Доклад - Математическая логика

Подождите немного. Документ загружается.

Содержание:

Математическая логика в лицах………………………………….2

Введение…………………………………………………3

Язык логики предикатов………………………………..6

Синтаксис языка логики предикатов ………………….7

Семантика языка логики предикатов…………………..9

Логика предикатов……………………………………..13

Исчисление предикатов………………………………..15

Определение формулы логики предикатов………….16

Свободные и связные вхождения

переменных в формулы…………………………………3

Логические и кванторные операции

над предикатами………………………………………..18

Применение языка логики предикатов для

записи математических предложений,

определений, построения отрицания предложений…..20

Заключение………………………………………………23

Литература……………………………………………….24

Математическая логика в лицах:

Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987)

Выдающийся российский математик, академик. Родился в 1903

году в Тамбове. В 1925 году окончил Московский университет,

профессором которого работал с 1931 года. Заведовал различными

кафедрами, был деканом механико-математического факультета

МГУ. Автор фундаментальных работ по теории функций

действительного переменного, теории множеств, топологии,

конструктивной логике, функциональному анализу, механике,

теории алгоритмов, теории информации. Основополагающее

значение имеют результаты А.Н.Колмогорова в области теории

вероятности. Широко известна его деятельность по разработке методики и организации

математического образования. А.Н.Колмогоров был председателем Московского

математического общества, почетным доктором зарубежных университетов, иностранным

членом многих академий и научных обществ, лауреатом международных премий и

кавалером правительственных наград. Умер в Москве в 1987 году.

Альберт Григорьевич Драгалин (1941-1998)

Видный представитель российской школы математического

конструктивизма. Родился 10 апреля 1941 года на острове

Моржевец Архангельской области. Окончил механико-

математический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова, где работал с

1966 года. С 1983 года жил в Венгрии, заведовал кафедрой

вычислительной математики университета им.Л.Кошута

(г.Дебрецен). В 1988 году Венгерской Академией наук ему была

присвоена степень доктора наук. Умер 18 декабря 1998 года в

г.Дебрецен. А. Г. Драгалин - автор фундаментальных трудов по

теоретико-модельным и теоретико-доказательственным основаниям

интуиционистской логики, конструктивным методам нестандартного анализа.

НЕЙМАН Джон (Neumann John 1903-1957)-

американский математик, логик, физик, инженер -

изобретатель.

Выдающийся немецкий математик Г. В. Лейбниц

(1646-1716) использовал термин логистика в значении

"исчисления умозаключений", или математической логики

Введение

Логика - наука очень старая. Она возникла тогда, когда развитие

специальных наук и вообще человеческого мышления сделало актуальным

вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получить правильные выводы.

Несомненен интерес к логике среди математиков и философов эпохи

расцвета греческой культуры в VI-IV вв. до н.э. Но первое дошедшее до нас

большое сочинение, посвященное специально логике ("Аналитики"

Аристотеля, 384-322 гг. до н.э.), принадлежит уже позднегреческой эпохе.

Независимо возникла буддистская логика, но дальнейшее развитие логики в

Европе имеет своим исходным пунктом изучение Аристотеля.

Математическая логика с внешней стороны отличается от "обычной"

тем, что она широко пользуется языком математических и логических

знаков, исходя из того, что в принципе они могут совсем заменить слова

обычного языка и принятые в обычных живых языках способы объединения

слов в предложения. Довольно рано возникла идея о том, что, записав все

исходные допущения на языке специальных знаков, похожих на

математические, можно заменять рассуждение вычислением. Точно же

сформулированные правила таких логических вычислений можно перевести

на язык вычислительной машины, которая тогда будет способна

автоматически выдавать интересующие нас следствия из введенных в нее

исходных допущений. Своего рода "логическую машину" сконструировал

еще в средние века Раймунд Луллий (1235-1315), дав ей, впрочем, лишь

совершенно фантастические применения. Более определенный и близкий к

реально осуществленному впоследствии замысел универсального

логического исчисления развивал Лейбниц (1646-1716). Лейбниц надеялся

даже, что в будущем философы вместо того, чтобы бесплодно спорить, будут

брать бумагу и вычислять, кто из них прав.

