Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики
Подождите немного. Документ загружается.
60
61
Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé
Ëåêöèÿ 3
=−
=−
42
,83
2
3
ba
aba
⇔
−=
=−
42
,1662
2
3
ab
aba
⇔
⇔
−=
=−−
42
,16
)
4
(
32
2
23
ab
aaa
⇔
3
2
12 16 0,
24.
aa
ba
−+=
=−
Íàéäåì öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ
01612
3
=+−
aa
è ïðåäñòà-
âèì ëåâóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:
0
)
82
)(
2
(
2
=−+−
aaa
è
0
)
4
(
)
2
(
2
=+−
aa
, îòêóäà
2
1
=
a
,
4
2
−=
a
.
Èì ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿ:
0
1
=
b
,
6
2
=
b
.
Îñòàëîñü ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì óðàâíåíèé
=
=+
0
,2
xy
yx
è
=
−=+
.6
,4
xy
yx
10. (2; 1), (1; 2). 11. (4; 2), (2; 4). 12. (3; 2), (2; 3). 13. (3; 2),
(3; 2),
−−
3
1
;
3
4
,
3
1
;
3
4
.
14.
()
23; 6;32
. Óêàçàíèå. Ïåðåìíîæèâ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû,
ïîëó÷èì:
36=
xyz
. 15. (5; 2; 7) è (5; 2; 7). Óêàçàíèå. Ñëîæèâ
óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïîëó÷èì:
196
)
(
2
=++
zyx
.
Ðàññìîòðèì äâà ñëó-
÷àÿ: 1) åñëè
14=++
zyx
, òî
5=
x
,
2=
y
,
7=
z
; 2)
14−=++
zyx
,
òî
5−=
x
,
2−=
y
,
7−=
z
.
16. Ê ïåðâîìó óðàâíåíèþ, óìíîæåííîìó íà 2, ïðèáàâèì âòîðîå
óðàâíåíèå, óìíîæåííîå íà 3, è òðåòüå óðàâíåíèå. Ïîëó÷èì:
22
2
22 2
22
66,
44,
21 2 3 22 ,
12 24 24 12 0
xy z
xyz
xyy z
xz x z
+−=
−− =−
−+=
−+−=
⇔
=++−
=+−
−=−−
=−+
.0
)
221
)(
(
,223221
,44
,66
222
2
22
zxzx
zyyx
zyx
zyx
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
1) Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå
zx
=
â ïåðâîå è âòîðîå óðàâíå-
íèÿ ñèñòåìû, à çàòåì ñëîæèì:
0
)
1
(
)
1
(
22
=−+−
yz
. Ïîëó÷èì:
1===
zyx
. Ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòî ðåøåíèå ñèñòåìû.
10.
()()
()
=−+
=++
.3
)
1
(
,1011
22
xyyx
yx
Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé (1114).
11.
=+
+=+
.6
,42
22
yx
xyyx
12.
=+
=+
.5
,
6
13
yx
x
y
y
x
13.
=−
=+−
.5
,7
22
22
yx
yxyx
Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè (1416).
14.
2,
3,
6.
xy
z
yz
x
xz
y
=
=
=
15.
=++
=++
=++
.98
)
(
,28
)
(
,70
)
(
zyxz
zyxy
zyxx
16.
22
2
22 2
66,
44,
21 2 3 22 .
xy z
xyz
xyy z
+−=
−− =−
−+=
Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
1. (1; 4), (5; 1). 2. (4; 2), (2; 4) 3. (3; 2), (3; 2). 4. (2; 3),
(3; 2). 5. (5; 2). 6. (2; 1), (2; 1). 7.
19
3
;
19
14
,
19
1
;
57
14
. 8. (6; 9),
(9; 6). 9. (0; 2), (2; 0). Ïåðåïèøåì ñèñòåìó
=+
=+
4
,8
22
33
yx
yx
â âèäå
=−+
=+−+
42
)
(
,8
)
(
3
)
(
2
3
xyyx
yxxyyx
è âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé:
ayx
=+
,
bxy
=
.
Ïîëó÷èì:
62
63
Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé
Ëåêöèÿ 3
Ëåêöèÿ 4
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Óðàâíåíèå èëè íåðàâåíñòâî, ñîäåðæàùåå ïåðåìåííûå (íåèçâåñò-
íûå) ïîä çíàêîì êîðíÿ èëè äðîáíîé ñòåïåíè, ïðèíÿòî íàçûâàòü
èððàöèîíàëüíûì.
Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ
xx
=+
3
,
3
1
1
1
=
−
−
x
x
,
06
3
1
3
2
=−+
xx
èððàöèîíàëüíûå, à óðàâíåíèÿ
3
1
)
21
(
2222
+=+++
x
è
02522
3
2
=−++
xx
íåò, ïîñêîëüêó â íèõ ïåðåìåííûå (íåèçâåñ-
òíûå) íå ñîäåðæàòñÿ ïîä çíàêîì êîðíÿ èëè äðîáíîé ñòåïåíè.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé
Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü
×àñòî èñïîëüçóåìûé «ñïåöèôè÷åñêèé» ïðèåì ðåøåíèÿ èððà-
öèîíàëüíûõ óðàâíåíèé âîçâåäåíèå â ñòåïåíü. Íàèáîëåå ðàñ-
ïðîñòðàíåííûé ñëó÷àé âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ â
êâàäðàò.
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå
)
(
)
(
xgxf
=
, âîîáùå ãîâîðÿ, íåðàâíî-
ñèëüíî óðàâíåíèþ
)
(
)
(
22
xgxf
=
. Äåéñòâèòåëüíî:
)
(
)
(
22
xgxf
=
⇔
0
)
(
)
(
22
=−
xgxf
⇔
⇔
()()
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=+−
xgxfxgxf
⇔
() ()
0
() ()
0
fx gx
fx gx
−=
+=
⇔
() ()
() ()
.
fx gx
fx gx
=
=−
Òî åñòü ðåøàÿ óðàâíåíèå
)
(
)
(
22
xgxf
=
, ìû íàõîäèì êîðíè äâóõ
óðàâíåíèé
)
(
)
(
xgxf
=
è
)
(
)
(
xgxf
−=
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèå
)
(
)
(
22
xgxf
=
ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèé
)()( xgxf =
è
)
(
)
(
xgxf
−=
. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ñðåäè êîðíåé óðàâíåíèÿ
)
(
)
(
22
xgxf
=
ñîäåðæàòñÿ âñå êîðíè óðàâíåíèÿ
)
(
)
(
xgxf
=
, íî ìî-
ãóò îêàçàòüñÿ êîðíè, ïîñòîðîííèå äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ.
Òî åñòü åñëè ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ âîçâåäåíèå
â êâàäðàò, òî íåîáõîäèìî äåëàòü ïðîâåðêó èëè ðàññìàòðèâàòü äî-
2)  ñëó÷àå, êîãäà
0221 =++
zx
, òîãäà
zx
−−=
2
1
. Ïîäñòà-
âèì â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû:
063
22
=−+−−
zyz
, îòêóäà
0
)
3
(
22
=+−
zy
,
0
)
3
)(
3
(
=−−++
zyzy
.
Ïóñòü
3+=
zy
. Ïîäñòàâèì âî âòîðîå óðàâíåíèå è ïîñëå ïðåîá-
ðàçîâàíèé ïîëó÷èì:
05164
2
=+−
zz
. Ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ ïî-
ëó÷åííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ áóäåò
2
114 ±
=
z
.
Åñëè æå
3−−=
zy
, òî
02984
2
=+−
zz
, è óðàâíåíèå ðåøåíèé
íå èìååò.
Îòâåò: (1; 1; 1),
+++−
2
114
;
2
1110
;
2
115
,
−−−−
2
114
;
2
1110
;
2
115
.
64
65
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
1215
2
−=++
xxx
.
Ðåøåíèå. Âîçâåäåì èñõîäíîå óðàâíåíèå â êâàäðàò.
Ïîëó÷èì:
1215
2
−=++
xxx
⇒
22
)12(15
−=++
xxx
⇒
⇒
093
2
=−
xx
⇒
0
1
=
x
,
3
2
=
x
.
Âûïîëíèì ïðîâåðêó:
1)
0
=
x
, òîãäà
11
−=
, ÷òî íåâåðíî êîðåíü ïîñòîðîííèé;
2)
3
=
x
, òîãäà
1321353
2
−⋅=+⋅+
, îòêóäà
525 =
, ÷òî
âåðíî.
Îòâåò: 3.
Ðåøåíèå ïðèìåðà 1 ìîæíî îôîðìèòü èíà÷å.
1215
2
−=++
xxx
⇔
≥−
−=++
012
,
)
12
(
15
22
x
xxx
⇔
⇔
≥
=−
2
1
,093
2
x
xx
⇔
0
3,
1
.
2
x
x
x
=
=
≥
Êîðåíü óðàâíåíèÿ
0=
x
íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
2
1
≥
x
.
Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
323 +=+
xx
.
Ðåøåíèå.
323 +=+
xx
⇔
≥+
+=+
03
,
)
3
(
)
2
(
9
2
x
xx
⇔
−≥
=−−
3
,093
2
x
xx
⇔
⇔
−≥
±
=
.3
,
2
453
x
x
Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ
3−≥
x
.
