Денисов-Винский Н.Д. Mathcad при решении задач по Высшей математики. 1 курс

Подождите немного. Документ загружается.

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Негосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский институт энергобезопасности и энергосбережения

КАФЕДРА

ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ И ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН

Mathcad

при решении задач по курсу

МАТЕМАТИКА

I курс

Москва 2007

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Mathcad при решении задач по курсу Математика. I курс. – М.:

МИЭЭ, 2007, 113 с.

Одобрено кафедрой естественнонаучных и общетехнических дис-

циплин МИЭЭ: 17 сентября 2007 г.

Авторы: Никита Д. Денисов-Винский,

Рецензент: доц. Сергей В. Семёнов.

Автор с благодарностью примет от читателей все критические

замечания и указания по адресу: denisov.vinskiy@yandex.ru

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

СОДЕРЖАНИЕ

Введение..................................................................................4

Основы математической системы Mathcad .......................6

Массивы, векторы, матрицы и их элементы ...................13

Решение систем линейных .................................................30

алгебраических уравнений .................................................30

Работа с комплексными числами ......................................35

Вычисление пределов функций.........................................39

Построение графиков функций .........................................42

Нелинейные алгебраические уравнения ..........................55

Дифференциальное исчисление ........................................57

Построение графиков функций в пространстве .............71

Примеры решения домашнего задания в Mathcad .........78

Примеры использования Mathcad в дисциплине

«Теоретические основы электротехники»..........Ошибка!

Закладка не определена.

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Введение

При подготовке студентов по специальности Электро-

снабжение в МИЭЭ особое место занимает преподавание ес-

тественнонаучных дисциплин и математики, как универсаль-

ного инструмента для познания других дисциплин. Обучение

построено таким образом, чтобы всё то, что студент изучает

на курсе математики, ему пригодилось для изучения даль-

нейших дисциплин, в том числе специальных. Именно поэто-

му курс математики включает в себя только самые важные и

необходимы темы. При составлении курса была проведена

определённая работа, которая ставила перед собой задачу

включить в разделы математики те темы, которые находят

наибольшее отражение в других дисциплинах по специально-

сти «Электроснабжение».

При выполнении домашних заданий по математике боль-

шая часть времени у студента уходит на выполнение элемен-

тарных действий над числами – сложение, вычитание, извле-

чение корней, возведение в степень и пр. Эти действия зачас-

тую он выполняет на калькуляторе. Однако калькулятор не

только обладает ограниченными возможностями вычислений

в математики, но и не позволяет едино решать целую задачу –

т.е. без дополнительных действий в тетради. Выходом из этой

ситуации является система математических вычислений –

Mathcad. Он позволяет полностью решить задачу с необхо-

димыми промежуточными вычислениями и действиями в са-

мой программе. Собственно говоря, Mathcad создан разра-

ботчиками как инструмент работы расчётчиков–инженеров,

проектировщиков, исследователей. Он создавался как мощ-

ный калькулятор, позволяющий решать рутинные задачи

инженерной практики, ежедневно встречающихся в работе.

Главным достоинством Mathcad и его колоссальными пре-

имуществом перед другими расчётными средствами являются

легкость и наглядность программирования задачи, отображе-

ние сложных математических выражений в том виде, в каком

они обычно оформляются на листе бумаги. Именно поэтому,

при подготовке высококвалифицированных специалистов по

специальности «Электроснабжение» в МИЭЭ введено препо-

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

давание системы Mathcad наравне с другими общетехниче-

скими дисциплинами.

При изучении данного пособия, необходимо обратить

внимание на следующее:

1. Жирным шрифтом выделены команды, располагаю-

щиеся либо в меню системы Mathcad, либо на панелях

рабочего окна. Например: Matrix (Матрицы) меню

Insert (Вставка).

2. Жирным подчеркнутым шрифтом выделены примеры

или пункты, на которые необходимо обратить внима-

ние. Например: Пример, Важно !!!.

3. Пример, взятый непосредственно из системы Mathcad

будет приведён в штриховой рамке.

Как правило они будут располагаться

либо по правой, либо по левой сторо-

не страницы. В редких случаях - по

середине.

4. Курсивом отмечены важные определения в тексте.

