Даниленко Т.С. Организация и производство геодезических работ при крупном строительстве

Подождите немного. Документ загружается.

выполнено уравнивание за условие фигур и учтены ошибки исход-

ных данных, пользуются формулами [93]

\2 /т \2 /Шо\2

2^5

4/г + З

(IV.29)

где m

>:L и mr'.L— относительные средние квадратические ошиб-

ки сдвига конечной точки висячей цепочки длиной L; m

тр — соответственно средние квадратические ошибки дирекцион-

ного угла, базиса и измеряемых углов; п — число сторон в ходо-

вой линии.

Ошибка положения конечной точки ходовой линии определя-

ется формулой

М = }ftn

> + ml. (IV.30)

Предполагая, что исходные данные безошибочные, и учитывая

(IV.29),

/ш

Здесь т$ = Л/ (где /р — невязки в треугольниках, k — число

треугольников в цепи, k=2n)

Предположим, что точка Р находится от точки В на расстоянии

L = 2500 м и определена в результате построения висячей цепоч-

ки из четырех равносторонних треугольников.

Если углы треугольников измерены со средней квадратической

ошибкой тр = ± 2", а исходная сторона принята за безошибоч-

ную, то по (IV.31), найдем

М = ± 3,5 см.

б) Цепь треугольников, опирающаяся на твердые стороны. Сеть

делят на две примерно равные висячие цепи (см. рис. 40) и вы-

числяют координаты общих точек по каждой части аналогично

рассмотренному выше примеру. Среднюю величину несходимостй

координат точек подсчитывают в соответствии с формулой (IV. 30)

(IV.32)

Если разность координат не превышает допустимой величины,

то за окончательные принимают средние значения координат этих

точек.

§ 37. ПРЕДВЫЧИСЛЕНИЕ ОШИБОК ЭЛЕМЕНТОВ

В НАБЛЮДАЕМЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ

На территории строительства возникает необходимость в вос-

становлении в разных местах утраченных и определении дополни-

тельных пунктов.

!2lYULL+i^

, (IV.31)

148

1. в треугольнике с восстанавливаемым или

определяемым пунктом С (рис. 41, а) измеряют все

углы, вычисляют угловую невязку и распределяют ее поровну на

все углы.

Оценку точности длин определяемых сторон выполняют соглас-

но (IV.9)

/т. \

/тЛ2 о ml

Ьг) = (т) + Т 7"

[ctg2

ctg2 + ctg ctg w

(т)

+ т f f

ctg2

+ ctg

Рз + ctg P

ctg PJ

(IV.33)

Рис. 41. Построение треугольников

Применительно к рассматриваемому треугольнику связи ошиб-

ка положения точки С относительно В определится по формуле

проф. Ф. Н. Красовского [46)

Второй член слагаемого под корнем выражает влияние ошибки

измерения базиса пг

, а третий — его ориентирования /я

на точ-

ность положения определяемого пункта.

Принимая за безошибочные координаты исходных пунктов А

и В

перепишем формулу в виде

М =•

+ 6

(IV.35)

sin

к 3

Если выразить определяемые стороны треугольника через базис

Sin Рз

S, = ь

sin

то получим

м —

sin

fti + sin

fa -f~sin

— р sin

^з V 3

Рз

(IV.36)

(IV.37)

149

В равностороннем треугольнике согласно (IV.35)

М 1,166. (IV.38)

При Ъ = 2,5 км и тр = 4" найдем М = ± 5,6 см.

Имея в виду, что ошибки в положении пунктов сгущения допус-

кают в среднем 5—6 см [52, стр. 19], вычисленная величина соот-

ветствует установленной норме.

Для оценки элементов треугольника служат формулы: средней

квадратической ошибки дирекционного угла определяемой стороны

Si иди s

— формула (IV. 16) и относительной средней квадрати-

ческой ошибки длины определяемой стороны.»

?-/(?Мт)' <

1V39

2. Построение вытянутого треугольника. Если

вблизи одного из пунктов, например В, стороны АВ сети необхо-

димо определить дополнительную точку С (рис. 41,6), то наблю-

дают все три угла треугольника. После вычисления угловой

невязки и распределения ее на все углы поровну с обратным знаком

находят длины определяемых сторон и решают прямую геодезиче-

скую задачу. Для предвычисления относительной средней квадра-

тической ошибки можно воспользоваться формулой (IV.7),

приняв исходную сторону АВ за безошибочную.