1) Íåðàâåíñòâî
3
2
453
−≥
+
î÷åâèäíî.
ïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèÿ
)
(
)
(
xgxf
=
è
)
(
)
(
22
xgxf
=
ðàâíîñèëüíû.
Óðàâíåíèå
)()( xgxf =
ðàâíîñèëüíî
)
(
)
(
22
xgxf
=
, â ñëåäóþùèõ
ñëó÷àÿõ
1)
>
>
,0
)
(
,0
)
(
xg
xf
2)
<
<
,0
)
(
,0
)
(
xg
xf
3)
=
=
.0
)
(
,0
)
(
xg
xf
 ïåðâîì è âòîðîì ñëó÷àÿõ óðàâíåíèå
)
(
)
(
xgxf
−=
íå èìååò
êîðíåé, à â òðåòüåì êîðíè óðàâíåíèé
)
(
)
(
xgxf
=
è
)
(
)
(
xgxf
−=
ñîâïàäàþò.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñôîðìóëèðóåì â âèäå òåîðåìû.
Òåîðåìà 1. Åñëè óðàâíåíèå, îáå ÷àñòè êîòîðîãî îäíîâðåìåííî íå-
îòðèöàòåëüíû (èëè îäíîâðåìåííî íåïîëîæèòåëüíû), âîçâåñòè â êâàä-
ðàò, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå èñõîäíîìó óðàâíåíèþ.
Èëè â âèäå ñõåìû:
22
() (),
() 0, () 0
() ().
() (),
() 0, () 0
fx gx
fx gx
fx gx
fx gx
fx gx
=
≥≥
⇔=
=
≤≤
Çàìå÷àíèå.  òåîðåìå 1 ðå÷ü èäåò òîëüêî îá îäíîì ïðåîáðàçî-
âàíèè âîçâåäåíèè â êâàäðàò. Ïîñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîãóò
ïðèâåñòè ê ðàñøèðåíèþ (èëè ñóæåíèþ) ÎÄÇ óðàâíåíèÿ, ÷òî íåîá-
õîäèìî èññëåäîâàòü îòäåëüíî.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ óðàâíåíèÿ âèäà
)
(
)
(
xgxf
=
ïîëó÷èì:
()
≥
=
⇔=
.0
)
,
(
)
(
)
(
)
(
2
xg
xgxf
xgxf
Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ óðàâíåíèÿ âèäà
)
(
)
(
xgxf
=
ïîëó÷èì:
() () () ()
0
fx gx fx gx
=⇔=≥
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
66
67
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
2
6,
0
tt
t
=−
≥
⇔
2
60,
0
tt
t
+− =
≥
⇔
2
=
t
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
22
=−
x
.
Îòâåò: 6.
Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
122
33
=−++
xx
.
Ïóñòü
ax
=+
3
2
,
bx
=−
3
2
, òîãäà
4
33
=+
ba
è
1
=+
ba
.
Ðåøèì ñèñòåìó:
22
4,
1
aabb
ab
−+=
+=
⇔
2
()3 4,
1
ab ab
ab
+− =
+=
⇔
1,
1.
ab
ab
=−
+=
Îòêóäà
ab
−= 1
.
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â ïåðâîå óðàâíåíèå:
01
2
=−−
aa
.
Äàëåå, ïîëó÷èì:
2
51
2,1
±
=
a
è
2
51
2
3
±
=+
x
.
Âîçâåäåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ â êóá:
3
)
51
(
)
2
(
8
+=+
x
⇔
5515531168 +++=+
x
⇔
5=
x
.
Àíàëîãè÷íî:
3
)
51
(
)
2
(
8
−=+
x
⇔
5515531168 −+−=+
x
⇔
5−=
x
.
Îòâåò:
5
±
.
Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå
)
5
(
44554
2
+=++
xxxx
.
Ðåøåíèå. Ïóñòü
5+=
xa
,
0≥
a
.
Óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:
04454
22
=−+
aaxx
.
Ðåøàåì åãî îòíîñèòåëüíî õ:
222
729441625
aaaD
=⋅+=
.
Äàëåå,
a
aa
x
4
11
1
8
275
=
+−
=
è
a
aa
x
4
8
275
2
−=
−−
=
.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àè:
1) Åñëè
ax
4
−=
, òîãäà
54 +−=
xx
, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
8016
2
+=
xx
ïðè óñëîâèè, ÷òî
0
≤
x
.
2)
3
2
453
−≥
−
⇔
6453 −≥−
⇔
459
≥
, íåðàâåíñòâî âåðíî,
ñëåäîâàòåëüíî, îáà êîðíÿ óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
3−≥
x
.
Îòâåò:
2
453 ±
=
x
.
Ïðèìåð 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
221
22
−=−−
xxx
.