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

I. Основы математической системы Mathcad

1.1 Алфавит входного языка системы Mathcad

Общение с пользователем системы Mathcad осуществля-

ется при помощи математического и визуального ориентиро-

ванного входного языка общения с системой. Большинство

операторов и функций входного языка знакомо пользователю

по курсу математики. Благодаря этому большая часть расчё-

тов в системе Mathcad не требует программирования в обще-

принятом смысле этого слова.

Алфавит входного языка – это совокупность символов и

слов, которые используются при задании команд и функций,

необходимых для решения интересующего пользователя

класса задач.

К укрепленным элементам языка относятся типы дан-

ных, операторы, встроенные функции, функции пользовате-

ля, процедуры и управляющие структуры.

Говоря простым языком, Mathcad как бы является упро-

щенной версией редактора Word с возможностью осуществ-

лять большое количество математических вычислений – от

самых простых: сложение или вычитание двух чисел, до мно-

гомерного математического моделирования. При этом сама

система Mathcad как бы совмещает в себе редактор (тексто-

вой, графический) и мощный калькулятор с возможностями

сложных многомерных вычислений непосредственно в доку-

менте, т.е., по большому счёту, нет необходимости выполнять

вычисления на листке бумаги при помощи настольного каль-

кулятора, строить графики от руки, а потом все это оформ-

лять на компьютере – это можно сделать сразу в Mathcad,

причём оформление документа, особенно в последних верси-

ях Mathcad, ничуть не уступают возможностям Word.

Другими словами – алфавит Mathcad можно разделить на

две составляющие: первая необходима для оформления доку-

мента и Mathcad рассматривает её как комментарии, а вторая

– для того, чтобы Mathcad мог работать с ней и выполнять

математические операции – это операторы, константы, пере-

менные и т.п.

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

1.2 Применение чисел и констант

К важнейшим типам данных в системе Mathcad относятся

константы, обычные и системные переменные, массивы (век-

торы и матрицы) и данные файлового типа.

Константы – имеющие уникальные имена объекта, хра-

нящие некоторые значения, которые определяются в процессе

загрузки системы. Mathcad поддерживает следующие типы

констант:

• целочисленные константы (например, 0, 1, 23, -45 и

т.д.);

• вещественные числа с мантиссой и порядком (напри-

мер,

105.12





, где десятичная мантисса

с константой

5.12

и порядком



);

• символьные константы, имею-

щие численное значение (например,

число



);

• системные константы, храня-

щие определенные параметры системы

(например, погрешность вычисления

TOL или нижнее значение индекса в

массивах);

• единицы измерения физиче-

ских величин;

• строковые константы – любые

цепочки символов, заключенные в кавычки;

Для проведения физических расчётов в Mathcad может

применяться особый вид констант – единицы измерения раз-

мерных величин. Помимо своего числового значения, они

характеризуются ещё и указанием на то, к какой физической

величине они относятся. При необходимости Mathcad выпол-

няет физические расчёты с соответствующим преобразовани-

ем размерных величин.

Забегая в перёд, стоит отметить, что системная константа

«TOL» отвечает за допустимую погрешность для различных

численных алгоритмов. Системная константа «ORIGIN» от-

вечает за индекс первого элемента массива.

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

1.3 Переменные

Переменные также являются имеющими уникальные

имена объектами. Однако в отличие от констант они вначале

не определены, а после определения могут принимать любые

значения в пределах своего типа. Имена констант, перемен-

ных и иных объектов называют идентификаторами. В Math-

cad тип переменной определяется её значением. Так, пере-

менные могут быть числовыми, строковыми, символьными –

поэтому тип переменной предварительно не задаётся.

Имена (идентификаторы) могут иметь практически лю-

бую длину, и в них могут входить любые латинские и грече-

ские буквы, а также цифры. Однако начинаться идентифика-

тор может только с буквы. Кроме того, необходимо отметить,

что в идентификаторах недопустимо использование пробе-

лов. Некоторые спецсимволы (например, знак подчёркивания

«_») могут входить в состав идентификатора, другие (напри-

мер, знаки арифметических действий) недопустимы, посколь-

ку ведут к неоднозначности идентификации переменной.

Значение строковых переменных задаются в кавычках.

Настоятельно не рекомендуется

в идентификаторах использовать

буквы русского языка. Строчные и

прописные буквы в идентификато-

рах различаются. Идентификаторы

должны быть уникальными, т.е. они не могут совпадать с

именами встроенных или определенных пользователем функ-

ций. Также Mathcad позволяет задавать сложные имена. Дли-

на идентификатора не ограничена.

