíåíèå

222

)

)(

(

xxxxx

=+−++

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî

íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî

óðàâíåíèÿ. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà

Ïîëó÷èì:

3 =













+−













Ïóñòü

, òîãäà

)

)(

(

=−+

030

=−+

, îò-

êóäà

−=

Îñòàëîñü ðåøèòü óðàâíåíèÿ

−=+

Îòâåò:

135 ±

63 ±−

Ïðèìåð 19. Ðåøèòå óðàâíåíèå

−

Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì èñõîäíîå óðàâíåíèå:

1 −

−+

−

−+

−

xxxx

⇔

−

xxxx

⇔

−

⇔

−

Ïóñòü

, òîãäà

−

, îòêóäà

)

)(

(

16654

−−

+−

Èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò ÷åòûðå êîðíÿ.

Îáùèå ñâåäåíèÿ îá óðàâíåíèÿõ, íåðàâåíñòâàõ è èõ ñèñòåìàõ

Ëåêöèÿ 1

Îòâåò:

4±

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå ñëó÷àè çàìåíû â àëãåáðà-

è÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ.

Áèêâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ

Óðàâíåíèÿ âèäà

=++

cbxx

, áóäåì íàçûâàòü áèêâàäðàò-

íûìè óðàâíåíèÿìè.

Ïåðâûé ñïîñîá. Áèêâàäðàòíîå óðàâíåíèå ìîæíî çàìåíîé

ñâåñòè ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ

=++

cbyy

Ïðèìåð 20. Ðåøèòå óðàâíåíèå

0110

=+−

Ðåøåíèå. Ïóñòü

0110

=+−

, òîãäà

245

2,1

±=

Ðåøèâ ñîâîêóïíîñòü íåïîëíûõ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé

245

−=

, ïîëó÷èì îòâåò.

Îòâåò:

245

4,3,2,1

±±=

Ìîæíî äåéñòâîâàòü èíà÷å.

Âòîðîé ñïîñîá. Ïðè

, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàìåíîé

Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà õ

. Ïîëó÷èì:

010

=−+

012

=−+⋅+













îòêóäà

±=+

Ðåøèì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ:

0112

=+−

2,1

±=

−=+

0112

=++

3,4

x =− ±

Èíòåðåñíî, ÷òî ýòî òå æå ñàìûå êîðíè, ÷òî è â ïðåäûäóùåì

ïðèìåðå.

Ïðèìåð 21. Ðåøèòå óðàâíåíèå

)

(

)

(

=++−

Ðåøåíèå. Ïóñòü

1+=

, òîãäà èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðèíè-

ìàåò âèä

)

(

)

(

=++−

, îíî ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ

02524

=−+

, êîòîðîå óæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áè-

êâàäðàòíîå óðàâíåíèå. Ðåøèòå åãî ñàìîñòîÿòåëüíî.

Îòâåò: 0 è 2.

Ñèììåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ

Óðàâíåíèÿ âèäà

=++++++++

−−

axaxaxaxaxa

KKK

ãäå êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ, ðàâíî îòñòîÿùèõ îò êîíöîâ, ðàâíû

ìåæäó ñîáîé, íàçûâàþò ñèììåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè.

Ñèììåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1) ñèììåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå íå÷åòíîé ñòåïåíè èìååò êîðåíü

1−=

, â ÷åì ìîæíî óáåäèòüñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé;

2) óðàâíåíèå ÷åòíîé ñòåïåíè 2n ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè

ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñòåïåíè n.

Ïðèìåð 22. Ðåøèòå óðàâíåíèå

025131352

2345

=++−−+

xxxxx

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî

1−=

 êîðåíü èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.

Ïóñòü

1−≠x . Ðàçäåëèì ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íà

1+x

è ïîëó-

÷èì ñèììåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ÷åòâåðòîé ñòåïåíè:

0231632

234

=++−+

xxxx

Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà õ

31632

=⋅+⋅+−+

è ñãðóïïèðóåì ÷ëåíû óðàâíåíèÿ:

23160



+++−=





Ïóñòü òåïåðü

, òîãäà

−=+

, è ïîñëå ïðåîá-

ðàçîâàíèé ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå

02032

=−+