Предположим, требуется определить сторону ВС треугольника

с относительной средней квадратической ошибкой m

:s = 1:20ООО,

если А = 15

и = 85°. Необходимо установить точность

измерения углов (тр). Так как величина

Kctg

15° + ctg

85°+ ctg 15°ctg 85° =

= 1/(3,73)

+ (0,09)

+ (3,73 • 0,09) = 3,78,

то из (IV.7) __

2,06 . 10»

-л

Г 3 q

„

2 • 10

• 3,78 V Т

= ±

^ '

Отношение длин исходной и определяемой сторон составит

b sin В 0,996

sin А 0,259

= 3,8.

Переход от длинных сторон триангуляции главной геодезиче-

ской сети к сторонам малых фигур нового построения может быть

осуществлен по схеме базисной сети.

3. Построение сети из прямоугольных тре-

угольников. Когда направление с пункта А

на определяемую

точку С (рис. 41, в) расположено под тупым углом к исходной сто-

роне AIA

, переход от большой стороны сети А\А

к малой С\С

нового построения может быть осуществлен построением базисной

сети из подобных прямоугольных треугольников [46].

150

Решая предыдущую задачу для двух подобных прямоугольных

треугольников и применяя формулу (IV. 7), будем иметь

= ]/ 4 £

Ctg

A V2 = ^ £ ctg А, (I V.40)

откуда после подстановки числовых значений получим

1 . 2,06 . IQi . УЗ д

— 2 • 10

• 2 • 3,73 ~~ ^ ' '

При этом по длине определяемая линия будет меньше исход-

ной приблизительно в (3,8)

= 14,4 раза.

Если необходимо сохранить уменьшение длины определяемой

линии по отношению к исходной в 3,8 раза, то величину угла в пря-

моугольных треугольниках найдем по формуле

А = arc sin У (IV.41)

Имея в виду, что s:

= 1 : 3,8, получим А ^ 30,8°. В таком

случае углы в треугольнике следует измерять с ошибкой не более

(согласно IV. 40) _

1 . 2,06 . ю

/з р.

„

2 • Ю

• 2 • 1,58 - ± •

4. Линейная засечка. От исходных пунктов Л, В (рис.

41, г), координаты которых известны, по направлениям a

, а

на

определяемую точку С измеряют расстояния а и Ь со средними

квадратическими ошибками соответственно т

и т

Для оценки точности координат точки, определяемой линейной

засечкой, применяют формулы:

_ т

sin

+ щ

sin

х ~~ sin

_ т\ cos

a + ml cos

(1V.42)

sin*

(т — У

Г0Л П

определяемой точке).

Среднюю квадратическую ошибку в положении точки относи-

тельно исходных пунктов находят согласно (IV.33) по формуле

-3+3. (IV.43)

sin

При измерении линий светодальномером, например СТ-65,

средние квадратические ошибки в длинах линии можно считать

одинаковыми, определяемыми по формуле

= ± (15 + 3D км) мм.

Поэтому в равностороннем треугольнике с s = 4 км и т

=з

= ть = tn

согласно (IV.43) средняя квадратическая ошибка поло-

жения определяемого пункта составит

М = ± 1,6m

= ± 4,3 см.

151

Таким образом, и в этом случае при общих условиях обеспе-

чивается необходимая точность положения определяемого пункта.

Ожидаемую среднюю квадратическую ошибку в расстоянии

между двумя одиночно определенными пунктами находят по

формуле

= VW+Ш. (IV.44)

§ 38. ОШИБКА ПОЛОЖЕНИЯ ПУНКТА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО

УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКОЙ

Для контроля и повышения точности определения положения

одиночного пункта следует производить избыточные измерения

элементов в схеме построения или включать большее число исход-

ных пунктов.

Если для определения положения пункта засечками обозначить

общее число измеренных направлений через D, то должно соблю-

даться неравенство

D —

— 2 = t> 1, (IV.45)

где п — число пунктов, с которых велись наблюдения;

/ — число избыточных и мерений.

Чем больше избыточных измерений в схеме построения, тем точ-

нее определяется положение пункта.

1. Если не представляется возможным произвести избыточные

измерения, как в случае прямой угловой засечки с одного базиса,

то обязательно во вторую руку проверяют полевые измерения,

выписку исходных данных и вычисление координат определяемой

точки Q (рис. 42, а).

По известной стороне АВ = Ь и прилегающим к ней углам

и 02 вычисляют по теореме синусов все остальные элементы тре-

угольника: длины сторон s

и угол 7 между ними:

j = 180° — ф

— р

)

_ и sin р

_ , sin

l —

cin

Ik.