Начало созданию того аппарата математической логики, который

теперь мы называем логикой высказываний, положил Джордж Буль (1815-

1864). Логико-математические языки и теория их смысла были затем

значительно развиты в работах Фреге (1848-1925). Широко задуманное

изложение больших разделов математики на языке математической логики

было предпринято в работах Пеано (1858-1932) и особенно в

фундаментальной трехтомной монографии Рассела и Уайтхеда, изданной в

1910-1913 гг.

В двадцатых годах XX века с программой обоснования математики на

базе математической логики выступил знаменитый математик Гильберт

(1862-1943). С этого времени и начинается современный этап развития

математической логики, характеризующийся применением точных

математических методов при изучении формальных аксиоматических

теорий.

Заметим, что роль логического исчисления как средства открытия новых

истин даже в области математики долго оставалась более чем скромной. Зато

символический язык математической логики оказался на границе

девятнадцатого и двадцатого веков очень важным подспорьем в изучении

логических основ математики, поскольку он позволял избегать всякой

неточности мысли, которая легко проскальзывает при использовании слов

обычного языка, смысл которых дается не точным определением, а

созданием привычки к принятому словоупотреблению.

Подъем широкого интереса к математической логике не только среди

математиков, но и среди техников произошел тогда, когда обнаружилось, что

в рамках математической логики уже создан аппарат для расчета действия

самых различных вычислительных и управляющих дискретных устройств. В

математической логике предметом исследования часто оказываются

математические теории, такие как математический анализ, алгебра,

элементарная геометрия, арифметика и др. В логике математические теории

изучаются в целом - и это одна из особенностей математической логики по

сравнению с другими математическими дисциплинами.

Прежде всего, изучаемую математическую теорию уточняют и описывают на

базе строгого логико-математического языка. Этот этап называется

формализацией теории и составляет важную, хотя и предварительную, часть

исследования теории. После формализации полученную формальную

аксиоматическую теорию уже можно подвергнуть точному математическому

изучению, можно ставить точные проблемы, получать математические

результаты.

Вопросы построения оптимальных по сложности и по времени работы

вычислительных устройств занимают важное место в теоретической

кибернетике - науке, тесно связанной с математической логикой.

Логика предикатов - раздел математической логики, изучающий

логические законы, общие для любой области объектов исследования

(содержащей хоть один объект) с заданными на этих объектах предикатами

(т. е. свойствами и отношениями). В результате формализации принимает

вид различных исчислений. Простейшими логическими исчислениями

являются исчисления высказываний. Высказыванием называют любое

утверждение, относительно которого можно судить, истинно оно или ложно.

В более сложных исчислениях предикатов описываются логические законы,

связывающие объекты исследования с отношениями между этими

объектами.

Язык логики предикатов (ЯЛП) является искусственным

языком его характеризуют обычно как символический язык,

потому что здесь используется особая символика, прежде

всего для обозначения логических связей и операций.

Специальные символы употребляются также в качестве

знаков для обозначения предметов, свойств и отношений.

Употребление символики способствует сокращению записи

высказываний и облегчает, особенно в сложных ситуациях,

понимание смыслов соответствующих высказываний.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет

элементарное высказывание на субъект и предикат

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании;

Предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Язык логики предикатов.

Предложение Р(x1, x2,…,xn), содержащее переменные x1,

x2,…,xn, которое при подстановке вместо переменных их значений

становится высказыванием, называется предикатом. Дадим несколько

определений, относящихся к предикатам.

Одноместным предикатом Р(x) называется произвольная функция

переменного x, определенная на множестве M и принимающая значение из

множества {1; 0}.

Множество М, на котором определен предикат Р(x), называется

областью определения предиката Р(x).