Назначение переменных в Mathcad соответствует назна-

чению переменных в математике. Уже само их название го-

ворит о том, что значения переменных могут меняться. Они

используются для обобщенного представления данных опре-

деленного типа. К примеру, вычисление значения выражения

(3+7), равного пяти, носит весьма частный характер. Куда

более общим является вычисление значения выражения (x +

y) как суммы значений двух переменных – x и y. В частности,

при x = 3 и y = 7 для (x + y) получим значение 10, но уже при

x = 1 и y = 3 вычисление (x + y) даст уже 4.

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

1.4 Операторы и операнды

Операторы – элементы языка, предназначенные для соз-

дания математических выражений совместно с данными, име-

нуемыми операндами. Это знаки арифметических операций,

вычисления сумм и произведений членов ряда, производных,

интегралов и т.п. После указания операндов (аргументов со-

ответствующих операторов) операторы становятся исполняе-

мыми программными блоками. Также Mathcad позволяет за-

давать пользовательские операторы.

1.5 Встроенные математические и иные функции

Mathcad поддерживает множество встроенных функций,

т.е. функций, определённых в самой системе и готовых к ис-

пользованию. Функции возвращают некоторое значение в

ответ на обращение к ним с указанием аргумента (или списка

аргументов). Они возвращают

символьное или числовое зна-

чение, вектор или матрицу. В

систему встроен ряд элемен-

тарных математических функ-

ций, например функция вычис-

ления синуса

sin(x)

, натураль-

ного логарифма

)ln(x

и т.д.

Функции вводятся своими именами, принятыми в системе

Mathcad. Иногда эти имена несколько отличаются от стан-

дартных обозначений – в основном некоторым сокращением.

К примеру, тригонометрическая функция арктангенса

arctg(x)

» в Mathcad обозначается как «

atan(x)

». При вводе

функции посредством палитры функций появляется шаблон

для ввода параметров. Если на имени функции установлен

курсор ввода, то нажатие клавиши F1 открывает страницу

справки об указанной функции.

Возможно также задание функции пользователя, которые

создаются самим пользователем. Благодаря функциям поль-

зователя обеспечивается расширение входного языка Mathcad

и его адаптация к специфическим задачам пользователя.

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Многие функции не относятся к математическим. Напри-

мер, это функции осуществления файловых операций или

системные функции.

1.6 Математические выражения и приоритет операций

Функции, наряду с операторами,

могут входить в математическое выра-

жение. Например, рассмотрим сле-

дующее выражение

4)sin(5:d









. В

этом выражении «

» - переменная, « 5

» и « 4 » – числовые константы, « ∙ » и

« + » - операторы и «

)sin(



» - встроен-

ная функция. Необходимо помнить, что для вычисления этого

выражения перед ним должно быть определено значение



».

Важно !!! В большинстве задач используется углы запи-

сываются в градусах. Однако тригоно-

метрические функции Mathcad работают

только с радианами. Поэтому для удобст-

ва углы можно вводить в градусах, одна-

ко, при использовании тригонометриче-

ских функций, их необходимо переводить

в радианы. Обратные тригонометрические

функции также выводят значения в ра-

дианах. Поэтому для удобства их необхо-

димо перевести в градусы.

Выполнение математических выра-

жений осуществляется с учетом общепринятого приорите-

та операций: вначале исполняются встроенные функции, за-

тем логические операторы, далее операции возведения в сте-

пень, умножения и деления и последними - операции сложе-

ния и вычитания.

При выполнении символьных операций константы



используются только в символьном виде. Это значит, что их

численное значение не вычисляются при выводе результатов

символьных вычислений.

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

1.7 Присваивание переменным значений

Задание значений перемен-

ным называется операцией

присваивания. В отличие от

классической записи операции

присваивания в математике в

Mathcad знак равенства « = »

можно использовать как оператор присваивания только один

раз, при первом присваивании значения новой переменной

любого типа. Основное назначение этого оператора – вывод

значения переменной или выражения, после которых и ста-

виться знак равенства. До первого присваивания переменная

не определена (не имеет значения) и поэтому знак « = » сра-

батывает как оператор присваивания.