_L_

кЛ

—

sin(f*i + p

) sin 7

sin fl^ + p

) sin 7

(IV.46)

Принимая базис засечки за безошибочный, средние квадрати-

ческие ошибки координат и положения пункта вычисляют по

формулам [93]

Шр

( s^ cos

+ s\ cos

<Zj)

(sj sin

-f- s\ sin

sin

7 '

sin

Д1

« "Ut+s 1)

~~ p

sin

(IV.47)

152

или, с учетом равенства (IV.46),

= V^T Vsin

^ + sinf

, (1 V.48)

где — средняя квадратическая ошибка измерения угла.

Из формулы (IV. 48) вытекает, что при одной и той же ошибке

измерения углов ошибка М положения определяемого пункта

зависит от величины базиса и прилежащих углов. Когда угол за-

сечки т приближается к 90°, засечка получается точнее. Наиболее

точно положение пункта, определяемого угловой засечкой, нахо-

дится из равнобедренного треугольника с углом засечки, равным

109°28' [93].

В равностороннем треугольнике

М = 1,63 (IV.49)

При Ь =2,5 км и /72р =3" no(IV.49) найдем М = ±5,9 см.

Полученное значение ошибки в положении определяемой точки

несколько больше принятой величины для пунктов сгущения сети,

поэтому необходимо включить в задание измерение и угла засечки

в точке Q, либо угловую засечку осуществить с трех пунктов.

2. При многократной прямой угловой засечке координаты иско-

мого пункта получают из строгого уравнивания либо (при неболь-

ших длинах сторон) вычисляют, как и в случае простой засечки,

с одного базиса, но по каждому из двух треугольников, а за окон-

чательный результат принимают среднее значение.

153

Среднюю квадратическую ошибку М положения определяемого

пункта Q при многократной прямой угловой засечке по схеме

PiQ — P

Q И P

Q—P

Q (рис. 42,6) вычисляют по формуле [21]

= (sl^)

+(slFT

)

f[4 + (ctg

-ctg

n. (IV. 50)

Если принять измеренные элементы засечки в другой комби-

нации: P

Q—P

Q и P

Q— P

Q, то величину М определяют по формуле

+ (IV.51)

В формулах обозначено: — средняя квадратическая ошибка

измерения угла; -j^, у

, у

— углы при определяемом пункте; s

, s

— расстояния от исходных пунктов до искомого, выраженные

в сотнях метров (при этом величина М получается в см).

3. Величину средней квадратической ошибки положения пункта,

дирекционного ynfa и длины определяемой стороны при много-

кратной прямой угловой засечке (рис. 42, в) можно вычислить по

формулам [71]:

где т — средняя квадратическая ошибка измерения угла в сек;

s—расстояние от твердого пункта до определяемого; у — угол при

вершине определяемого пункта, причем в знаменателе берутся зна-

чения во всех комбинациях индексов i и k\ п — число направлений.

Наиболее показательно выделяются ошибки т

ап

и т

$п

, относя-

щиеся к коротким сторонам.

При определении пункта с двух базисов засечки

где Тз=Т1 + Т2 согласно обозначениям на рис. 42,6.

Применяя схему связи, показанную на рис. 42, г в формуле

(IV.53) следует произвести замену углов засечки:

(IV.52)

(IV. 53)

Ti ~ Т2з> Тг — 7i3> Тз — Ti2-

154

В случае определения пункта с трех базисов (рис. 42, в)

(с четырех пунктов) согласно формуле (IV.52)

т /

3 +

4 ~f~

4 +

"1 /

Sin2

h +

Sin2

f +

•ля III / I L О " I Z 4

Z О 4

M =

T-L / «?<? ,IN2

4- A? ,,-ni

+ sfsf sin

Тз

+ S

sin

; + •

(IV

)

Sin

+ s

sin

7з

Здесь обозначения по схеме связи (рис. 42, в).

Применительно к рис. 42, д в формуле (IV.54) следует заменить

обозначения углов засечки, имея в виду, что

Т12» Т2

Тгз» Тз

Тз4» Т*

Т12 ~Ь Тгз

Ti3> f2

Ti4»

ТЗ = Т23 + Т34 = Т24.

В приведенных формулах расстояния выражают в километрах,

величину р сокращают на 10

, что позволяет вычисления произво-

дить при помощи логарифмической линейки, а результаты полу-

чать в сантиметрах.

При предвычислении точности определения положения пункта

величины расстояний и углов можно измерить графически на пла-

не, а средней квадратической ошибкой измерения (построения)

угла задаться.

Если предстоит вынести на местность проектную точку с пре-

дельной погрешностью М

то необходимую точность построения

углов засечки находят, определяя по формуле величину т.