Множество всех элементов

Mx 

, при которых предикат принимает

значения “истина” (1), называется множеством (областью) истинности

предиката Р(x), т.е. множество истинности предиката Р(х)- это множество

 

,1)(,:  xPMxxI

или иначе:

 

или так:

 

.)(xPM

В ЯЛП явно должны быть представляемы субъектно-

предикатные структуры высказываний. Например, «а

обладает свойством Р», «а и Ъ находятся в отношении Р»,

«Для всякого предмета из некоторого множества 5 верно, что

он обладает свойством Р», «Для всякого предмета из

множества S существует предмет этого множества такой, что

эти предметы находятся в отношении R». Для выражения

подобных высказываний в ЯЛП мы должны иметь в числе его исходных

символов общие имена предметов; аналогами последних в ЯЛП будут

предметные переменные х, у, z, а также они же с числовыми индексами x1

х2, ... и т.д.

Синтаксис языка логики предикатов.

I. Исходные символы языка.

В логике предикатов будем пользоваться следующей символикой :

1. Предметные переменные х, у, z, а также х с числовыми

индексами: x1 x2, ..., хп,... (бесконечное счетное множество).

2. Предметные константы (аналоги собственных имен

естественного языка):

а,, а2, .... ап, ... (также бесконечное счетное множество).

3. Знаки свойств и отношений различных местностей —

предикатные символы, или предикаторы:

Р1, О1, Я1, 51, ...;

Р2, О2, R2, S2, ...;

и возможно эти символы с нижними индексами:

Р1,Р2, Р2, ... и т. д.

(верхние индексы указывают на местность предикатора,

нижние индексы используются для расширения множества

предикаторов той или иной местности; количество

предикатных символов той или иной местности вводится в

зависимости от предназначения языка. Однако, поскольку

речь идет о языке л о г и к и п р е д и к а т о в , должен быть

введен по крайней мере один предикатный символ).

4. Знаки предметных функций различных местностей

(предметные функторы):

J v Jy •••

f2 f2

(число функциональных символов той или иной местности

зависит также от предназначения языка, возможно

отсутствие символов этого рода вообще).

5. Логические константы: =>, &, v, V, 3 — соответственно —

импликация, конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, квантор

общности и квантор существования. Где квантор (от лат.

quantum — сколько) логическая операция, дающая количественную

характеристику области предметов, к которой относится выражение,

получаемое в результате её применения. (Зачастую вводят лишь

некоторые из этих символов. Из кванторов достаточны

только V или 3, из остальных, называемых логическими

связками, достаточно z> и -., или v и - или & и -i. Другие

константы, как, впрочем, и другие знаки, могут вводиться по

определению.)

6. Технические знаки: ( — левая скобка, ) — правая скоб-

ка, , — запятая.

Предметные константы, предикаторы, предметные

функторы и предметные переменные называют

дескриптивными терминами языка, при этом три первых

категории (в отличие от предметных переменных) суть —

дескриптивные постоянные данного языка.

II. Термы. Выражения этого типа являются аналогами имен

естественного языка.

О п р е д е л е н и е : а) любая предметная переменная и

предметная

константа есть терм;

б) если tv t2, ..., tn есть термы и /" есть л-

местный

предметный функтор, то /* (tv t2,..., tn

есть терм;

в) ничто, кроме указанного в пунктах а)

и б), не

есть терм.

III. Формулы. В числе этих выражений имеются аналоги

повествовательных предложений естественного языка, а

также высказывательные формы — предакаты,

представляющие собой особую семантическую категорию,

которая не выделяется — по крайней мере явным образом —

в естественном

языке.

О п р е д е л е н и е : а) если tv t2, .... tn термы и Fj n-местный

предикатор, то

Р"( (tv t2, ..., tn) есть формула

(атомарная);

б) если А и В — формулы, то (AIDВ),

(А&В), (AvB), -.A

—формулы; в) если х есть предметная

переменная и А —

формула, то\/хАиЗхА — формулы;

г) ничто, кроме указанного в пунктах а)

— в), не есть

формула.

Договоримся в дальнейшем опускать, когда это удобно,

внешние скобки в отдельно взятых формулах; например,

вместо (А & В) писать просто А & В.

Использованные в определениях терма и формулы символы

tv t2, ..., tn и f1} , F*, А, В, х (и в дальнейшем возможно xv х2 и

т.д.) — знаки называемые также синтаксическим и

переменными , возможными значениями которых являются

выражения соответствующей категории описываемого

(объектного) языка. Формулы А и В, встречающиеся в пунктах

б) и в), называются п о д ф о р м у л а м и указанных здесь

формул. Введенные понятия исходного символа, терма и

формулы языка являются эффективными (иначе:

рекурсивными). Последнее означает, что имеется точный

способ, с помощью которого всегда можно определить,

относится ли некоторый символ к числу исходных символов

языка, а для каждой последовательности исходных символов

можем определить, представляет ли она терм или формулу.