Основным знаком присваивания является составной знак

« := », вводимый двоеточием. Его можно применять как при

первом присваивании значения переменной, так и при любом

следующей по порядку операции присваивания.

Существует также «жирный» знак равенства, который ис-

пользуется в логических операциях сравнения и в записях

уравнений.

Необходимо отметить, что попытка использования неоп-

ределенной переменной ведёт к выводу сообщения об ошибке

«This variable or

function is not de-

fined above»

(«Эта перемен-

ная или функция

не определена

ранее»), при этом переменная окрашивается в ярко-красный

цвет.

1.8 Локальные и глобальные присваивания

Если переменной присваивается значение с помощью

оператора « := », то такое присваивание является локальным

и действует лишь до очередной операции присваивания. Если

операция присваивания не проводилась, то переменная будет

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

неопределенной, и её нельзя будет использовать в численных

расчётах.

Однако с помощью знака «



» (три гори-

зонтальные черточки) можно обеспечить гло-

бальное присваивание, когда переменная по-

лучает и имеет заданное значение независимо

от того, в каком месте документа стоит опера-

тор глобального присваивания. К примеру,

если переменной присвоено таким образом некоторое значе-

ние в самом конце документа, то она будет иметь это же зна-

чение и в начале документа. Разумеется, в дальнейшем значе-

ние переменной можно изменить и с помощью оператора ло-

кального присваивания.

Статус присваивания не следует путать со статусом самих

переменных. Все описанные переменные являются глобаль-

ными, поскольку их можно определять в любом месте доку-

мента и в любом месте изменять их значение.

1.9 Задание ранжированных переменных

До сих пор мы рассматривали переменные, которые име-

ют единственное значение. Однако в математике часто возни-

кает необходимость в задании некоторого ряда значений –

чаще всего упорядоченного. Например, для вычисления фак-

ториала необходимо сформировать ряд чисел от « 1 » до « N »

и перемножить их. Также упорядоченный ряд значений ка-

кой-то переменной необходим для построения графика функ-

ции – Mathcad строит графики функции по точкам, соединяя

их отрезками.

Для создания таких рядов в Mathcad используются так на-

зываемые ранжированные переменные. Иногда они заменяют

управляющие структуры – циклы, и т.д.

В самом простом случае для создания ранжированной пе-

ременной используется выражение

_endN_begin..N:Name



где

Name

- имя переменной,

N_begin

- её начальное зна-

чение,

N_end

- конечное значение, « .. » – символ, указываю-

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

щий на изменение переменной в заданных пределах. Если

N_begin

N_end

, то шаг изменения переменной будет равен

+1, в противном случае -1.

Для создания ранжированной переменной общего вида с

произвольным шагом используется выражение

N_end .. Step)(N_begin N_begin,:Name





Здесь

Step

- за-

данный шаг измене-

ния переменной (он

должен быть положи-

тельным, если

N_begin

N_end

, или

отрицательным в про-

тивном случае). С по-

мощью этой формы задания ранжированной переменной так-

же можно задавать как возрастающие, так и уменьшающие

значения ранжированных переменных.

II. Массивы, векторы, матрицы и их

элементы

2.1 Основные понятия

Центральным понятием линейной алгебры является поня-

тие массива, т.е. обозначенной именем совокупности данных.

К таким простейшим данным принадлежат векторы – одно-

мерные массивы. Ранжированная переменная отличается от

вектора тем, что невозможно использование её отдельных

значений, скажем второго или пятого. Существуют также

двумерные массивы – их принято называть матрицами. Как

вектор, так и матрица, состоят из отельных элементов, к ко-

торым возможен доступ. Доступ означает, что каждому эле-

менту вектора или массива (в общем случае это двумерный

массив - матрица) может быть присвоено значение, и к каж-

дому элементу можно обратиться для считывания этого зна-

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

чения. Так, элементами вектора, например

, являются ин-

дексированные переменные

. Здесь

- номер, или индекс,

элемента массива

В Mathcad массив (это может быть либо вектор, либо мат-

рица), как и любая другая переменная, задаётся именем. Ме-

сто положение элемента задаётся одним индексом для векто-

ра или двумя индексами для матрицы. Индексы могут быть

только целыми положительными числами или нулём.