4. Обратная угловая засечка. На измерения при определении

одиночных пунктов методом обратной угловой засечки требуется

сравнительно немного времени, и в организационном отношении

выгоды этого метода перед приведенными выше очевидны и зна-

чительны.

Для оценки точности определения положения пункта состав-

ляют чертеж обращенного треугольника (рис. 43, а). От определя-

емого пункта Q по направлениям на исходные пункты Л, В, С

о" п" о"

в принятом масштабе откладывают величины —, — и —, обоз-

начают точки соответственно а, 6, с, а стороны полученного треу-

гольника — а

, а

И а

Оценку точности положения пункта производят по следующим

формулам [93]:

а) при независимо измеренных углах Pi и (3

М=Щ

(IV

55)

б) при измерении углов способом круговых приемов

=п/ k

k•

(IV

56)

155

Здесь га

— средняя квадратическая ошибка измерения угла; Л, =

= а[ц Л

=6/2, h

=cf

— высоты обращенного треугольника.

Погрешность определения пункта обратной засечкой тем мень-

ше, чем больше площадь обращенного треугольника, и, наоборот,

погрешность увеличивается с уменьшением этой площади. Задача

становится неопределенной при расположении исходных пунктов

и определяемой точки на одной окружности.

Рис. 43. Обратная угловая засечка

Вместе с тем при одних и тех же расстояниях до исходных

пунктов площадь обращенного треугольника зависит от величин

углов Pi и Рг при определяемом пункте.

Для сопоставления вычислим значения корней формул (IV.53)

(предварительно р сократим на 10

и введем под корень, а рас-

стояния выразим в км) и (IV.55), т. е.

' = "[/ Ц+Ц

SjS2

S|Sg "I

P'sfsin» 7j + Sj sin

7 +

sin

(IV.57)

Возьмем для примера величины: s, = 4 км; s

= 3 км; s

— 5 км;

Y, = 90°; if

= 60°.

Принимая p =2",Об • 10

и имея в виду, что sin = 1,

/3 1

sin Y

= — , sin 7 ,

по

(IV. 57)

найдем

4 3

•

о оп

г (2,06)

16 1 + 9 0.25 4- 25 0,78 ~

156

Данные для вычисления z

находят по чертежу построения

обращенного треугольника. В рассматриваемом примере h

= 0,80

= 0,56, поэтому z

= 2,18.

Сравнивая величины z

и z

, замечаем хорошую их сходимость.

Ошибку положения точки, определяемой обратной угловой засеч-

кой, вычисляют по формуле

+ № (IV.58)

где S], s

, s

— расстояния до исходных пунктов; у, ср— углы при

крайних пунктах между твердой стороной и направлением на оп-

ределяемый пункт; а, с — расстояния между исходными пунктами.

Пусть расстояния между пунктами Р

Рч, Ръ (рис. 43, б), распо-

ложенными в одном створе, составляют по 1000 м. Определяемая

точка Т находится в 1000 м от пункта Р

по перпендикуляру к ство-

ру Пунктов, mp = ± 2".

Так как у +

ср

= 90°, s, : а — s

: с = УХ то по формуле (IV.58)

получим ошибку положения определяемого пункта

М = (1 • 10

• 2" • 2): 2,06. 10

^ ± 2 см.

При обратной угловой засечке наблюдают не менее четырех на-

правлений для контроля и повышения точности определения коор-

динат пункта.

§ 39. ОБЩИЙ СПОСОБ УРАВНИВАНИЯ КООРДИНАТ

ОПРЕДЕЛЯЕМОГО ПУНКТА

В триангуляции 3 и 4 классов, а также 1 и 2 разрядов и раз-

бивочных сетях измерения направлений или углов обычно прини-

мают за равноточные.

При уравнивании измеренных величин может быть применен

способ поправок координат или способ посредственных измерений

(параметрический). В качестве необходимых (независимых) неиз-

вестных принимают координаты определяемых пунктов.

Если уравнения поправок составляют для направлений, то

кроме поправок координат включают поправки ориентирующих

углов, т. е. дирекционный угол <z

k нулевого направления на

пункте k.

Измеренное направление NM представляет собой угол между

нулевым направлением и направлением на пункт i, определяемый

отсчетом по неподвижному лимбу горизонтального круга на пунк-

те k. Под нулевым направлением подразумевается положение кол-

лимационной плоскости, соответствующее нулевому отсчету на лим-

бе. При уравнивании нулевое направление представляет собой

воображаемое ориентирование в горизонтальной плоскости лимба,

соответствующее уравненному на станции ряду направлений. Обо-

значая через dki дирекционный угол измеряемого направления

NM , напишем

Nki = O-ki —

157