Ðåøåíèå. Äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå
≥−
−=−−
.01
,221
2
22
x
xxx
Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ ïîëó÷èì óðàâíåíèå
01
2
=−+
xx
, îòêóäà
2
51
1
+−
=
x
è
2
51
2
−−
=
x
.
Ïðîâåðèì, âûïîëíÿåòñÿ ëè óñëîâèå
01
2
≥−
x
.
Äëÿ ýòîãî çàïèøåì óðàâíåíèå
01
2
=−+
xx
â âèäå
xx
−=−
1
2
.
Òîãäà, òàê êàê
0
2
51
1
>
+−
=
x
,
01
1
2
1
<−=−
xx
, ÷òî îçíà÷à-
åò, ÷òî êîðåíü
1
x
ïîñòîðîííèé.
À òàê êàê
0
2
51
2
<
−−
=
x
, òî
01
2
2
2
>−=−
xx
, îòêóäà ñëåäó-
åò, ÷òî
2
x
êîðåíü èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Îòâåò:
2
51 −−
.
Çàìåíà ïåðåìåííûõ
Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
xx
−=−
82
.
Ðåøåíèå. Ïóñòü
2−=
xt
, òîãäà èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàâíî-
ñèëüíî:
68
69
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
0≥
y
,
2
63
yy y
−−=−
.
Ðåøèì ñèñòåìó:
2
63 ,
0
yy y
y
−−=−
≥
⇔
22
6(3 ),
30
yy y
y
−−= −
≥≥
⇔
3=
y
,
îòêóäà
37
=+
x
.
Îòâåò: 2.
Òðè ðåøåíèÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ
Ïðèìåð 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå
31 =++
xx
.
Ðåøåíèå 1. Âîçâåäåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ â êâàäðàò è ïðåîáðà-
çóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå:
31 =++
xx
⇔
()
91
2
=++
xx
⇔
⇔
≥
=+++
.0
,9
)
1
(
212
x
xxx
⇔
≥
−=+
.0
,4
)
1
(
x
xxx
Âíîâü âîçâåäåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ â êâàäðàò:
22
816,
40,
0
xxx x
x
x
+= − +
−≥
≥
⇔
916,
40
x
x
=
≥≥
⇔
9
16
=
x
.
Îòâåò:
9
16
.
Ðåøåíèå 2. Ïóñòü
xa
=
,
1+=
xb
.
Ïîëó÷èì ñèñòåìó:
=−
=+
1
,3
22
ab
ba
⇔
=−
=+
3
1
,3
ab
ba
⇔
=
=
.
3
10
2
,
3
8
2
b
a
Ñëåäîâàòåëüíî,
3
4
=
a
, îòêóäà
3
4
=
x
è
9
16
=
x
.
Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
08016
2
=−−
xx
ðàâíû
20
è 4,
ïåðâûé èç íèõ ïîñòîðîííèé.
2) Åñëè
ax
4
11
=
, òîãäà
5114
+=
xx
, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
60512116
2
+=
xx
ïðè óñëîâèè, ÷òî
0
≥
x
.
Îäèí èç êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
060512116
2
=−−
xx
ðàâåí 11, à äðóãîé îòðèöàòåëåí; ñëåäîâàòåëüíî, âòîðîé êîðåíü
ïîñòîðîííèé.
Îòâåò: 11 è 4.
Ïðèìåð 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå
xxxxx
=++−++ 463483
22
.
Ðåøåíèå. Ïóñòü
axx
=++
483
2
,
bxx
=++
463
2
, òîãäà
xba
2
22
=− è
xba
=−
, îòêóäà
xbax
2)(
=+
.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àè:
1)
0
=
x
êîðåíü èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ;
2)
0
≠
x
, òîãäà
,
2,
ab x
ab
−=
+=
è
xa
+=
22
.
3) Äàëåå, ðåøèì óðàâíåíèå
xxx
+=++ 24832
2
.
Ýòî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå:
22
4(3 8 4) (2 ) ,
20
xx x
x
++=+
+≥
⇔
≥+
=++
.02
,0122811
2
x
xx
Îòêóäà
2
1
−=
x
,
11
6
2
−=
x
.
Îòâåò: 0; 2;
11
6
−
.
Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå
82 7 1 7 4xxxx++ ++ +− +=
.
Ðåøåíèå. Ïóñòü
7+=
xy
, òîãäà
0≥
y
, è óðàâíåíèå ïðèíè-
ìàåò ñëåäóþùèé âèä:
22
21 64
yy yy+++ −−=
⇔
22
(1) 64
yyy++ −−=
⇔
⇔
2
164
yyy
++ −−=
.
70
71
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
Ðåøåíèå. Âûïîëíèì çàìåíó
y
x
u
=
â óðàâíåíèè
2
5
=+
x
y
y
x
.