Для ввода индекса используется клавиша “[“ – прямая от-

крывающая скобка. Не следует путать индексированные пе-

ременные со скалярными переменными, имеющими индекс в

своём имени, например силу тока -

, где нижний может обо-

значать силу тока в контуре «1» некоторой электрической

цепи. Подобные индексы – индексы в имени переменной –

вводятся с помощью точки, причём синий уголок курсора

ввода при этом охватывает всё имя, а не только область ввода

индекса.

2.2 Основные определения линейной алгебры

Перед рассмотрением возможности системы Mathcad в

решение задач линейной алгебры, рассмотрим краткие опре-

деления, относящиеся к ней.

Матрица размера (



) – прямоугольная двумерная

таблица, содержащая

строк и

столбцов элементов, каж-

дый из которых может быть представлен числом, константой,

переменной, символьным или математическим выражением.

Квадратная матрица – матрица, у которой число строк

равно

числу столбцов

, т.е. (m = n).

Единичная матрица – это квадратная матрица, элементы

которой находящиеся на главной диагонали равны единице, а

элементы не находящиеся на главной диагонали равны нулю.

Транспонированная матрица – матрица, к которой столб-

цы и строки меняются местами.

Обратная матрица – это квадратная матрица, получен-

ная из квадратной матрицы того же размера, определитель

которой отличен от нуля, и при умножении на которую даёт

единичную матрицу.

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Диагональная матрица – матрица, у которой все элемен-

ты, кроме элементов главной диагонали равны нулю.

Ранг матрицы – наибольший из порядков отличных от

нуля миноров квадратной матрицы.

Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны

нулю.

2.3 Ввод элементов векторов и матриц

Вектора и матрицы можно вводить непосредственно пу-

тём ввода их элементов – индексированных переменных, ли-

бо вводя элементы вектора или матрицы в заданный шаблон.

В первом случае для указания подстрочных индексов по-

сле имени переменной нажимается клавиша символа откры-

вающейся квадратной скобки –

Клавиши Отображаемое значение

V [ 2 :

:V

V [ 3 :

:V

Для элементов матрицы подстрочные индексы вводятся

аналогично с разделением их запятыми –

Клавиши Отображаемое значение

M [ 1,2 :

:M

1,2

M [ 0,1 :

:M

0,1

При этом необходимо помнить, что все остальные эле-

менты вектора или матрицы, которые не были введены поль-

зователем, будут автоматически иметь нулевые значения.

Пример – (для вектора) было введено

1:V



2:V



. Та-

ким образом, мы получим вектор (или матрицу-столбец),

число строк в котором, будет равняться трём (необходимо

помнить, что в Mathcad по умолчанию первый элемент векто-

ра или матрицы получает нулевое значение – т.е. самый верх-

ний элемент для вектора имеет индекс «0», для матрицы ле-

вый верхний элемент имеет индекс «0,0» <далее см. примеча-

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

ние>) и будет иметь такой вид -















. Элемент индексом

«1» не был задан пользователем и получил автоматически

нулевое значение.

Пример – (для матрицы) было введено

3:M

1,1



2:M

0,1

 . Таким образом, мы получим матрицу размера



которая будет иметь вид -















Важно !!! Как уже бы-

ло отмечено выше, элемен-

ты вектора или матрицы

являются индексированны-

ми переменными и характе-

ризуются одним (для векто-

ра) или двумя (для матри-

цы) индексами – номером

элемента в строке (или

столбце) для вектора или

номером элемента в строке

и номером элемента в

столбце. Например,

ji,

означает элемент матрицы,

расположенной в строке

столбце j .

Mathcad допускает от-

счёт индексов с “0” или “1”.

(напомним, что по умолча-

нию отсчёт индексов начинается с “0”). Это задаётся соответ-

ствующим значением системной переменой

ORIGIN

. По

умолчанию

0ORIGIN



. Для индексации векторов и матриц с

единицы введите

1:ORIGIN



. Если надо вернуться к индек-

сации с нуля задайте

0:ORIGIN



В случае вектора и матрицы, индексы определяют даль-

нейший размер вектора или матрицы.

Во втором случае для задания векторов и матриц можно

либо воспользоваться командой Matrix (Матрицы) меню

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Insert (Вставка), либо нажать комбинацию клавиш Ctrl+V,

либо щёлкнуть на кнопке с изображением шаблона матрицы.