Для термов и формул такой способ заключен в их

индуктивных определениях. Так, в каждой формуле,

содержащей логические константы (знаки логических

операций), имеется главная, или, что тоже, последняя, в

построении формулы операции. Выделив ее, мы выделяем

тем самым собственные подформулы этой формулы. В

последних снова выделяем главную операцию и так далее,

пока не дойдем до какой-либо атомарной формулы. Если в

процессе такого анализа исходного выражения в

какой-либо части его, не являющейся атомарной формулой,

нельзя выделить знак главной операции, то эта часть не

является формулой, а следовательно, таковой не является

все выражение. Возможность распознавания атомарных

формул среди последовательностей символов является

очевидной.

Семантика языка логики предикатов

Семантику языка при анализе естественного языка, составляет совокупность

предметных значений и смысловых содержаний его выражений. Но в данном

случае, поскольку речь идет не об анализе уже имеющегося языка, а] о

построении — в данном случае логического формализованного языка —то

семантикой называют совокупность правил] приписывания значений

выражениям этого языка. Точнее говоря, здесь даже не ставится задача

построения какого-то определенного языка. Создается лишь некоторая схема

языка определенного типа, в данном случае так называемой классической

логики предикатов первого порядка. Этот тип языка отличается от языков

других типов, даже языков с тем же синтаксисом (например, языка

интуиционистской логики предикатов, определенной системы релевантной

логики) своей семантикой. Приписывание значений отдельным выражениям

языка, составляющим дескриптивным терминам, употребляемым при

построении формул, осуществляется лишь в составе тех или иных формул и

при этом различно от случая к случаю в зависимости от характера решаемых

логических задач, (например, при переводе каких то высказываний с

естественного языка на данный формализованный, при анализе логических

отношений между формулами данного языка, при аксиоматизации некоторых

теорий, а именно при формулировке их аксиом в языке данного типа).

Совокупность всех правил приписывания значений выражениям языка

разбивается на следующие три группы (I,II,III).

I. Правила определения (задания) возможных значений предметных

переменных и правила приписывания предметных значений дескриптивным

постоянным в составе рассматриваемых в том или ином случае формул—

интерпретация выражений языка. II. Правила приписывания значений

свободным переменным в составе тех или иных рассматриваемых формулу.

III. Правила приписывания истинностных значений интерпретированным

формулам, не содержащим свободных переменных.]] I. Интерпретация

состоит, во-первых, в выборе некоторого непустого множества D индивидов,

предметов того или иного типа, к которым могут относиться образуемые из

тех или иных формул языка высказывания. Индивиды — любые предметы в

широком смысле этого слова, структура которых не учитывается, и которые

можно отличать друг от друга. В качестве такой области D можно взять

множество людей, растений, городов, чисел и т. д.; возможно, также

объединение в одной области множеств различных предметов, например,

людей, городов, домов (положим, для выражения высказываний о местах

жительства людей). Но при этом все различные предметы, рассматриваются

именно как индивиды. Область D — это область возможных значений

предметных переменных символы предметных переменных х, у, z,

становятся именно переменными лишь при указании области их возможных

значений. Предполагается, что на области D определено некоторое

множество свойств, отношений и характеристик предметно-

функционального типа (то есть возможных значений предикаторов и

предметных функторов).

Второй момент интерпретации языка состоит в задании некоторой функции j

](интерпретационная функция) приписывания значений дескриптивным

постоянным (предметным константам, предикаторам, предметным

функторам опять-таки в составе рассматриваемых формул). Задание j

]в каждом конкретном случае представляет собой просто указание на то,

какие значения должны быть приписаны упомянутым исходным символам

языка в составе рассматриваемых формул. При этом предметным константам

(простые постоянные термы) приписываются в качестве предметных

значений определенные предметы из заданной области D. Предикатному (n-