Ïîëó÷èì:
2
1
2
1
=+
u
u
, îòêóäà
2
1
=
u
,
2
1
2
=
u
.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé
2
1
=
u
:
10,
2
xy
x
y
+=
=
⇔
10,
4
xy
xy
+=
=
⇔
=
=
.8
,2
x
y
Ñëó÷àé
2
1
2
=
u
ìîæíî ðàññìîòðåòü àíàëîãè÷íî.
Îòâåò: (2; 8), (8; 2).
Èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ èñïîëüçóþòñÿ òå æå
èäåè, ÷òî è ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé. Îñíîâíîå îòëè÷èå: ïðîâåðêà
ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ, êàê ïðàâèëî, íåâîçìîæíà, è ïðèõîäèò-
ñÿ èñïîëüçîâàòü ðàâíîñèëüíîñòü.
Ïðèìåð 12. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
0
32
2
2
2
>
++
−−
xx
xx
.
Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî
032
2
>++
xx
ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ
ïåðåìåííîé, è óìíîæèì íà íåãî îáå ÷àñòè äàííîãî íåðàâåíñòâà:
0
32
2
2
2
>
++
−−
xx
xx
⇔
02
2
>−−
xx
⇔
02
2
>−−
xx
⇔
⇔
0
)
2
)(
1
(
>−+
xx
.
Îòâåò:
()()
;1 2;
−∞ − ∪ +∞
.
Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü
Êàê è â ñëó÷àå óðàâíåíèé, íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ ïðè-
åì ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ âîçâåäåíèå â ñòåïåíü.
×àùå âñåãî âñòðå÷àåòñÿ âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â
Ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî
9
16
êîðåíü èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Ðåøåíèå 3. Ïóñòü
1
)
(
++=
xxxf
.
Çàìåòèì, ÷òî
)
(
xf
âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ íà ñâîåé îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ.
Èç êóðñà àëãåáðû è íà÷àë àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî âîçðàñòàþùàÿ
ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò êàæäîå èç ñâîèõ çíà÷åíèé òîëüêî ïðè îäíîì
çíà÷åíèè àðãóìåíòà, à ñëåäîâàòåëüíî, èìååò íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ:
3
3
5
3
4
1
9
16
9
16
9
16
=+=++=
f
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
9
16
åäèíñòâåííûé êîðåíü èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Íåêîòîðûå èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ðåøèòü, ñâîäÿ
èõ ñ ïîìîùüþ òîé èëè èíîé çàìåíû ê îäíîðîäíûì óðàâíåíèÿì,
îòíîñèòåëüíî äâóõ ïåðåìåííûõ.
Ïðèìåð 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå
3
2
3
2
3
2
514
)
7
(
2
)
2
(
xxxx
−−++=−
.
Ðåøåíèå. Ïóñòü
3
2
xa
−=
,
3
7
xb
+=
, òîãäà äàííîå óðàâíåíèå
ïðèìåò âèä
abba
+=
22
2
, îòêóäà
02
22
=−−
baba
,
ba
−=
1
,
ba
2
2
= .
 ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
3
3
72
xx
+−=−
, ÷òî ðàâ-
íîñèëüíî óðàâíåíèþ
72 −−=−
xx
, êîòîðîå êîðíåé íå èìååò.
Âî âòîðîì ñëó÷àå:
3
3
722
xx
+=−
⇔
5682 +=−
xx
⇔
549 −=x
⇔
6−=x
.
Îòâåò:
6−
.
Ïðèìåðû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé
Ïðèìåð 11. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
=+
=+
.
2
5
,10
x
y
y
x
yx
72
73
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
Ðåøåíèå. Èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè ñè-
ñòåì:
⇔ ⇔
⇔⇔
Îòâåò: .
Ïðèìåð 14. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
312
+>−+−
xxx
.
Ðåøåíèå. Òàê êàê
012 ≥−+−
xx
è
03 ≥+
x
, òî èñõîäíîå
íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî:
()()
22
312
+>−+−
xxx
⇔
≥+
+>−⋅−+−
03
,321232
x
xxxx
⇔
⇔
≥+
≥−
−>−−
03
,02
,6
)
2
)(
1
(
2
x
x
xxx
⇔ ⇔
⇔
2
4( 1)( 2) (6 ) ,
62
(1)(2)0,
6.
xx x
x
xx
x
−−>−
≥≥
−−≥
>
22
2
21(23),
230
210,
230
xx x
x
xx
x
−+> −
−≥
−+≥
−<
2
2
51480,
3
2
210,
3
2
xx
x
xx
x
−+<
≥
−−≤
<
4
2,
5
3
2
12 12,
3
2
x
x
x
x
<<
≥
+≥≥−
<
3
2,
2
3
12 .