Любое из этих действий вызывает появление диалогового ок-

на, в котором надо указать размер матрицы, т.е. количество

строк

и столбцов

. Для векторов один из этих парамет-

ров должен быть равен единице. Однако рекомендуется зада-

вать вектор при



- т.е. число столбцов равно единице.

Это делает работу с векторами более наглядной и удобной. С

помощью шаблона можно ввести матрицу с максимальным

размером до

100100



. Для ввода больших матриц использу-

ется метод, позволяющий загрузить матрицу из файла.

2.4 Векторные и матричные операции

Для работы с векторами и матрицами система Mathcad

поддерживает ряд специальных операторов и функций. Ниже

представлены основные векторные и матричные операции,

решающие простейшие задачи линейной алгебры – прежде

всего выполнение арифметических операций над векторами и

матрицами.

При выполнении арифметических операций над вектора-

ми и матрицами необходимо помнить, что при выполнении

этих операций, аналогия с обычными числами не выполняет-

ся. Так, к примеру, складывать и вычитать можно только те

вектора и матрицы, которые имеют одинаковый размер. А

операция деления матрицы на матрицу вообще не существу-

ет.

Пусть дано два вектора и две матрицы –















:V1















:V2















:M1















:M2

;

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

• Операция сложения:

V2V1:summa_V



















summa_V ;

M2M1:summa_M



















summa_M ;

Необходимо помнить,

что для присвоения значе-

ния какой-то переменной

используется оператор –

“:=”, а для вывода значения

какой-то переменной, в на-

шем случае это результат

сложения двух векторов

или матриц, используется оператор – “=”. При этом имя пе-

ременной, т.е. матрицы и вектора может быть различной. Од-

нако необходимо помнить, что это имя следует вводить ла-

тинскими буквами – “M1”, “Matriza1”, “Matr_1”, “Mat-1”,

“Matriza_Vasja” и т.п.

• Операция вычитания:

V2V1:raznost_V



















raznost_V

;

M2M1:raznost_M





















raznost_M

;

• Умножение на число:

V1:zahl_V





















zahl_V

;

M1:zahl_M





















zahl_M

;

В данном случае число





. Если мы ходим разделить

все элементы матрицы или вектора на какое-то число, к

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

примеру «5», то необ-

ходимо просто взять

число





, т.е. умно-

жить матрицу на число,

обратное данному. Если

мы ходим поменять

знак у всех элементов

вектора или матрицы на

противоположный, то

необходимо просто умножить вектор или матрицу на число







. При умножении вектора или матрицы на





, мы

получим нулей вектор или нулевую матрицу.

• Умножение матриц:

M2M1:mal_M



















199

157

mal_M

;

Необходимо помнить, что не все матрицы можно друг на

друга перемножить. А также, что результат перемножения

матриц зависит от того, в какой последовательности они пе-

ремножаются друг на друга. Как известно







• Операция транспонирования:

V1:tr_V 





21tr_V 

;

M1:tr_M 















tr_M ;

• Обратная матрица:

-1

M1:zuruck_M1 

















zuruck_M1

;

• Вычисление определителя:

M1:opr_M1 

1opr_M1



;

автор: Денисов-Винский Н.Д.

E-mail: denisov.vinskiy@yandex.ru

Необходимо помнить, что обратная матрица существует

только для квадратной матрицы, определитель которой отли-

чен от нуля. Поэтому рекомендуется перед вычислением об-

ратной матрицы, вычислить её определитель. В случае, если

определитель квадратной матрицы равен нулю, то при вы-

числении обратной матрицы Mathcad выдаст ошибку.

• Выделение n-го элемента вектора:

V1:a 



;

• Выделение элемента матрицы:

1,0

M1:m 



;

• Выделение столбца матрицы:





M1:Vm















2.5 Векторные и матричные функции

Mathcad поддерживает ряд встроенных векторных и мат-

ричных функций, которые облегчают решение задач линей-

ной алгебры и других сфер приложения векторов и матриц.

Приведём некоторые из них.

Пусть –















:V1















:V2















:V3















726

958

431

:M1

• Функция length(V) – возвращает число элементов век-

тора (только для вектора);

для

- получаем

3length(V1)



; для V2 – получаем

2length(V2)



; при этом необходимо помнить, что значение

этой функции может быть присвоено любой переменной. На-

пример:

length(V1):z



, тогда получаем значение переменной