2
x
x
≤<
−≤<
)
12;2
−
2
(
1
)(
2
)
6,
2
xx x
x
−−>−
≥
êâàäðàò.
Òàê êàê ôóíêöèÿ
2
xy
=
âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå
[
0;
)
+∞ è óáû-
âàåò íà ïðîìåæóòêå
(
;0
]
−∞
, òî èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òåîðåìû.
Òåîðåìà 2. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íåîòðèöàòåëüíû, òî ïðè
âîçâåäåíèè â êâàäðàò ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå èñ-
õîäíîìó.
Èëè â âèäå ñõåìû:
)
(
)
(
0
)
(
)
(
22
xgxfxgxf
>⇔>>
.
Òåîðåìà 3. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íåïîëîæèòåëüíû, òî
ïðè âîçâåäåíèè íåðàâåíñòâà â êâàäðàò è çàìåíå çíàêà íåðàâåíñòâà
íà ïðîòèâîïîëîæíûé ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå èñõîä-
íîìó.
Èëè â âèäå ñõåìû:
22
() () 0 () ()
fx gx f x g x<<⇔ >
.
Ïðèâåäåì ñõåìû ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ îñíîâíûõ òèïîâ èððàöè-
îíàëüíûõ íåðàâåíñòâ.
1) Íåðàâåíñòâî
)
(
)
(
xgxf
>
:
0
)
(
)
(
)
(
)
(
≥>⇔>
xgxfxgxf
.
2) Íåðàâåíñòâî
)
(
)
(
xgxf
<
:
2
() (),
() () () 0,
() 0.
fx g x
fx gx fx
gx
<
<⇔ ≥
>
3) Íåðàâåíñòâî
)
(
)
(
xgxf
>
:
Ïðèìåð 13. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
3212
2
−>+−
xxx
.
2
() (),
() 0
() ()
() 0,
() 0.
fx g x
gx
fx gx
fx
gx
>
≥
>⇔
≥
<
74
75
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
2
11 24,
0
aa
a
−>
≥
⇔
(3)(8)0,
0
aa
a
−−<
≥
⇔
83 <<
a
.
Äàëåå ïîëó÷èì:
64
12
43
9 <
−
−
<
x
x
.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àè:
1) Åñëè
012 >−
x
, òî äàííîå íåðàâåíñòâî ïðèâîäèòñÿ ê ñèñòå-
ìå, íå èìåþùåé ðåøåíèé:
>−
−<−
−<−
.012
,6412843
,43918
x
xx
xx
2) Åñëè
012
<−
x
, òî äàííîå íåðàâåíñòâî ïðèâîäèòñÿ ê ñèñòåìå:
18 9 3 4,
3412864,
210
xx
xx
x
−> −
−> −
−<
⇔
15 5,
60 125 ,
210
x
x
x
>
>
−<
⇔
1
,
3
12
,
25
1
2
x
x
x
>
>
<
⇔
112
325
x<<
.
Îòâåò:
112
(; )
325
.
Äâà ðåøåíèÿ îäíîãî íåðàâåíñòâà
Ïðèìåð 17. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
4363
2
−≤+−
xxx
.
Ðåøåíèå 1. Èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå:
22
2
36(34),
360,
340
xx x
xx
x
−+≤ −
−+≥
−≥
⇔
2
821100,
4
3
xx
x
−+≥
≥
⇔
⇔
5
8
(
2
)( )
0,
8
4
.
3
xx
x
−−≥
≥
Ðåøèì ïåðâóþ ñèñòåìó:
2
4( 1)( 2) (6 ) ,
26
xx x
x
−−>−
≤≤
⇔
22
4( 3 2) 12 36,
26
xx x x
x
−+>− +
≤≤
⇔
⇔
2
3280,
26
x
x
−>
≤≤
⇔
6
3
28
≤≤
x
.
Ðåøèì âòîðóþ ñèñòåìó. Çàìåòèì, ÷òî ïðè
6>
x
íåðàâåíñòâî
(
1
)(
2
)
0
xx
−−≥
âûïîëíåíî, ïîýòîìó õ > 6.
Îòâåò:
28
;
3
+∞
.
Çàìåíà ïåðåìåííûõ â íåðàâåíñòâàõ
Ïðèìåð 15. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
1434
22
>−−+−
xxxx
.
Ðåøåíèå. Ïóñòü
xxa
4
2
−= , òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ èñõîäíîãî
íåðàâåíñòâà äîñòàòî÷íî ðåøèòü ñèñòåìó íåðàâåíñòâ:
2
31 ,
0
aa
a
+>+
≥
⇔
22
312 ,
0
aaa
a
+>+ +
≥
⇔
≥
>
.0
,1
a
a
Ñëåäîâàòåëüíî,
140
2
<−≤
xx
.
Ïîëó÷åííîå äâîéíîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå:
2
2
41,
40
xx
xx
−<
−≥
⇔
25 25,
(
4
)
0
x
xx
−<<+
−≥
⇔
≤≥
+<<−
.0 , 4
,5252
xx
x
Îòâåò:
)
52 ;4
[
]
0 ;52
(
+∪−
.
Ïðèìåð 16. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
24
12
43
11
12
34
>
−
−
+
−
−
x
x
x
x
.
Ðåøåíèå. Ïóñòü
12
43
−
−
=
x
x
a
, òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ èñõîäíîãî
íåðàâåíñòâà ìîæíî ðåøèòü ñèñòåìó:
76
77
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
Åùå íåñêîëüêî ïðèìåðîâ
Ïðèìåð 18. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
32
2
−>−+
xxx
.
Ðåøåíèå. Ìîæíî ðåøàòü «êàê îáû÷íî», à ìîæíî èñïîëüçîâàòü
ÎÄÇ:
ÎÄÇ:
02
2
≥−+
xx
⇔
21
≤≤−
x
.
Íî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ õ ïðàâàÿ ÷àñòü èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà îò-
ðèöàòåëüíà, è ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî.
Îòâåò:
]
2 ;1
[
−
.
Ïðèìåð 19. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
1342
33
>−++
xx
.
Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî
33
342
)
(
−++=
xxxf
âîçðàñòàåò, è
1)2( =f
. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî
2
>
x
,
1
)
2
(
)
(
=>
fxf
. Àíàëî-
ãè÷íî, äëÿ ëþáîãî
2<
x
,
1)2()( =< fxf
.
Îòâåò:
)
;2
(
∞+
.
Óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëåì
Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëåì, íåðåäêî èñïîëüçó-
þò ïðèåìû, íàïîìèíàþùèå ïðèåìû ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ
óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ.
Òàê, óðàâíåíèå
)
(
)
(
xgxf
=
ðàâíîñèëüíî
)
(
)
(
22
xgxf
=
, ïî-
ñêîëüêó
0
)
(
≥
xf
è
0
)
(
≥
xg
, òî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè óðàâ-
íåíèé
)()( xgxf =
è
)()( xgxf −=
.
Èëè â âèäå ñõåìû:
() ()
() ()
() ().
fx gx
fx gx
fx gx
=
=⇔
=−
Ïðèìåð 20. Ðåøèòå óðàâíåíèå
xxx
26
2
−=−
.
Ðåøåíèå.
xxx
26
2
−=−
⇔
2
2
62
62
xxx
xx x
−= −
−= −
⇔
2
2
360
60.
xx
xx
−+=
−−=
Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû êîðíåé íå èìååò.
Îòâåò: 2; 3.
Óñëîâèå
063
2
≥+−
xx
ìîæíî íå ó÷èòûâàòü, ïîñêîëüêó îíî
âûïîëíåíî äëÿ âñåõ õ.
Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû âûïîëíåíî, åñëè
2≥
x
è
5
8
x
≤
.
Äàëåå ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
1)
2,
4
3
x
x
≥
≥
⇔
2
≥
x
;2)
5
,
8
4
3
x
x
≤
≥
ïðîòèâîðå÷èå.
Îòâåò:
[2; )
+∞
.
Ðåøåíèå 2. Ðåøèì äàííîå íåðàâåíñòâî ìåòîäîì èíòåðâàëîâ.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
4363)(
2
+−+−=
xxxxf
.
1)
RfD
=
)(
, ïîñêîëüêó
063
2
≥+−
xx
äëÿ ëþáîãî õ;
2) ôóíêöèÿ
)(
xf
íåïðåðûâíà íà R;
3) íàéäåì êîðíè óðàâíåíèÿ
0)(
=
xf
.
Äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå:
22
36(34),
340
xx x
x
−+= −
−≥
⇔
≥
=+−
.
,010218
3
4
2
x
xx
Ïîëó÷àåì åäèíñòâåííûé êîðåíü
2
=
x
. Òàêèì îáðàçîì, f(x) ñî-
õðàíÿåò çíàê íà ïðîìåæóòêàõ
)2 ;(
−∞
è
) ;2(
∞+
.
Îïðåäåëèì çíàê
)
(
xf
íà êàæäîì èç óêàçàííûõ ïðîìåæóòêîâ:
1)
0)(
>
xf
íà
)2 ;(
−∞
, òàê êàê
046)0(
>+=
f
;
2)
0)(
<
xf
íà
) ;2(
∞+
, òàê êàê
0524496927)3(
<−=+−+−=
f
.
Îòâåò:
[2; )
+∞
.
Íàïîìíèì, ÷òî ìåòîä èíòåðâàëîâ ñâîäèò ðåøåíèå íåðàâåíñòâà
ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ.
Êàêîé èç ýòèõ ìåòîäîâ ëó÷øå? Âûáîð çà âàìè.
78
79
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Ëåêöèÿ 4
Ïðèìåð 23. Ðåøèòå óðàâíåíèå
812 −=−+−
xxx
.
Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî
012 ≥−+−
xx
, ñëåäîâàòåëüíî,
8≥
x
è
èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ ,
îòêóäà
5−=
x
, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ
8≥
x
.
Îòâåò: íåò êîðíåé.
Ïðè ðåøåíèè ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü ïîëåçíîé ãåî-
ìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ìîäóëÿ
ba
−
êàê ðàññòîÿíèÿ íà êî-
îðäèíàòíîé ïðÿìîé ìåæäó òî÷êàìè ñ êîîðäèíàòàìè à è b.
Ïðèìåð 24. Ðåøèòå óðàâíåíèå
xx
22
413
−+ −=
.
Ðåøåíèå. Íà ãåîìåòðè÷åñêîì ÿçûêå: òðåáóåòñÿ íàéòè òî÷êè ñ
êîîðäèíàòàìè x
2
òàêèå, ÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé îò ýòèõ òî÷åê äî
òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè 4 è 1 ðàâíà 3. Èç ðèñóíêà âèäíà, ÷òî ýòè
òî÷êè ðàñïîëîæåíû íà îòðåçêå [1; 4].
Ðèñ. 12
Ñëåäîâàòåëüíî,
41
2
≤≤
x
.
Îòâåò:
2; 1 1; 2−−∪
.
Èíîãäà ê óðàâíåíèÿì ñ ìîäóëåì ñâîäÿòñÿ èððàöèîíàëüíûå óðàâ-
íåíèÿ.
Ïðèìåð 25. Ðåøèòå óðàâíåíèå
21
)
2
(
1
)
2
(
=++++−
xxxx
.
Ðåøåíèå. Äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ
22
(1) (1) 2
xx−+ +=
⇔
112
xx
−++=
.
Îòâåò: [1; 1].
Ñõåìû ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâ ñ ìîäóëåì àíàëîãè÷íû ñõåìàì ðå-
øåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé, òàê íåðàâåíñòâî
)
(
)
(
xgxf
>
ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó
)
(
)
(
22
xgxf
>
.
Ïðèìåð 26. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
15 +>−
xx
.
()()
218
xxx
−+−=−
Âñòðå÷àåòñÿ è òàêàÿ ñõåìà:
()
0,
() ()
() ()
() ()
,
gx
fx gx
fx gx
fx gx
≥
=⇔
=
=−
íàä åå îáîñíîâàíèåì ïîäóìàéòå ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ïðèìåð 21. Ðåøèòå óðàâíåíèå
xx −=− 46
2
.
Ðåøåíèå.
xx
−=− 46
2
⇔
2
2
40,
64
64
x
xx
xx
−≥
−=−
−=−
⇔
2
2
4,
10 0
20.
x
xx
xx
≥
+− =
−−=
Êîðíè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:
1,2
141
2
x
−±
=
, êîðíè âòîðîãî: 1 è 2.
Âñå êîðíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
04 ≥−
x
.
Îòâåò: 1; 2;
2
411 ±−
.
Ïðèìåð 22. Ðåøèòå óðàâíåíèå
033
2
=+++
xxx
.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
1)
3−≥
x
, òîãäà äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ
034
2
=++
xx
, êîòîðîå èìååò êîðíè 3 è 1. Îáà êîðíÿ óäîâëåò-
âîðÿþò óñëîâèþ
3−≥
x
.
2)
3−<
x
, òîãäà
032
2
=−+
xx
, îòêóäà
1
1
=
x
,
3
2
−=
x
. Îáà
êîðíÿ íå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
3−<
x
.
Çàìåòèì, ÷òî â êàæäîì ñëó÷àåâ íåðàâåíñòâî ýòî óñëîâèå,
ïðè êîòîðîì èñõîäíîå óðàâíåíèå ñ ìîäóëåì ïðåâðàùàåòñÿ â óðàâ-
íåíèå áåç ìîäóëÿ. Òèïè÷íàÿ îøèáêà øêîëüíèêè è àáèòóðèåí-
òû «çàáûâàþò» âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòèì óñëîâèåì.
Îòâåò: 3 è 1.
Ïðè ðåøåíèè íåêîòîðûõ óðàâíåíèé ìîæíî èçáåæàòü ïîëíîãî
ïåðåáîðà.
2